물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

+6 µC와 +8 µC의 전하가 100 cm 떨어져 있다. 두 전하를 잇는 선 위에서 +6 µC 전하로부터 얼마나 떨어진 곳 x에서 전기장이 0인가?

q₁ = +6 µCq₂ = +8 µCd = 100 cm

x = cm

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

+8 µC와 −8 µC의 전하가 6 cm 떨어져 있다. 점 P는 두 전하의 중점에서 8 cm 떨어진 수직 이등분선 위에 있다. P에서의 전기장 크기 E을(를) 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +8 µCq₂ = −8 µCd = 6 cmh = 8 cm

E = N/C

3.저항의 직렬·병렬보통

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 18 VR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

4.저항의 직렬·병렬어려움

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 24 VR₁ = 25 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 4 Ω

I_R2 = A

5.RC·RL 과도 현상보통

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. 스위치를 닫은 뒤 얼마 후에 전류가 최종값의 90%에 도달하는가? t을(를) 구하시오.

V_s = 10 VR = 20 ΩL = 100 mH

t = ms

6.RC·RL 과도 현상어려움

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 6 V이다. t = 750 ms에서 커패시터 전압 v_C을(를) 구하시오.

V_s = 10 VR = 10 kΩC = 33 µFv_C(0) = 6 Vt = 750 ms

v_C = V

7.자기장과 유도보통

길이 25 cm인 금속 막대가 종이 속으로 향하는 세기 0.25 T의 균일한 자기장 속에서 두 레일을 따라 4 m/s로 미끄러진다. 레일은 10 Ω 저항으로 연결되어 있고 막대와 레일의 저항은 무시한다. 저항에서 소비되는 전력 P을(를) 구하시오.

B = 0.25 TL = 25 cmv = 4 m/sR = 10 Ω

P = mW

8.자기장과 유도어려움

중양성자이(가) 서로 수직인 장 E = 2 × 10⁵ V/m와 B₁ = 0.5 T가 있는 속도 선택기를 휘지 않고 통과한다. 그다음 직각으로 자기장 B₂ = 0.4 T만 있는 둘째 영역에 들어간다. 그곳에서 경로의 반지름 r을(를) 구하시오.

E = 2 × 10⁵ V/mB₁ = 0.5 TB₂ = 0.4 Tm = 3.344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.교류 임피던스와 페이저보통

직렬 RLC 회로가 120 V (실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF

I = A

10.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로가 24 V (실효값), 100 Hz 전원에 연결되어 있다. 회로의 공진 주파수 f₀을(를) 구하시오.

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 100 µF

f₀ = Hz

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: x = 46.41 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

같은 전기장

6/x² = 8/(100 − x)²

(100 − x)/x = √(8/6) = 1.155

위치

x = 100/(1 + 1.155) = 46.41 cm

답

x = 46.41 cm

0인 점은 항상 작은 전하에 더 가깝습니다.

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: E = 6.919 × 10⁶ N/C

한 전하의 거리와 전기장

r = √(3² + 8²) = 8.544 cm

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0.08544² = 9.852 × 10⁶ N/C

성분

이등분선 방향의 성분은 상쇄됩니다.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·9.852 × 10⁶·0.3511 = 6.919 × 10⁶ N/C

답

E = 6.919 × 10⁶ N/C

전기장은 양전하에서 음전하로 향하는 선에 평행합니다.

3.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 0.48 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 4 + 4 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 5·8/(5+8) = 3.077 Ω

R_eq = R₁ + 3.077 = 20 + 3.077 = 23.08 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/23.08 = 0.78 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 0.78·20 = 2.4 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2.4/5 = 0.48 A

답

I_R2 = 0.48 A

4.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 0.363 A

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 10 + 4 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 3.684 Ω

R₃ + 3.684 = 23.68 Ω

R₂ ∥ 23.68 = 10.84 Ω

R_eq = R₁ + 10.84 = 25 + 10.84 = 35.84 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/35.84 = 0.6696 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 0.6696·25 = 7.261 V

I_R2 = V_A/R₂ = 7.261/20 = 0.363 A

답

I_R2 = 0.363 A

5.RC·RL 과도 현상

답: t = 11.51 ms

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 100 mH / 20 Ω = 5 ms

i(∞) = V_s/R = 10/20 = 0.5 A

시간에 대해 풀기

0.9 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.9)

t = −5·ln(0.1) = 11.51 ms

답

t = 11.51 ms

6.RC·RL 과도 현상

답: v_C = 9.588 V

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

v_C(0) = 6 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 10 kΩ · 33 µF = 330 ms

v_C(t) = 10 + (6 − 10)·e^−t/τ

주어진 시각의 전압

v_C(750) = 10 + (−4)·e^−750/330 = 9.588 V

답

v_C = 9.588 V

7.자기장과 유도

답: P = 6.25 mW

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

운동 기전력

ε = BLv = 0.25·0.25·4 = 0.25 V

전류

I = ε/R = 0.25/10 = 0.025 A

전력

P = εI = 0.25·0.025 = 0.00625 W

답

P = 6.25 mW

8.자기장과 유도

답: r = 2.087 cm

자기력: 자기장 B 속에서 전류 I가 흐르는 직선 도선은 F = BIL·sin θ의 힘을, 움직이는 전하는 F = |q|vB·sin θ의 힘을 받습니다. θ는 전류(또는 속도)와 B 사이의 각입니다. 힘은 둘 모두에 수직입니다. 오른손 손가락을 I나 v 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리면 엄지가 양전하에 작용하는 F를 가리키고, 음전하는 반대입니다. F가 v에 수직이므로 균일한 자기장을 가로질러 움직이는 전하는 원운동을 합니다: |q|vB = mv²/r에서 r = mv/(|q|B)이고 주기 T = 2πm/(|q|B)는 속력에 의존하지 않습니다. 평행한 두 도선은 전류가 같은 방향이면 서로 끌어당깁니다: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

선택된 속력

휘지 않음: 전기력 qE가 자기력 qvB와 균형을 이룹니다.

v = E/B₁ = 2 × 10⁵/0.5 = 400000 m/s

둘째 자기장에서의 반지름

r = mv/(|q|B₂) = 0.02087 m = 2.087 cm

답

r = 2.087 cm

9.교류 임피던스와 페이저

답: I = 1.122 A

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0.05 = 62.83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·4.7·10⁻⁶) = 169.3 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (−106.5)²) = 107 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 120/107 = 1.122 A

답

I = 1.122 A

10.교류 임피던스와 페이저

답: f₀ = 71.18 Hz

공진

공진 시 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 상쇄됩니다: ωL = 1/(ωC). 전원 주파수와는 관계없습니다.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.05·100·10⁻⁶)) = 71.18 Hz

답

f₀ = 71.18 Hz

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