물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

+10 µC와 +6 µC의 전하가 80 cm 떨어져 있다. 두 전하를 잇는 선 위에서 +10 µC 전하로부터 얼마나 떨어진 곳 x에서 전기장이 0인가?

q₁ = +10 µCq₂ = +6 µCd = 80 cm

x = cm

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

세 양의 점전하가 직각삼각형의 꼭짓점에 있다. q₃ = 1 µC는 직각인 꼭짓점에 있고, q₁ = 5 µC는 한 변을 따라 q₃에서 5 cm, q₂ = 8 µC는 다른 변을 따라 q₃에서 10 cm 떨어져 있다. q₃에 작용하는 알짜 전기력의 크기 F을(를) 구하시오.

q₁ = 5 µCq₂ = 8 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 5 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.저항의 직렬·병렬보통

전원이 공급하며 R₁에 흐르는 전류 I_R1을(를) 구하시오.

V₁ = 24 VR₁ = 8 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 3 Ω

I_R1 = A

4.저항의 직렬·병렬어려움

전원 V₁이(가) 보는 합성 저항 R_eq을(를) 구하시오.

V₁ = 10 VR₁ = 4 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

5.RC·RL 과도 현상보통

인덕터에 3 A의 정상 전류가 흐른다. t = 0에 스위치가 R을 통한 루프를 닫고 전원이 제거되어, 인덕터 전류는 R을 통해 감쇠한다. t = 5 ms에서 전류 i을(를) 구하시오.

i(0) = 3 AR = 47 ΩL = 150 mHt = 5 ms

i = A

6.RC·RL 과도 현상어려움

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 2 V이다. v_C이(가) 5.5 V에 도달하는 데 걸리는 시간은? t을(를) 구하시오.

V_s = 9 VR = 4.7 kΩC = 33 µFv_C(0) = 2 V

t = ms

7.자기장과 유도보통

감은 수 200, 넓이 200 cm², 저항 8 Ω인 코일이 닫힌 회로를 이룬다. 코일에 수직인 균일한 자기장이 10 ms 동안 0.05 T에서 0.25 T로 일정하게 증가한다. 평균 유도 전류 I을(를) 구하시오.

N = 200A = 200 cm²B: 0.05 T → 0.25 TΔt = 10 msR = 8 Ω

I = A

8.자기장과 유도어려움

긴 공심 솔레노이드의 감은 수가 500, 길이가 30 cm, 지름이 3 cm이다. 자체 인덕턴스 L을(를) 구하시오.

N = 500l = 30 cm⌀ = 3 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = µH

9.교류 임피던스와 페이저보통

직렬 RLC 회로가 10 V (실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 위상각 φ을(를) 도 단위로 구하시오 (전류가 전압보다 뒤질 때 양).

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 2.2 µF

φ = °

10.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로의 R = 1 Ω, L = 1 mH, C = 10 µF이다. 공진에서의 선택도 Q을(를) 구하시오.

R = 1 ΩL = 1 mHC = 10 µF

Q =

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: x = 45.08 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

같은 전기장

10/x² = 6/(80 − x)²

(80 − x)/x = √(6/10) = 0.7746

위치

x = 80/(1 + 0.7746) = 45.08 cm

답

x = 45.08 cm

0인 점은 항상 작은 전하에 더 가깝습니다.

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: F = 19.37 N

쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.

q₃에 작용하는 각 힘

F₁ = k·5·1 × 10⁻¹²/0.05² = 17.98 N

F₂ = k·8·1 × 10⁻¹²/0.1² = 7.192 N

벡터 합

F = √(17.98² + 7.192²) = 19.37 N

답

F = 19.37 N

3.저항의 직렬·병렬

답: I_R1 = 2.137 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 4 + 3 = 7 Ω

R₂ ∥ 7 = 6·7/(6+7) = 3.231 Ω

R_eq = R₁ + 3.231 = 8 + 3.231 = 11.23 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/11.23 = 2.137 A

답

I_R1 = 2.137 A

4.저항의 직렬·병렬

답: R_eq = 8.834 Ω

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 2 + 30 = 32 Ω

R₄ ∥ 32 = 10.21 Ω

R₃ + 10.21 = 12.21 Ω

R₂ ∥ 12.21 = 4.834 Ω

R_eq = R₁ + 4.834 = 4 + 4.834 = 8.834 Ω

답

R_eq = 8.834 Ω

5.RC·RL 과도 현상

답: i = 0.6262 A

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수

τ = L/R = 150 mH / 47 Ω = 3.191 ms

전류의 감쇠

i(t) = 3·e^−5/3.191 = 0.6262 A

답

i = 0.6262 A

6.RC·RL 과도 현상

답: t = 107.5 ms

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 4.7 kΩ · 33 µF = 155.1 ms

v_C(t) = 9 + (2 − 9)·e^−t/τ

시간에 대해 풀기

5.5 = 9 + (−7)·e^−t/τ → e^−t/τ = (5.5 − 9)/(2 − 9) = 0.5

t = τ·ln((2 − 9)/(5.5 − 9)) = 155.1·ln(2) = 107.5 ms

답

t = 107.5 ms

7.자기장과 유도

답: I = 10 A

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

한 번 감긴 부분당 선속 변화

ΔΦ = (0.25 − 0.05)·0.02 = 0.004 Wb

평균 기전력

ε = NΔΦ/Δt = 200·0.004/0.01 = 80 V

전류

I = ε/R = 80/8 = 10 A

답

I = 10 A

8.자기장과 유도

답: L = 740.2 µH

단면

A = π·(0.015)² = 0.0007069 m²

자체 인덕턴스

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·500²·0.0007069/0.3 = 0.0007402 H = 740.2 µH

답

L = 740.2 µH

9.교류 임피던스와 페이저

답: φ = −80.17 °

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0.15 = 188.5 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·2.2·10⁻⁶) = 361.7 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−173.2)²) = 175.8 Ω

위상각

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−173.2/30) = −80.17°

답

φ = −80.17°

10.교류 임피던스와 페이저

답: Q = 10

공진 주파수

f₀ = 1/(2π·√(0.001·10·10⁻⁶)) = 1592 Hz

선택도

Q는 공진에서의 리액턴스를 저항과 비교합니다: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/1)·√(0.001/(10·10⁻⁶)) = 10

답

Q = 10

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