물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

+4 µC와 +2 µC의 전하가 40 cm 떨어져 있다. 두 전하를 잇는 선 위에서 +4 µC 전하로부터 얼마나 떨어진 곳 x에서 전기장이 0인가?

q₁ = +4 µCq₂ = +2 µCd = 40 cm

x = cm

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

전자가 평행한 두 판 사이의 균일한 전기장에 판과 평행하게 2 × 10⁷ m/s로 들어간다. 판의 길이는 5 cm이고 판 사이의 전기장은 800 N/C이다. 전자의 전하는 1.602 × 10⁻¹⁹ C, 질량은 9.109 × 10⁻³¹ kg이며 중력은 무시한다. 판을 벗어날 때 옆으로 얼마나 y 휘어지는가? mm로 답하시오.

v₀ = 2 × 10⁷ m/sL = 5 cmE = 800 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9.109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.저항의 직렬·병렬보통

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 15 VR₁ = 2 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

4.저항의 직렬·병렬어려움

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 5 VR₁ = 3 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 25 Ω

I_R2 = A

5.RC·RL 과도 현상보통

전원 Vₛ가 R₁을 통해 커패시터를 충전하며, R₂는 C와 병렬로 연결되어 있습니다. t = 0에서 스위치가 닫힐 때 커패시터는 충전되어 있지 않다. 스위치가 닫힌 뒤 회로의 시정수 τ을(를) 구하시오.

V_s = 24 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 2.2 kΩC = 10 µF

τ = ms

6.RC·RL 과도 현상어려움

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 3 V이다. v_C이(가) 5.4 V에 도달하는 데 걸리는 시간은? t을(를) 구하시오.

V_s = 6 VR = 10 kΩC = 33 µFv_C(0) = 3 V

t = ms

7.자기장과 유도보통

감은 수 50, 넓이 10 cm²인 코일이 있다. 코일의 평면에 수직인 0.5 T의 균일한 자기장 속에서 코일을 200 ms 동안 뒤집는다(180° 회전). 평균 유도 기전력 ε을(를) 구하시오.

N = 50A = 10 cm²B = 0.5 TΔt = 200 ms

ε = mV

8.자기장과 유도어려움

20 mH 인덕터의 전류가 50 ms 동안 0 A에서 4 A로 일정하게 변한다. 자체 유도 기전력의 크기 ε을(를) 구하시오.

L = 20 mH0 A → 4 AΔt = 50 ms

ε = V

9.교류 임피던스와 페이저보통

직렬 RLC 회로가 12 V (실효값), 100 Hz 전원에 연결되어 있다. 회로의 역률 cos φ을(를) 구하시오.

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 100 µF

cos φ =

10.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로의 R = 15 Ω, L = 200 mH, C = 0.1 µF이다. 공진에서의 선택도 Q을(를) 구하시오.

R = 15 ΩL = 200 mHC = 0.1 µF

Q =

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: x = 23.43 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

같은 전기장

4/x² = 2/(40 − x)²

(40 − x)/x = √(2/4) = 0.7071

위치

x = 40/(1 + 0.7071) = 23.43 cm

답

x = 23.43 cm

0인 점은 항상 작은 전하에 더 가깝습니다.

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: y = 0.4397 mm

판 사이를 지나는 시간

t = L/v₀ = 0.05/2 × 10⁷ = 2.5 × 10⁻⁹ s

옆 방향 가속도

a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·800/9.109 × 10⁻³¹ = 1.407 × 10¹⁴ m/s²

처짐

y = ½·a·t² = ½·1.407 × 10¹⁴·(2.5 × 10⁻⁹)² = 0.0004397 m = 0.4397 mm

답

y = 0.4397 mm

전자는 전기장 방향과 반대로, 양극판 쪽으로 밀립니다.

3.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 0.5921 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 8 + 4 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 20·12/(20+12) = 7.5 Ω

R_eq = R₁ + 7.5 = 2 + 7.5 = 9.5 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/9.5 = 1.579 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1.579·2 = 11.84 V

I_R2 = V_A/R₂ = 11.84/20 = 0.5921 A

답

I_R2 = 0.5921 A

4.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 0.4015 A

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 10 + 25 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 10.5 Ω

R₃ + 10.5 = 16.5 Ω

R₂ ∥ 16.5 = 5.388 Ω

R_eq = R₁ + 5.388 = 3 + 5.388 = 8.388 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/8.388 = 0.5961 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 5 − 0.5961·3 = 3.212 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3.212/8 = 0.4015 A

답

I_R2 = 0.4015 A

5.RC·RL 과도 현상

답: τ = 14.99 ms

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

커패시터에서 본 테브난 등가 회로

R_th를 구하려면 전원을 단락하고, 최종 전압을 구하려면 커패시터를 개방하세요.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 4.7·2.2/(4.7 + 2.2) = 1.499 kΩ

v_C(∞) = 24·2.2/(4.7 + 2.2) = 7.652 V

시정수

τ = R_th·C = 1.499·10 = 14.99 ms

답

τ = 14.99 ms

6.RC·RL 과도 현상

답: t = 531.1 ms

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

v_C(0) = 3 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 10 kΩ · 33 µF = 330 ms

v_C(t) = 6 + (3 − 6)·e^−t/τ

시간에 대해 풀기

5.4 = 6 + (−3)·e^−t/τ → e^−t/τ = (5.4 − 6)/(3 − 6) = 0.2

t = τ·ln((3 − 6)/(5.4 − 6)) = 330·ln(5) = 531.1 ms

답

t = 531.1 ms

7.자기장과 유도

답: ε = 250 mV

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

한 번 감긴 부분당 선속 변화

ΔΦ = 2·0.5·0.001 = 0.001 Wb

평균 기전력

ε = NΔΦ/Δt = 50·0.001/0.2 = 0.25 V

답

ε = 250 mV

8.자기장과 유도

답: ε = 1.6 V

자체 유도 기전력

기전력은 전류의 변화를 방해하므로(렌츠) 부호는 ΔI와 반대이고, 크기는 L·|ΔI|/Δt입니다.

ε = L·ΔI/Δt = 0.02·4/0.05 = 1.6 V

답

ε = 1.6 V

9.교류 임피던스와 페이저

답: cos φ = 0.7904

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

X_L = 31.42 Ω, X_C = 15.92 Ω

임피던스

|Z| = √(20² + (15.5)²) = 25.3 Ω

역률

cos φ = R/|Z| = 20/25.3 = 0.7904

회로가 유도성이므로 역률은 지상입니다.

답

cos φ = 0.7904

10.교류 임피던스와 페이저

답: Q = 94.28

공진 주파수

f₀ = 1/(2π·√(0.2·0.1·10⁻⁶)) = 1125 Hz

선택도

Q는 공진에서의 리액턴스를 저항과 비교합니다: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0.2/(0.1·10⁻⁶)) = 94.28

답

Q = 94.28

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