물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

+10 µC인 전하와 +8 µC인 전하가 30 cm 떨어져 있다. 점 P는 두 전하를 잇는 선분 위에 있으며 첫 번째 전하로부터 18 cm 떨어져 있다. P에서 전기장의 크기 E을(를) 구하시오.

q₁ = +10 µCq₂ = +8 µCr₁ = 18 cmr₂ = 12 cm

E = N/C

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

세 양의 점전하가 직각삼각형의 꼭짓점에 있다. q₃ = 4 µC는 직각인 꼭짓점에 있고, q₁ = 6 µC는 한 변을 따라 q₃에서 4 cm, q₂ = 3 µC는 다른 변을 따라 q₃에서 6 cm 떨어져 있다. q₃에 작용하는 알짜 전기력의 크기 F을(를) 구하시오.

q₁ = 6 µCq₂ = 3 µCq₃ = 4 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.저항의 직렬·병렬보통

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 30 VR₁ = 3 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

4.저항의 직렬·병렬어려움

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 10 VR₁ = 12 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 5 Ω

I_R2 = A

5.RC·RL 과도 현상보통

인덕터에 3 A의 정상 전류가 흐른다. t = 0에 스위치가 R을 통한 루프를 닫고 전원이 제거되어, 인덕터 전류는 R을 통해 감쇠한다. t = 1 ms에서 R 양단의 전압 v_R을(를) 구하시오.

i(0) = 3 AR = 33 ΩL = 10 mHt = 1 ms

v_R = V

6.RC·RL 과도 현상어려움

스위치가 오랫동안 닫혀 있었으므로 회로는 정상 상태이다. t = 0에 스위치가 열린다. t = 500 ms에서 커패시터 전압 v_C을(를) 구하시오.

V_s = 15 VR₁ = 10 kΩR₂ = 3.3 kΩC = 100 µFt = 500 ms

v_C = V

7.자기장과 유도보통

감은 수 500, 넓이 80 cm²인 코일이 있다. 코일에 수직인 균일한 자기장이 200 ms 동안 0.2 T에서 0.4 T로 일정하게 증가한다. 평균 유도 기전력 ε을(를) 구하시오.

N = 500A = 80 cm²B: 0.2 T → 0.4 TΔt = 200 ms

ε = V

8.자기장과 유도어려움

감은 수 250, 8 cm × 15 cm인 코일이 자기장에 수직인 축을 중심으로 세기 0.2 T의 균일한 자기장 속에서 3000 rpm으로 회전한다. 기전력의 실횻값 E_rms을(를) 구하시오.

N = 250A = 8 cm × 15 cmB = 0.2 Tn = 3000 rpm

E_rms = V

9.교류 임피던스와 페이저보통

직렬 RLC 회로가 24 V (실효값), 100 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 10 µF

I = A

10.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로가 230 V (실효값), 100 Hz 전원에 연결되어 있다. 회로의 공진 주파수 f₀을(를) 구하시오.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF

f₀ = Hz

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: E = 2.22 × 10⁶ N/C

쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.

각 전하의 전기장

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0.18² = 2.775 × 10⁶ N/C

E₂ = k·8 × 10⁻⁶/0.12² = 4.994 × 10⁶ N/C

방향과 합

두 전하가 모두 양전하입니다: P에서 각 전기장은 자기 전하에서 멀어지는 방향, 즉 서로 반대 방향을 향합니다.

E = |2.775 × 10⁶ − 4.994 × 10⁶| = 2.22 × 10⁶ N/C

답

E = 2.22 × 10⁶ N/C

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: F = 138.1 N

q₃에 작용하는 각 힘

F₁ = k·6·4 × 10⁻¹²/0.04² = 134.8 N

F₂ = k·3·4 × 10⁻¹²/0.06² = 29.97 N

벡터 합

F = √(134.8² + 29.97²) = 138.1 N

답

F = 138.1 N

3.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 3.582 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 20 + 20 = 40 Ω

R₂ ∥ 40 = 5·40/(5+40) = 4.444 Ω

R_eq = R₁ + 4.444 = 3 + 4.444 = 7.444 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/7.444 = 4.03 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 4.03·3 = 17.91 V

I_R2 = V_A/R₂ = 17.91/5 = 3.582 A

답

I_R2 = 3.582 A

4.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 0.1733 A

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 5 + 5 = 10 Ω

R₄ ∥ 10 = 3.333 Ω

R₃ + 3.333 = 9.333 Ω

R₂ ∥ 9.333 = 6.364 Ω

R_eq = R₁ + 6.364 = 12 + 6.364 = 18.36 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/18.36 = 0.5446 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0.5446·12 = 3.465 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3.465/20 = 0.1733 A

답

I_R2 = 0.1733 A

5.RC·RL 과도 현상

답: v_R = 3.651 V

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수

τ = L/R = 10 mH / 33 Ω = 0.303 ms

전류의 감쇠

i(t) = 3·e^−1/0.303 = 0.1106 A

v_R = R·i = 33·0.1106 = 3.651 V

답

v_R = 3.651 V

6.RC·RL 과도 현상

답: v_C = 0.818 V

초기 커패시터 전압

정상 상태에서 커패시터는 개방 회로이므로 R₁과 R₂가 전압 분배기를 이룹니다. 스위치가 열릴 때 커패시터 전압은 급변할 수 없습니다.

v_C(0) = 15·3.3/(10 + 3.3) = 3.722 V

스위치가 열린 뒤의 시정수

τ = R₂·C = 3.3·100 = 330 ms

방전

v_C(t) = 3.722·e^−500/330 = 0.818 V

답

v_C = 0.818 V

7.자기장과 유도

답: ε = 4 V

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

한 번 감긴 부분당 선속 변화

ΔΦ = (0.4 − 0.2)·0.008 = 0.0016 Wb

평균 기전력

ε = NΔΦ/Δt = 500·0.0016/0.2 = 4 V

답

ε = 4 V

8.자기장과 유도

답: E_rms = 133.3 V

각속도와 넓이

ω = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

A = 0.012 m²

최대 기전력

E₀ = NBAω = 250·0.2·0.012·314.2 = 188.5 V

실횻값

E_rms = 188.5/√2 = 133.3 V

답

E_rms = 133.3 V

9.교류 임피던스와 페이저

답: I = 0.1592 A

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.05 = 31.42 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·10·10⁻⁶) = 159.2 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−127.7)²) = 150.7 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 24/150.7 = 0.1592 A

답

I = 0.1592 A

10.교류 임피던스와 페이저

답: f₀ = 328.3 Hz

공진

공진 시 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 상쇄됩니다: ωL = 1/(ωC). 전원 주파수와는 관계없습니다.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.05·4.7·10⁻⁶)) = 328.3 Hz

답

f₀ = 328.3 Hz

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