쿨롱 법칙과 전기장
- 쿨롱 법칙
- F = k·|q1q2|/r²
- 점전하의 전기장
- E = k·|q|/r²
- 상수
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 전하가 받는 힘
- F = q·E
물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
저항의 직렬·병렬
- 저항의 직렬 연결
- Req = R1 + R2 + …
- 저항의 병렬 연결
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 두 저항의 병렬
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 옴의 법칙
- V = I·R
- 전력
- P = V·I = I²R = V²/R
방법
- 단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
- 직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
- 단계마다 회로를 다시 그리세요.
- 단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.
RC·RL 과도 현상
- 시정수
- τ = RC | τ = L/R
- 응답
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 직류에서의 커패시터
- 개방; vC는 갑자기 변할 수 없음
- 직류에서의 인덕터
- 단락; iL은 갑자기 변할 수 없음
- 정상 상태 값
- t ≈ 5τ
방법
- 스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
- 스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
- 커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.
자기장과 유도
- 긴 직선 도선
- B = μ0I/(2πr)
- 평평한 코일의 중심
- B = μ0NI/(2R)
- 긴 솔레노이드
- B = μ0nI, n = N/L
- 상수
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 도선에 작용하는 힘
- F = BIL·sin θ
- 전하가 받는 힘
- F = |q|vB·sin θ
- 원운동
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 평행한 도선
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 선속
- Φ = BA·cos θ
- 패러데이 법칙
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 움직이는 막대
- ε = BLv
- 발전기
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 인덕턴스
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 상호 인덕턴스
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 속도 선택기와 질량 분석기
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
방법
- 모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
- 올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
- 유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
- 방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.
교류 임피던스와 페이저
- 임피던스
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 각주파수
- ω = 2πf
- 크기와 위상각
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 페이저 옴의 법칙
- V = I·Z
방법
- 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
- 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
- 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
- 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.
2연습 문제
1.쿨롱 법칙과 전기장보통
세 점전하가 한 직선 위에 있다. 왼쪽에 +3 µC, 거기서 40 cm 떨어진 오른쪽에 −3 µC, 그 사이 왼쪽 전하에서 24 cm인 곳에 +4 µC가 있다. 가운데 전하에 작용하는 알짜 전기력의 크기 F을(를) 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
qL = +3 µCqR = −3 µCqM = +4 µCrL = 24 cmrR = 16 cm
F = N
2.쿨롱 법칙과 전기장어려움
세 양의 점전하가 직각삼각형의 꼭짓점에 있다. q₃ = 6 µC는 직각인 꼭짓점에 있고, q₁ = 5 µC는 한 변을 따라 q₃에서 10 cm, q₂ = 2 µC는 다른 변을 따라 q₃에서 3 cm 떨어져 있다. q₃에 작용하는 알짜 전기력의 크기 F을(를) 구하시오.
q1 = 5 µCq2 = 2 µCq3 = 6 µCr13 = 10 cmr23 = 3 cm
F = N
3.저항의 직렬·병렬보통
R2에 흐르는 전류 IR2을(를) 구하시오.
V1 = 30 VR1 = 12 ΩR2 = 6 ΩR3 = 3 ΩR4 = 12 Ω
IR2 = A
4.저항의 직렬·병렬어려움
전원이 공급하며 R1에 흐르는 전류 IR1을(를) 구하시오.
V1 = 10 VR1 = 5 ΩR2 = 12 ΩR3 = 4 ΩR4 = 20 ΩR5 = 15 ΩR6 = 10 Ω
IR1 = A
5.RC·RL 과도 현상보통
t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. t = 1 ms에서 인덕터 전압 vL을(를) 구하시오.
Vs = 20 VR = 22 ΩL = 22 mHt = 1 ms
vL = V
6.RC·RL 과도 현상어려움
t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 10 V이다. t = 300 ms에서 커패시터 전압 vC을(를) 구하시오.
Vs = 15 VR = 2.2 kΩC = 100 µFvC(0) = 10 Vt = 300 ms
vC = V
7.자기장과 유도보통
감은 수 20, 넓이 10 cm², 저항 20 Ω인 코일이 닫힌 회로를 이룬다. 코일에 수직인 균일한 자기장이 50 ms 동안 0.2 T에서 0.8 T로 일정하게 증가한다. 평균 유도 전류 I을(를) 구하시오.
N = 20A = 10 cm²B: 0.2 T → 0.8 TΔt = 50 msR = 20 Ω
I = mA
8.자기장과 유도어려움
긴 공심 솔레노이드의 감은 수가 300, 길이가 10 cm, 지름이 1 cm이다. 자체 인덕턴스 L을(를) 구하시오.
N = 300l = 10 cm⌀ = 1 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = µH
9.교류 임피던스와 페이저보통
직렬 RLC 회로가 24 V (실효값), 100 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.
V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 22 µF
I = A
10.교류 임피던스와 페이저어려움
직렬 RLC 회로가 100 V (실효값), 100 Hz 전원에 연결되어 있다. 회로의 공진 주파수 f0을(를) 구하시오.
V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩL = 250 mHC = 22 µF
f0 = Hz
3용액
1.쿨롱 법칙과 전기장
답: F = 6.087 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
각 전하에 의한 힘
오른쪽이 양입니다.
FL = +k·3·4 × 10⁻¹²/0.24² = 1.873 N
FR = +k·3·4 × 10⁻¹²/0.16² = 4.214 N
알짜힘
F = 1.873 + (4.214) = 6.087 N → |F| = 6.087 N
답
F = 6.087 N
알짜힘은 오른쪽을 향합니다.
2.쿨롱 법칙과 전기장
답: F = 122.9 N
쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.
q₃에 작용하는 각 힘
F1 = k·5·6 × 10⁻¹²/0.1² = 26.97 N
F2 = k·2·6 × 10⁻¹²/0.03² = 119.9 N
벡터 합
F = √(26.97² + 119.9²) = 122.9 N
답
F = 122.9 N
3.저항의 직렬·병렬
답: IR2 = 1.316 A
직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.
먼 쪽 끝부터 저항 합치기
전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.
R3 + R4 = 3 + 12 = 15 Ω
R2 ∥ 15 = 6·15/(6+15) = 4.286 Ω
Req = R1 + 4.286 = 12 + 4.286 = 16.29 Ω
전원 전류
전원은 Req만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.
IR1 = V1/Req = 30/16.29 = 1.842 A
R₂에 흐르는 전류
R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.
VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 1.842·12 = 7.895 V
IR2 = VA/R2 = 7.895/6 = 1.316 A
답
IR2 = 1.316 A
4.저항의 직렬·병렬
답: IR1 = 0.8555 A
직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.
먼 쪽 끝부터 저항 합치기
전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.
R5 + R6 = 15 + 10 = 25 Ω
R4 ∥ 25 = 11.11 Ω
R3 + 11.11 = 15.11 Ω
R2 ∥ 15.11 = 6.689 Ω
Req = R1 + 6.689 = 5 + 6.689 = 11.69 Ω
전원 전류
전원은 Req만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.
IR1 = V1/Req = 10/11.69 = 0.8555 A
답
IR1 = 0.8555 A
5.RC·RL 과도 현상
답: vL = 7.358 V
1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.
시정수와 최종 전류
스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.
τ = L/R = 22 mH / 22 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 20/22 = 0.9091 A
인덕터 전압
t = 0에서는 전원 전압 전체가 인덕터에 걸리고, 이후 0으로 감소합니다.
vL(t) = Vs·e−t/τ = 20·e−1/1 = 7.358 V
답
vL = 7.358 V
6.RC·RL 과도 현상
답: vC = 13.72 V
1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.
초기값, 최종값, 시정수
커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.
vC(0) = 10 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 2.2 kΩ · 100 µF = 220 ms
vC(t) = 15 + (10 − 15)·e−t/τ
주어진 시각의 전압
vC(300) = 15 + (−5)·e−300/220 = 13.72 V
답
vC = 13.72 V
7.자기장과 유도
답: I = 12 mA
전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.
한 번 감긴 부분당 선속 변화
ΔΦ = (0.8 − 0.2)·0.001 = 0.0006 Wb
평균 기전력
ε = NΔΦ/Δt = 20·0.0006/0.05 = 0.24 V
전류
I = ε/R = 0.24/20 = 0.012 A
답
I = 12 mA
8.자기장과 유도
답: L = 88.83 µH
전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.
단면
A = π·(0.005)² = 7.854 × 10⁻⁵ m²
자체 인덕턴스
L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·300²·7.854 × 10⁻⁵/0.1 = 8.883 × 10⁻⁵ H = 88.83 µH
답
L = 88.83 µH
9.교류 임피던스와 페이저
답: I = 0.5837 A
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
리액턴스
ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.1 = 62.83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·22·10⁻⁶) = 72.34 Ω
임피던스
직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (−9.511)²) = 41.12 Ω
전류
직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.
I = V/|Z| = 24/41.12 = 0.5837 A
답
I = 0.5837 A
10.교류 임피던스와 페이저
답: f0 = 67.86 Hz
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
공진
공진 시 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 상쇄됩니다: ωL = 1/(ωC). 전원 주파수와는 관계없습니다.
f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.25·22·10⁻⁶)) = 67.86 Hz
답
f0 = 67.86 Hz
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