물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

+8 µC와 +6 µC의 전하가 100 cm 떨어져 있다. 두 전하를 잇는 선 위에서 +8 µC 전하로부터 얼마나 떨어진 곳 x에서 전기장이 0인가?

q₁ = +8 µCq₂ = +6 µCd = 100 cm

x = cm

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

세 양의 점전하가 직각삼각형의 꼭짓점에 있다. q₃ = 1 µC는 직각인 꼭짓점에 있고, q₁ = 10 µC는 한 변을 따라 q₃에서 3 cm, q₂ = 2 µC는 다른 변을 따라 q₃에서 10 cm 떨어져 있다. q₃에 작용하는 알짜 전기력의 크기 F을(를) 구하시오.

q₁ = 10 µCq₂ = 2 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.저항의 직렬·병렬보통

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

4.저항의 직렬·병렬어려움

전원 V₁이(가) 보는 합성 저항 R_eq을(를) 구하시오.

V₁ = 9 VR₁ = 4 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 5 Ω

R_eq = Ω

5.RC·RL 과도 현상보통

인덕터에 2 A의 정상 전류가 흐른다. t = 0에 스위치가 R을 통한 루프를 닫고 전원이 제거되어, 인덕터 전류는 R을 통해 감쇠한다. t = 1 ms에서 R 양단의 전압 v_R을(를) 구하시오.

i(0) = 2 AR = 10 ΩL = 10 mHt = 1 ms

v_R = V

6.RC·RL 과도 현상어려움

타이머가 t = 0에 9 V 전원에서 저항을 통해 충전되지 않은 커패시터를 충전하기 시작한다. 타이머는 시작 후 정확히 1000 ms에 커패시터 전압이 5.69 V에 도달할 때 작동해야 한다. C = 47 µF일 때 필요한 저항 R을(를) 구하시오.

V_s = 9 VV_th = 5.69 VT = 1000 msC = 47 µF

R = kΩ

7.자기장과 유도보통

감은 수 25, 넓이 25 cm²인 코일이 있다. 코일에 수직인 균일한 자기장이 500 ms 동안 0.05 T에서 0.45 T로 일정하게 증가한다. 평균 유도 기전력 ε을(를) 구하시오.

N = 25A = 25 cm²B: 0.05 T → 0.45 TΔt = 500 ms

ε = mV

8.자기장과 유도어려움

감은 수 150, 10 cm × 15 cm인 코일이 자기장에 수직인 축을 중심으로 세기 0.5 T의 균일한 자기장 속에서 1800 rpm으로 회전한다. 최대 기전력 E₀을(를) 구하시오.

N = 150A = 10 cm × 15 cmB = 0.5 Tn = 1800 rpm

E₀ = V

9.교류 임피던스와 페이저보통

직렬 RLC 회로가 230 V (실효값), 500 Hz 전원에 연결되어 있다. 전원에서 공급받는 유효 전력 P을(를) 구하시오.

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF

P = W

10.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로의 R = 50 Ω, L = 100 mH, C = 10 µF이다. 대역폭 B(반전력 주파수 사이 대역의 폭)을(를) Hz로 구하시오.

R = 50 ΩL = 100 mHC = 10 µF

B = Hz

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: x = 53.59 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

같은 전기장

8/x² = 6/(100 − x)²

(100 − x)/x = √(6/8) = 0.866

위치

x = 100/(1 + 0.866) = 53.59 cm

답

x = 53.59 cm

0인 점은 항상 작은 전하에 더 가깝습니다.

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: F = 99.91 N

쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.

q₃에 작용하는 각 힘

F₁ = k·10·1 × 10⁻¹²/0.03² = 99.89 N

F₂ = k·2·1 × 10⁻¹²/0.1² = 1.798 N

벡터 합

F = √(99.89² + 1.798²) = 99.91 N

답

F = 99.91 N

3.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 0.8607 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 6 + 8 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 8·14/(8+14) = 5.091 Ω

R_eq = R₁ + 5.091 = 6 + 5.091 = 11.09 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/11.09 = 1.352 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1.352·6 = 6.885 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6.885/8 = 0.8607 A

답

I_R2 = 0.8607 A

4.저항의 직렬·병렬

답: R_eq = 7.565 Ω

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 30 + 5 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 2.763 Ω

R₃ + 2.763 = 32.76 Ω

R₂ ∥ 32.76 = 3.565 Ω

R_eq = R₁ + 3.565 = 4 + 3.565 = 7.565 Ω

답

R_eq = 7.565 Ω

5.RC·RL 과도 현상

답: v_R = 7.358 V

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수

τ = L/R = 10 mH / 10 Ω = 1 ms

전류의 감쇠

i(t) = 2·e^−1/1 = 0.7358 A

v_R = R·i = 10·0.7358 = 7.358 V

답

v_R = 7.358 V

6.RC·RL 과도 현상

답: R = 21.27 kΩ

필요한 시정수

5.69 = 9·(1 − e^−1000/τ) → τ = 1000/ln(9/(9 − 5.69))

τ = 1000/1 = 999.7 ms

저항

kΩ × µF는 밀리초입니다.

R = τ/C = 999.7/47 = 21.27 kΩ

답

R = 21.27 kΩ

7.자기장과 유도

답: ε = 50 mV

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

한 번 감긴 부분당 선속 변화

ΔΦ = (0.45 − 0.05)·0.0025 = 0.001 Wb

평균 기전력

ε = NΔΦ/Δt = 25·0.001/0.5 = 0.05 V

답

ε = 50 mV

8.자기장과 유도

답: E₀ = 212.1 V

각속도와 넓이

ω = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

A = 0.015 m²

최대 기전력

E₀ = NBAω = 150·0.5·0.015·188.5 = 212.1 V

답

E₀ = 212.1 V

9.교류 임피던스와 페이저

답: P = 274 W

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

X_L = 157.1 Ω, X_C = 67.73 Ω

임피던스

|Z| = √(60² + (89.35)²) = 107.6 Ω

유효 전력

인덕터와 커패시터는 에너지를 저장했다가 돌려줄 뿐이며, 저항이 유효 전력을 모두 흡수합니다.

I = 230/107.6 = 2.137 A

P = I²·R = 2.137²·60 = 274 W

답

P = 274 W

10.교류 임피던스와 페이저

답: B = 79.58 Hz

공진 주파수

f₀ = 1/(2π·√(0.1·10·10⁻⁶)) = 159.2 Hz

선택도

Q는 공진에서의 리액턴스를 저항과 비교합니다: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0.1/(10·10⁻⁶)) = 2

대역폭

B = f₀/Q = 159.2/2 = 79.58 Hz

답

B = 79.58 Hz

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