물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

+5 µC와 +3 µC의 전하가 50 cm 떨어져 있다. 두 전하를 잇는 선 위에서 +5 µC 전하로부터 얼마나 떨어진 곳 x에서 전기장이 0인가?

q₁ = +5 µCq₂ = +3 µCd = 50 cm

x = cm

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

세 양의 점전하가 직각삼각형의 꼭짓점에 있다. q₃ = 2 µC는 직각인 꼭짓점에 있고, q₁ = 5 µC는 한 변을 따라 q₃에서 3 cm, q₂ = 3 µC는 다른 변을 따라 q₃에서 5 cm 떨어져 있다. q₃에 작용하는 알짜 전기력의 크기 F을(를) 구하시오.

q₁ = 5 µCq₂ = 3 µCq₃ = 2 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.저항의 직렬·병렬보통

전원이 공급하며 R₁에 흐르는 전류 I_R1을(를) 구하시오.

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 12 Ω

I_R1 = A

4.저항의 직렬·병렬어려움

전원이 공급하며 R₁에 흐르는 전류 I_R1을(를) 구하시오.

V₁ = 15 VR₁ = 15 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 4 Ω

I_R1 = A

5.RC·RL 과도 현상보통

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. t = 1 ms에서 전류 i을(를) 구하시오.

V_s = 20 VR = 50 ΩL = 47 mHt = 1 ms

i = A

6.RC·RL 과도 현상어려움

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 2 V이다. v_C이(가) 4.8 V에 도달하는 데 걸리는 시간은? t을(를) 구하시오.

V_s = 9 VR = 3.3 kΩC = 33 µFv_C(0) = 2 V

t = ms

7.자기장과 유도보통

감은 수 500, 넓이 25 cm², 저항 8 Ω인 코일이 닫힌 회로를 이룬다. 코일에 수직인 균일한 자기장이 20 ms 동안 0.05 T에서 0.25 T로 일정하게 증가한다. 평균 유도 전류 I을(를) 구하시오.

N = 500A = 25 cm²B: 0.05 T → 0.25 TΔt = 20 msR = 8 Ω

I = A

8.자기장과 유도어려움

긴 공심 솔레노이드의 감은 수가 300, 길이가 10 cm, 지름이 5 cm이다. 5 A가 흐를 때 자기장에 저장된 에너지 W을(를) 구하시오.

N = 300l = 10 cm⌀ = 5 cmI = 5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.교류 임피던스와 페이저보통

직렬 RLC 회로가 230 V (실효값), 50 Hz 전원에 연결되어 있다. 회로의 역률 cos φ을(를) 구하시오.

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 15 ΩL = 250 mHC = 47 µF

cos φ =

10.교류 임피던스와 페이저어려움

저항 R₁이(가) R₂와(과) 커패시터 C의 병렬 조합과 직렬로 연결되어 12 V(실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 크기 |Z|을(를) 구하시오.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR₁ = 25 ΩR₂ = 100 ΩC = 10 µF

|Z| = Ω

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: x = 28.18 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

같은 전기장

5/x² = 3/(50 − x)²

(50 − x)/x = √(3/5) = 0.7746

위치

x = 50/(1 + 0.7746) = 28.18 cm

답

x = 28.18 cm

0인 점은 항상 작은 전하에 더 가깝습니다.

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: F = 102.2 N

쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.

q₃에 작용하는 각 힘

F₁ = k·5·2 × 10⁻¹²/0.03² = 99.89 N

F₂ = k·3·2 × 10⁻¹²/0.05² = 21.58 N

벡터 합

F = √(99.89² + 21.58²) = 102.2 N

답

F = 102.2 N

3.저항의 직렬·병렬

답: I_R1 = 1.047 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 20 + 12 = 32 Ω

R₂ ∥ 32 = 4·32/(4+32) = 3.556 Ω

R_eq = R₁ + 3.556 = 6 + 3.556 = 9.556 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/9.556 = 1.047 A

답

I_R1 = 1.047 A

4.저항의 직렬·병렬

답: I_R1 = 0.7516 A

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 25 + 4 = 29 Ω

R₄ ∥ 29 = 8.488 Ω

R₃ + 8.488 = 28.49 Ω

R₂ ∥ 28.49 = 4.956 Ω

R_eq = R₁ + 4.956 = 15 + 4.956 = 19.96 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/19.96 = 0.7516 A

답

I_R1 = 0.7516 A

5.RC·RL 과도 현상

답: i = 0.2619 A

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 47 mH / 50 Ω = 0.94 ms

i(∞) = V_s/R = 20/50 = 0.4 A

주어진 시각의 전류

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.4·(1 − e^−1/0.94) = 0.2619 A

답

i = 0.2619 A

6.RC·RL 과도 현상

답: t = 55.63 ms

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 3.3 kΩ · 33 µF = 108.9 ms

v_C(t) = 9 + (2 − 9)·e^−t/τ

시간에 대해 풀기

4.8 = 9 + (−7)·e^−t/τ → e^−t/τ = (4.8 − 9)/(2 − 9) = 0.6

t = τ·ln((2 − 9)/(4.8 − 9)) = 108.9·ln(1.667) = 55.63 ms

답

t = 55.63 ms

7.자기장과 유도

답: I = 1.563 A

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

한 번 감긴 부분당 선속 변화

ΔΦ = (0.25 − 0.05)·0.0025 = 0.0005 Wb

평균 기전력

ε = NΔΦ/Δt = 500·0.0005/0.02 = 12.5 V

전류

I = ε/R = 12.5/8 = 1.563 A

답

I = 1.563 A

8.자기장과 유도

답: W = 27.76 mJ

자체 인덕턴스

L = μ₀N²A/l = 2.221 mH

저장된 에너지

W = ½LI² = ½·0.002221·5² = 0.02776 J = 27.76 mJ

답

W = 27.76 mJ

9.교류 임피던스와 페이저

답: cos φ = 0.8112

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

X_L = 78.54 Ω, X_C = 67.73 Ω

임피던스

|Z| = √(15² + (10.81)²) = 18.49 Ω

역률

cos φ = R/|Z| = 15/18.49 = 0.8112

회로가 유도성이므로 역률은 지상입니다.

답

cos φ = 0.8112

10.교류 임피던스와 페이저

답: |Z| = 80.26 Ω

리액턴스

X_C = 1/(2π·200·10·10⁻⁶) = 79.58 Ω

병렬 조합

분자와 분모에 켤레 복소수를 곱해 Z_p를 실수부와 허수부로 나누세요.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 38.77 − j48.72 Ω

전체 임피던스

Z = 25 + 38.77 − j48.72 = 63.77 − j48.72 Ω

|Z| = √(63.77² + 48.72²) = 80.26 Ω

답

|Z| = 80.26 Ω

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