쿨롱 법칙과 전기장
- 쿨롱 법칙
- F = k·|q1q2|/r²
- 점전하의 전기장
- E = k·|q|/r²
- 상수
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 전하가 받는 힘
- F = q·E
물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
저항의 직렬·병렬
- 저항의 직렬 연결
- Req = R1 + R2 + …
- 저항의 병렬 연결
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 두 저항의 병렬
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 옴의 법칙
- V = I·R
- 전력
- P = V·I = I²R = V²/R
방법
- 단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
- 직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
- 단계마다 회로를 다시 그리세요.
- 단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.
RC·RL 과도 현상
- 시정수
- τ = RC | τ = L/R
- 응답
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 직류에서의 커패시터
- 개방; vC는 갑자기 변할 수 없음
- 직류에서의 인덕터
- 단락; iL은 갑자기 변할 수 없음
- 정상 상태 값
- t ≈ 5τ
방법
- 스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
- 스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
- 커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.
자기장과 유도
- 긴 직선 도선
- B = μ0I/(2πr)
- 평평한 코일의 중심
- B = μ0NI/(2R)
- 긴 솔레노이드
- B = μ0nI, n = N/L
- 상수
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 도선에 작용하는 힘
- F = BIL·sin θ
- 전하가 받는 힘
- F = |q|vB·sin θ
- 원운동
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 평행한 도선
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 선속
- Φ = BA·cos θ
- 패러데이 법칙
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 움직이는 막대
- ε = BLv
- 발전기
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 인덕턴스
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 상호 인덕턴스
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 속도 선택기와 질량 분석기
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
방법
- 모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
- 올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
- 유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
- 방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.
교류 임피던스와 페이저
- 임피던스
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 각주파수
- ω = 2πf
- 크기와 위상각
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 페이저 옴의 법칙
- V = I·Z
방법
- 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
- 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
- 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
- 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.
2연습 문제
1.쿨롱 법칙과 전기장보통
+1 µC와 +6 µC의 전하가 20 cm 떨어져 있다. 두 전하를 잇는 선 위에서 +1 µC 전하로부터 얼마나 떨어진 곳 x에서 전기장이 0인가?
q1 = +1 µCq2 = +6 µCd = 20 cm
x = cm
2.쿨롱 법칙과 전기장어려움
세 양의 점전하가 직각삼각형의 꼭짓점에 있다. q₃ = 1 µC는 직각인 꼭짓점에 있고, q₁ = 4 µC는 한 변을 따라 q₃에서 8 cm, q₂ = 3 µC는 다른 변을 따라 q₃에서 4 cm 떨어져 있다. q₃에 작용하는 알짜 전기력의 크기 F을(를) 구하시오.
q1 = 4 µCq2 = 3 µCq3 = 1 µCr13 = 8 cmr23 = 4 cm
F = N
3.저항의 직렬·병렬보통
전원 V1이(가) 보는 합성 저항 Req을(를) 구하시오.
V1 = 24 VR1 = 12 ΩR2 = 10 ΩR3 = 3 ΩR4 = 6 Ω
Req = Ω
4.저항의 직렬·병렬어려움
R2에 흐르는 전류 IR2을(를) 구하시오.
V1 = 18 VR1 = 25 ΩR2 = 8 ΩR3 = 5 ΩR4 = 6 ΩR5 = 10 ΩR6 = 3 Ω
IR2 = A
5.RC·RL 과도 현상보통
전원 Vₛ가 R₁을 통해 커패시터를 충전하며, R₂는 C와 병렬로 연결되어 있습니다. t = 0에서 스위치가 닫힐 때 커패시터는 충전되어 있지 않다. t = 750 ms에서 커패시터 전압 vC을(를) 구하시오.
Vs = 15 VR1 = 10 kΩR2 = 10 kΩC = 68 µFt = 750 ms
vC = V
6.RC·RL 과도 현상어려움
스위치가 오랫동안 닫혀 있었으므로 회로는 정상 상태이다. t = 0에 스위치가 열린다. t = 1000 ms에서 커패시터 전압 vC을(를) 구하시오.
Vs = 10 VR1 = 4.7 kΩR2 = 10 kΩC = 220 µFt = 1000 ms
vC = V
7.자기장과 유도보통
10 cm 떨어진 긴 평행 도선 두 개에 같은 방향으로 25 A와 20 A의 전류가 흐른다. 두 도선의 한가운데 점 P에서의 자기선속밀도의 크기 B을(를) 구하시오.
I1 = 25 AI2 = 20 Ad = 10 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
B = µT
8.자기장과 유도어려움
감은 수 50, 12 cm × 10 cm인 코일이 자기장에 수직인 축을 중심으로 세기 0.1 T의 균일한 자기장 속에서 3600 rpm으로 회전한다. 기전력의 실횻값 Erms을(를) 구하시오.
N = 50A = 12 cm × 10 cmB = 0.1 Tn = 3600 rpm
Erms = V
9.교류 임피던스와 페이저보통
직렬 RLC 회로가 10 V (실효값), 1000 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.
V = 10 V (rms)f = 1000 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 2.2 µF
I = A
10.교류 임피던스와 페이저어려움
직렬 RLC 회로가 50 V (실효값), 100 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.
V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 25 ΩL = 250 mHC = 4.7 µF
I = A
3용액
1.쿨롱 법칙과 전기장
답: x = 5.798 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
같은 전기장
1/x² = 6/(20 − x)²
(20 − x)/x = √(6/1) = 2.449
위치
x = 20/(1 + 2.449) = 5.798 cm
답
x = 5.798 cm
0인 점은 항상 작은 전하에 더 가깝습니다.
2.쿨롱 법칙과 전기장
답: F = 17.77 N
쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.
q₃에 작용하는 각 힘
F1 = k·4·1 × 10⁻¹²/0.08² = 5.619 N
F2 = k·3·1 × 10⁻¹²/0.04² = 16.86 N
벡터 합
F = √(5.619² + 16.86²) = 17.77 N
답
F = 17.77 N
3.저항의 직렬·병렬
답: Req = 16.74 Ω
직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.
먼 쪽 끝부터 저항 합치기
전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.
R3 + R4 = 3 + 6 = 9 Ω
R2 ∥ 9 = 10·9/(10+9) = 4.737 Ω
Req = R1 + 4.737 = 12 + 4.737 = 16.74 Ω
답
Req = 16.74 Ω
4.저항의 직렬·병렬
답: IR2 = 0.3275 A
직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.
먼 쪽 끝부터 저항 합치기
전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.
R5 + R6 = 10 + 3 = 13 Ω
R4 ∥ 13 = 4.105 Ω
R3 + 4.105 = 9.105 Ω
R2 ∥ 9.105 = 4.258 Ω
Req = R1 + 4.258 = 25 + 4.258 = 29.26 Ω
전원 전류
전원은 Req만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.
IR1 = V1/Req = 18/29.26 = 0.6152 A
R₂에 흐르는 전류
R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.
VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 0.6152·25 = 2.62 V
IR2 = VA/R2 = 2.62/8 = 0.3275 A
답
IR2 = 0.3275 A
5.RC·RL 과도 현상
답: vC = 6.674 V
1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.
커패시터에서 본 테브난 등가 회로
Rth를 구하려면 전원을 단락하고, 최종 전압을 구하려면 커패시터를 개방하세요.
Rth = R1 ∥ R2 = 10·10/(10 + 10) = 5 kΩ
vC(∞) = 15·10/(10 + 10) = 7.5 V
시정수
τ = Rth·C = 5·68 = 340 ms
충전 곡선
vC(t) = 7.5·(1 − e−750/340) = 6.674 V
답
vC = 6.674 V
6.RC·RL 과도 현상
답: vC = 4.318 V
1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.
초기 커패시터 전압
정상 상태에서 커패시터는 개방 회로이므로 R₁과 R₂가 전압 분배기를 이룹니다. 스위치가 열릴 때 커패시터 전압은 급변할 수 없습니다.
vC(0) = 10·10/(4.7 + 10) = 6.803 V
스위치가 열린 뒤의 시정수
τ = R2·C = 10·220 = 2200 ms
방전
vC(t) = 6.803·e−1000/2200 = 4.318 V
답
vC = 4.318 V
7.자기장과 유도
답: B = 20 µT
전류의 자기장: 긴 직선 도선 주위의 자기력선은 원이며(오른손 법칙) B = μ₀I/(2πr)입니다. 감은 수 N인 평평한 원형 코일의 중심에서는 B = μ₀NI/(2R)입니다. 긴 솔레노이드 안에서는 자기장이 균일하며, 반지름과 관계없이 B = μ₀nI이고 n = N/L은 1미터당 감은 수입니다. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. SI 단위(미터와 암페어)로 계산하고, 여러 전원의 자기장은 벡터로 더하세요.
P에서 각 도선의 자기장
B1 = 2 × 10⁻⁷·25/0.05 = 100 µT
B2 = 2 × 10⁻⁷·20/0.05 = 80 µT
합치기
B = |B₁ − B₂| = 20 µT
답
B = 20 µT
8.자기장과 유도
답: Erms = 15.99 V
전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.
각속도와 넓이
ω = 2π·3600/60 = 377 rad/s
A = 0.012 m²
최대 기전력
E₀ = NBAω = 50·0.1·0.012·377 = 22.62 V
실횻값
Erms = 22.62/√2 = 15.99 V
답
Erms = 15.99 V
9.교류 임피던스와 페이저
답: I = 0.08824 A
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
리액턴스
ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0.02 = 125.7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·2.2·10⁻⁶) = 72.34 Ω
임피던스
직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (53.32)²) = 113.3 Ω
전류
직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.
I = V/|Z| = 10/113.3 = 0.08824 A
답
I = 0.08824 A
10.교류 임피던스와 페이저
답: I = 0.2728 A
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
리액턴스
ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.25 = 157.1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·4.7·10⁻⁶) = 338.6 Ω
임피던스
직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (−181.5)²) = 183.3 Ω
전류
직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.
I = V/|Z| = 50/183.3 = 0.2728 A
답
I = 0.2728 A
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