쿨롱 법칙과 전기장
- 쿨롱 법칙
- F = k·|q1q2|/r²
- 점전하의 전기장
- E = k·|q|/r²
- 상수
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 전하가 받는 힘
- F = q·E
물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
저항의 직렬·병렬
- 저항의 직렬 연결
- Req = R1 + R2 + …
- 저항의 병렬 연결
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 두 저항의 병렬
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 옴의 법칙
- V = I·R
- 전력
- P = V·I = I²R = V²/R
방법
- 단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
- 직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
- 단계마다 회로를 다시 그리세요.
- 단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.
RC·RL 과도 현상
- 시정수
- τ = RC | τ = L/R
- 응답
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 직류에서의 커패시터
- 개방; vC는 갑자기 변할 수 없음
- 직류에서의 인덕터
- 단락; iL은 갑자기 변할 수 없음
- 정상 상태 값
- t ≈ 5τ
방법
- 스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
- 스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
- 커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.
자기장과 유도
- 긴 직선 도선
- B = μ0I/(2πr)
- 평평한 코일의 중심
- B = μ0NI/(2R)
- 긴 솔레노이드
- B = μ0nI, n = N/L
- 상수
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 도선에 작용하는 힘
- F = BIL·sin θ
- 전하가 받는 힘
- F = |q|vB·sin θ
- 원운동
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 평행한 도선
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 선속
- Φ = BA·cos θ
- 패러데이 법칙
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 움직이는 막대
- ε = BLv
- 발전기
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 인덕턴스
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 상호 인덕턴스
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 속도 선택기와 질량 분석기
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
방법
- 모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
- 올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
- 유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
- 방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.
교류 임피던스와 페이저
- 임피던스
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 각주파수
- ω = 2πf
- 크기와 위상각
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 페이저 옴의 법칙
- V = I·Z
방법
- 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
- 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
- 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
- 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.
2연습 문제
1.쿨롱 법칙과 전기장보통
+2 µC인 전하와 +3 µC인 전하가 60 cm 떨어져 있다. 점 P는 두 전하를 잇는 선분 위에 있으며 첫 번째 전하로부터 36 cm 떨어져 있다. P에서 전기장의 크기 E을(를) 구하시오.
q1 = +2 µCq2 = +3 µCr1 = 36 cmr2 = 24 cm
E = N/C
2.쿨롱 법칙과 전기장어려움
전자가 평행한 두 판 사이의 균일한 전기장에 판과 평행하게 3.5 × 10⁷ m/s로 들어간다. 판의 길이는 4 cm이고 판 사이의 전기장은 3200 N/C이다. 전자의 전하는 1.602 × 10⁻¹⁹ C, 질량은 9.109 × 10⁻³¹ kg이며 중력은 무시한다. 판을 벗어날 때 옆으로 얼마나 y 휘어지는가? mm로 답하시오.
v₀ = 3.5 × 10⁷ m/sL = 4 cmE = 3200 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9.109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.저항의 직렬·병렬보통
전원이 공급하며 R1에 흐르는 전류 IR1을(를) 구하시오.
V1 = 24 VR1 = 5 ΩR2 = 20 ΩR3 = 20 ΩR4 = 4 Ω
IR1 = A
4.저항의 직렬·병렬어려움
전원 V1이(가) 보는 합성 저항 Req을(를) 구하시오.
V1 = 10 VR1 = 30 ΩR2 = 8 ΩR3 = 4 ΩR4 = 20 ΩR5 = 6 ΩR6 = 10 Ω
Req = Ω
5.RC·RL 과도 현상보통
인덕터에 3 A의 정상 전류가 흐른다. t = 0에 스위치가 R을 통한 루프를 닫고 전원이 제거되어, 인덕터 전류는 R을 통해 감쇠한다. t = 1 ms에서 전류 i을(를) 구하시오.
i(0) = 3 AR = 50 ΩL = 68 mHt = 1 ms
i = A
6.RC·RL 과도 현상어려움
t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 8 V이다. vC이(가) 12.9 V에 도달하는 데 걸리는 시간은? t을(를) 구하시오.
Vs = 15 VR = 3.3 kΩC = 220 µFvC(0) = 8 V
t = ms
7.자기장과 유도보통
전류 왼쪽이(가) 흐르는 도선이 종이 밖으로을(를) 향하는 균일한 자기장 속에 있다. 도선에 작용하는 자기력의 방향을 클릭하세요.
I: 왼쪽B: 종이 밖으로
- 1종이 위쪽
- 2오른쪽
- 3종이 아래쪽
- 4왼쪽
8.자기장과 유도어려움
긴 공심 솔레노이드의 감은 수가 100, 길이가 40 cm, 지름이 1.5 cm이다. 자체 인덕턴스 L을(를) 구하시오.
N = 100l = 40 cm⌀ = 1.5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
L = µH
9.교류 임피던스와 페이저보통
직렬 RLC 회로가 50 V (실효값), 500 Hz 전원에 연결되어 있다. 전원에서 공급받는 유효 전력 P을(를) 구하시오.
V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 22 µF
P = W
10.교류 임피던스와 페이저어려움
저항 R1이(가) R2와(과) 커패시터 C의 병렬 조합과 직렬로 연결되어 50 V(실효값), 50 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 크기 |Z|을(를) 구하시오.
V = 50 V (rms)f = 50 HzR1 = 50 ΩR2 = 100 ΩC = 100 µF
|Z| = Ω
3용액
1.쿨롱 법칙과 전기장
답: E = 329495 N/C
쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.
각 전하의 전기장
E1 = k·2 × 10⁻⁶/0.36² = 138735 N/C
E2 = k·3 × 10⁻⁶/0.24² = 468229 N/C
방향과 합
두 전하가 모두 양전하입니다: P에서 각 전기장은 자기 전하에서 멀어지는 방향, 즉 서로 반대 방향을 향합니다.
E = |138735 − 468229| = 329495 N/C
답
E = 329495 N/C
2.쿨롱 법칙과 전기장
답: y = 0.3675 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
판 사이를 지나는 시간
t = L/v₀ = 0.04/3.5 × 10⁷ = 1.143 × 10⁻⁹ s
옆 방향 가속도
a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·3200/9.109 × 10⁻³¹ = 5.628 × 10¹⁴ m/s²
처짐
y = ½·a·t² = ½·5.628 × 10¹⁴·(1.143 × 10⁻⁹)² = 0.0003675 m = 0.3675 mm
답
y = 0.3675 mm
전자는 전기장 방향과 반대로, 양극판 쪽으로 밀립니다.
3.저항의 직렬·병렬
답: IR1 = 1.509 A
직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.
먼 쪽 끝부터 저항 합치기
전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.
R3 + R4 = 20 + 4 = 24 Ω
R2 ∥ 24 = 20·24/(20+24) = 10.91 Ω
Req = R1 + 10.91 = 5 + 10.91 = 15.91 Ω
전원 전류
전원은 Req만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.
IR1 = V1/Req = 24/15.91 = 1.509 A
답
IR1 = 1.509 A
4.저항의 직렬·병렬
답: Req = 34.94 Ω
직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.
먼 쪽 끝부터 저항 합치기
전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.
R5 + R6 = 6 + 10 = 16 Ω
R4 ∥ 16 = 8.889 Ω
R3 + 8.889 = 12.89 Ω
R2 ∥ 12.89 = 4.936 Ω
Req = R1 + 4.936 = 30 + 4.936 = 34.94 Ω
답
Req = 34.94 Ω
5.RC·RL 과도 현상
답: i = 1.438 A
1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.
시정수
τ = L/R = 68 mH / 50 Ω = 1.36 ms
전류의 감쇠
i(t) = 3·e−1/1.36 = 1.438 A
답
i = 1.438 A
6.RC·RL 과도 현상
답: t = 874.1 ms
1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.
초기값, 최종값, 시정수
커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.
vC(0) = 8 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 3.3 kΩ · 220 µF = 726 ms
vC(t) = 15 + (8 − 15)·e−t/τ
시간에 대해 풀기
12.9 = 15 + (−7)·e−t/τ → e−t/τ = (12.9 − 15)/(8 − 15) = 0.3
t = τ·ln((8 − 15)/(12.9 − 15)) = 726·ln(3.333) = 874.1 ms
답
t = 874.1 ms
7.자기장과 유도
답: 종이 위쪽
자기력: 자기장 B 속에서 전류 I가 흐르는 직선 도선은 F = BIL·sin θ의 힘을, 움직이는 전하는 F = |q|vB·sin θ의 힘을 받습니다. θ는 전류(또는 속도)와 B 사이의 각입니다. 힘은 둘 모두에 수직입니다. 오른손 손가락을 I나 v 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리면 엄지가 양전하에 작용하는 F를 가리키고, 음전하는 반대입니다. F가 v에 수직이므로 균일한 자기장을 가로질러 움직이는 전하는 원운동을 합니다: |q|vB = mv²/r에서 r = mv/(|q|B)이고 주기 T = 2πm/(|q|B)는 속력에 의존하지 않습니다. 평행한 두 도선은 전류가 같은 방향이면 서로 끌어당깁니다: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).
오른손 법칙
손가락을 전류나 속도 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리세요. 엄지가 양전하에 작용하는 힘의 방향입니다.
I: 왼쪽, B: 종이 밖으로
힘의 방향
종이 위쪽
답
F: 종이 위쪽
8.자기장과 유도
답: L = 5.552 µH
전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.
단면
A = π·(0.0075)² = 0.0001767 m²
자체 인덕턴스
L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·100²·0.0001767/0.4 = 5.552 × 10⁻⁶ H = 5.552 µH
답
L = 5.552 µH
9.교류 임피던스와 페이저
답: P = 1.094 W
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
리액턴스
XL = 314.2 Ω, XC = 14.47 Ω
임피던스
|Z| = √(40² + (299.7)²) = 302.3 Ω
유효 전력
인덕터와 커패시터는 에너지를 저장했다가 돌려줄 뿐이며, 저항이 유효 전력을 모두 흡수합니다.
I = 50/302.3 = 0.1654 A
P = I²·R = 0.1654²·40 = 1.094 W
답
P = 1.094 W
10.교류 임피던스와 페이저
답: |Z| = 65.88 Ω
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
리액턴스
XC = 1/(2π·50·100·10⁻⁶) = 31.83 Ω
병렬 조합
분자와 분모에 켤레 복소수를 곱해 Zp를 실수부와 허수부로 나누세요.
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 9.2 − j28.9 Ω
전체 임피던스
Z = 50 + 9.2 − j28.9 = 59.2 − j28.9 Ω
|Z| = √(59.2² + 28.9²) = 65.88 Ω
답
|Z| = 65.88 Ω
ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism