물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

똑같은 작은 금속구 두 개의 전하가 +2 µC와 −4 µC이다. 두 구를 접촉시킨 뒤 다시 25 cm 떨어뜨려 놓는다. 이제 두 구 사이의 힘의 크기 F을(를) 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +2 µCq₂ = −4 µCr = 25 cm

F = N

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

+3 µC와 −3 µC의 전하가 12 cm 떨어져 있다. 점 P는 두 전하의 중점에서 6 cm 떨어진 수직 이등분선 위에 있다. P에서의 전기장 크기 E을(를) 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +3 µCq₂ = −3 µCd = 12 cmh = 6 cm

E = N/C

3.저항의 직렬·병렬보통

전원 V₁이(가) 보는 합성 저항 R_eq을(를) 구하시오.

V₁ = 18 VR₁ = 15 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 2 Ω

R_eq = Ω

4.저항의 직렬·병렬어려움

전원 V₁이(가) 보는 합성 저항 R_eq을(를) 구하시오.

V₁ = 30 VR₁ = 30 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

5.RC·RL 과도 현상보통

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. t = 25 ms에서 인덕터에 저장된 에너지 W을(를) mJ로 구하시오.

V_s = 24 VR = 15 ΩL = 150 mHt = 25 ms

W = mJ

6.RC·RL 과도 현상어려움

R₂ 양단의 스위치가 오랫동안 열려 있었으므로 인덕터 전류는 정상 상태이다. t = 0에 스위치가 닫혀 R₂을(를) 단락한다. t = 0 후 얼마 만에 인덕터 전류가 0.76 A에 도달하는가? t을(를) 구하시오.

V_s = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩL = 68 mH

t = ms

7.자기장과 유도보통

양성자이(가) 세기 0.4 T의 균일한 자기장 속에서 원운동을 한다. 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간 T을(를) 구하시오.

m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CB = 0.4 T

T = ns

8.자기장과 유도어려움

알파 입자이(가) 서로 수직인 장 E = 1 × 10⁵ V/m와 B₁ = 0.05 T가 있는 속도 선택기를 휘지 않고 통과한다. 그다음 직각으로 자기장 B₂ = 0.4 T만 있는 둘째 영역에 들어간다. 그곳에서 경로의 반지름 r을(를) 구하시오.

E = 1 × 10⁵ V/mB₁ = 0.05 TB₂ = 0.4 Tm = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.교류 임피던스와 페이저보통

직렬 RLC 회로가 100 V (실효값), 50 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 4.7 µF

I = A

10.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로가 100 V (실효값), 100 Hz 전원에 연결되어 있다. 회로의 공진 주파수 f₀을(를) 구하시오.

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 47 µF

f₀ = Hz

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: F = 0.1438 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

접촉 후의 전하

q′ = (2 + −4)/2 = −1 µC

새 힘

F = 8.99 × 10⁹·(1 × 10⁻⁶)²/0.25² = 0.1438 N

답

F = 0.1438 N

이제 두 구의 부호가 같으므로 서로 밀어냅니다.

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: E = 5.297 × 10⁶ N/C

한 전하의 거리와 전기장

r = √(6² + 6²) = 8.485 cm

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0.08485² = 3.746 × 10⁶ N/C

성분

이등분선 방향의 성분은 상쇄됩니다.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·3.746 × 10⁶·0.7071 = 5.297 × 10⁶ N/C

답

E = 5.297 × 10⁶ N/C

전기장은 양전하에서 음전하로 향하는 선에 평행합니다.

3.저항의 직렬·병렬

답: R_eq = 19.2 Ω

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 12 + 2 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 6·14/(6+14) = 4.2 Ω

R_eq = R₁ + 4.2 = 15 + 4.2 = 19.2 Ω

답

R_eq = 19.2 Ω

4.저항의 직렬·병렬

답: R_eq = 34.04 Ω

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 8 + 30 = 38 Ω

R₄ ∥ 38 = 5.182 Ω

R₃ + 5.182 = 8.182 Ω

R₂ ∥ 8.182 = 4.045 Ω

R_eq = R₁ + 4.045 = 30 + 4.045 = 34.04 Ω

답

R_eq = 34.04 Ω

5.RC·RL 과도 현상

답: W = 161.8 mJ

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 150 mH / 15 Ω = 10 ms

i(∞) = V_s/R = 24/15 = 1.6 A

주어진 시각의 전류

i(t) = 1.6·(1 − e^−25/10) = 1.469 A

저장된 에너지

W = ½·L·i² = ½·150·1.469² = 161.8 mJ

답

W = 161.8 mJ

6.RC·RL 과도 현상

답: t = 6.231 ms

초기값, 최종값, 시정수

t = 0 전에는 두 저항이 모두 루프에 있고, 그 후에는 닫힌 스위치가 R₂를 우회합니다.

i(0) = 10/(10 + 15) = 0.4 A

i(∞) = 10/10 = 1 A

τ = L/R = 68/10 = 6.8 ms

i(t) = 1 + (0.4 − 1)·e^−t/τ

시간에 대해 풀기

e^−t/τ = (0.76 − 1)/(0.4 − 1) = 0.4

t = 6.8·ln(2.5) = 6.231 ms

답

t = 6.231 ms

7.자기장과 유도

답: T = 164 ns

자기력: 자기장 B 속에서 전류 I가 흐르는 직선 도선은 F = BIL·sin θ의 힘을, 움직이는 전하는 F = |q|vB·sin θ의 힘을 받습니다. θ는 전류(또는 속도)와 B 사이의 각입니다. 힘은 둘 모두에 수직입니다. 오른손 손가락을 I나 v 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리면 엄지가 양전하에 작용하는 F를 가리키고, 음전하는 반대입니다. F가 v에 수직이므로 균일한 자기장을 가로질러 움직이는 전하는 원운동을 합니다: |q|vB = mv²/r에서 r = mv/(|q|B)이고 주기 T = 2πm/(|q|B)는 속력에 의존하지 않습니다. 평행한 두 도선은 전류가 같은 방향이면 서로 끌어당깁니다: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

원운동의 주기

더 빠른 입자는 더 큰 원을 그리므로 한 바퀴당 시간은 그대로입니다.

T = 2πm/(|q|B) = 2π·1.673 × 10⁻²⁷/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.4) = 164 ns

답

T = 164 ns

속력은 필요하지 않습니다. 그래서 사이클로트론은 고정된 진동수 하나를 쓸 수 있습니다.

8.자기장과 유도

답: r = 10.37 cm

선택된 속력

휘지 않음: 전기력 qE가 자기력 qvB와 균형을 이룹니다.

v = E/B₁ = 1 × 10⁵/0.05 = 2 × 10⁶ m/s

둘째 자기장에서의 반지름

r = mv/(|q|B₂) = 0.1037 m = 10.37 cm

답

r = 10.37 cm

9.교류 임피던스와 페이저

답: I = 0.1574 A

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s

X_L = ωL = 314.2·0.15 = 47.12 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314.2·4.7·10⁻⁶) = 677.3 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−630.1)²) = 635.2 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 100/635.2 = 0.1574 A

답

I = 0.1574 A

10.교류 임피던스와 페이저

답: f₀ = 73.41 Hz

공진

공진 시 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 상쇄됩니다: ωL = 1/(ωC). 전원 주파수와는 관계없습니다.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.1·47·10⁻⁶)) = 73.41 Hz

답

f₀ = 73.41 Hz

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