물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

+6 µC와 +8 µC의 전하가 30 cm 떨어져 있다. 두 전하를 잇는 선 위에서 +6 µC 전하로부터 얼마나 떨어진 곳 x에서 전기장이 0인가?

q₁ = +6 µCq₂ = +8 µCd = 30 cm

x = cm

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

질량이 각각 5 g인 똑같은 작은 공 두 개가 같은 점에서 길이 50 cm의 절연 실에 매달려 있다. 두 공에 같은 전하를 주자 각 실이 연직에서 10°인 곳에서 멈춘다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 각 공의 전하 q을(를) nC로 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 5 gL = 50 cmθ = 10°g = 9.81 m/s²

q = nC

3.저항의 직렬·병렬보통

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 10 VR₁ = 4 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

4.저항의 직렬·병렬어려움

전원이 공급하며 R₁에 흐르는 전류 I_R1을(를) 구하시오.

V₁ = 24 VR₁ = 25 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 6 Ω

I_R1 = A

5.RC·RL 과도 현상보통

전원 Vₛ가 R₁을 통해 커패시터를 충전하며, R₂는 C와 병렬로 연결되어 있습니다. t = 0에서 스위치가 닫힐 때 커패시터는 충전되어 있지 않다. t = 400 ms에서 커패시터 전압 v_C을(를) 구하시오.

V_s = 9 VR₁ = 10 kΩR₂ = 3.3 kΩC = 68 µFt = 400 ms

v_C = V

6.RC·RL 과도 현상어려움

R₂ 양단의 스위치가 오랫동안 닫혀 있었으므로 인덕터 전류는 정상 상태이다. t = 0에 스위치가 열린다. t = 1 ms에서의 인덕터 전류 i을(를) 구하시오.

V_s = 12 VR₁ = 15 ΩR₂ = 22 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

7.자기장과 유도보통

양성자이(가) 세기 0.4 T의 균일한 자기장에 수직으로 4 × 10⁶ m/s로 움직인다. 원형 경로의 반지름 r을(를) 구하시오.

m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 4 × 10⁶ m/sB = 0.4 T

r = cm

8.자기장과 유도어려움

긴 공심 솔레노이드의 감은 수가 1000, 길이가 15 cm, 지름이 2 cm이다. 자체 인덕턴스 L을(를) 구하시오.

N = 1000l = 15 cm⌀ = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = mH

9.교류 임피던스와 페이저보통

직렬 RLC 회로가 120 V (실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 회로의 역률 cos φ을(를) 구하시오.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 100 µF

cos φ =

10.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로가 24 V (실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 22 µF

I = A

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: x = 13.92 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

같은 전기장

6/x² = 8/(30 − x)²

(30 − x)/x = √(8/6) = 1.155

위치

x = 30/(1 + 1.155) = 13.92 cm

답

x = 13.92 cm

0인 점은 항상 작은 전하에 더 가깝습니다.

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: q = 170.3 nC

평형에서 구한 전기력

장력의 수평 성분은 F와, 수직 성분은 m·g와 평형을 이룹니다.

F = m·g·tan θ = 0.005·9.81·tan 10° = 0.008649 N

두 공 사이의 거리

r = 2·L·sin θ = 2·0.5·sin 10° = 0.1736 m

전하

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.1736·√(0.008649/8.99 × 10⁹) = 1.703 × 10⁻⁷ C = 170.3 nC

답

q = 170.3 nC

3.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 0.75 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 12 + 12 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 8·24/(8+24) = 6 Ω

R_eq = R₁ + 6 = 4 + 6 = 10 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/10 = 1 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 1·4 = 6 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6/8 = 0.75 A

답

I_R2 = 0.75 A

4.저항의 직렬·병렬

답: I_R1 = 0.6581 A

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 25 + 6 = 31 Ω

R₄ ∥ 31 = 1.879 Ω

R₃ + 1.879 = 26.88 Ω

R₂ ∥ 26.88 = 11.47 Ω

R_eq = R₁ + 11.47 = 25 + 11.47 = 36.47 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/36.47 = 0.6581 A

답

I_R1 = 0.6581 A

5.RC·RL 과도 현상

답: v_C = 2.024 V

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

커패시터에서 본 테브난 등가 회로

R_th를 구하려면 전원을 단락하고, 최종 전압을 구하려면 커패시터를 개방하세요.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·3.3/(10 + 3.3) = 2.481 kΩ

v_C(∞) = 9·3.3/(10 + 3.3) = 2.233 V

시정수

τ = R_th·C = 2.481·68 = 168.7 ms

충전 곡선

v_C(t) = 2.233·(1 − e^−400/168.7) = 2.024 V

답

v_C = 2.024 V

6.RC·RL 과도 현상

답: i = 0.4128 A

초기값, 최종값, 시정수

t = 0 전에는 닫힌 스위치가 R₂를 우회하고, 그 후에는 R₁과 R₂가 모두 루프에 있습니다.

i(0) = 12/15 = 0.8 A

i(∞) = 12/(15 + 22) = 0.3243 A

τ = L/R = 22/37 = 0.5946 ms

i(t) = 0.3243 + (0.8 − 0.3243)·e^−t/τ

주어진 시각의 전류

i(1) = 0.3243 + (0.4757)·e^−1/0.5946 = 0.4128 A

답

i = 0.4128 A

7.자기장과 유도

답: r = 10.44 cm

자기력: 자기장 B 속에서 전류 I가 흐르는 직선 도선은 F = BIL·sin θ의 힘을, 움직이는 전하는 F = |q|vB·sin θ의 힘을 받습니다. θ는 전류(또는 속도)와 B 사이의 각입니다. 힘은 둘 모두에 수직입니다. 오른손 손가락을 I나 v 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리면 엄지가 양전하에 작용하는 F를 가리키고, 음전하는 반대입니다. F가 v에 수직이므로 균일한 자기장을 가로질러 움직이는 전하는 원운동을 합니다: |q|vB = mv²/r에서 r = mv/(|q|B)이고 주기 T = 2πm/(|q|B)는 속력에 의존하지 않습니다. 평행한 두 도선은 전류가 같은 방향이면 서로 끌어당깁니다: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

힘의 평형

자기력은 항상 속도에 수직이므로 경로를 원으로 휘게 합니다.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

반지름

r = 1.673 × 10⁻²⁷·4 × 10⁶/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.4) = 0.1044 m = 10.44 cm

답

r = 10.44 cm

8.자기장과 유도

답: L = 2.632 mH

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

단면

A = π·(0.01)² = 0.0003142 m²

자체 인덕턴스

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·1000²·0.0003142/0.15 = 0.002632 H = 2.632 mH

답

L = 2.632 mH

9.교류 임피던스와 페이저

답: cos φ = 0.2163

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

X_L = 188.5 Ω, X_C = 7.958 Ω

임피던스

|Z| = √(40² + (180.5)²) = 184.9 Ω

역률

cos φ = R/|Z| = 40/184.9 = 0.2163

회로가 유도성이므로 역률은 지상입니다.

답

cos φ = 0.2163

10.교류 임피던스와 페이저

답: I = 0.2543 A

리액턴스

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0.1 = 125.7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·22·10⁻⁶) = 36.17 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (89.49)²) = 94.39 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 24/94.39 = 0.2543 A

답

I = 0.2543 A

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