물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

+1 µC와 +4 µC의 전하가 20 cm 떨어져 있다. 두 전하를 잇는 선 위에서 +1 µC 전하로부터 얼마나 떨어진 곳 x에서 전기장이 0인가?

q₁ = +1 µCq₂ = +4 µCd = 20 cm

x = cm

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

+10 µC와 +10 µC의 전하가 16 cm 떨어져 있다. 점 P는 두 전하의 중점에서 4 cm 떨어진 수직 이등분선 위에 있다. P에서의 전기장 크기 E을(를) 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +10 µCq₂ = +10 µCd = 16 cmh = 4 cm

E = N/C

3.저항의 직렬·병렬보통

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

4.저항의 직렬·병렬어려움

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 15 VR₁ = 12 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 3 Ω

I_R2 = A

5.RC·RL 과도 현상보통

전원 Vₛ가 R₁을 통해 커패시터를 충전하며, R₂는 C와 병렬로 연결되어 있습니다. t = 0에서 스위치가 닫힐 때 커패시터는 충전되어 있지 않다. 스위치가 닫힌 뒤 회로의 시정수 τ을(를) 구하시오.

V_s = 6 VR₁ = 3.3 kΩR₂ = 2.2 kΩC = 10 µF

τ = ms

6.RC·RL 과도 현상어려움

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 18 V이다. t = 250 ms에서 커패시터 전압 v_C을(를) 구하시오.

V_s = 9 VR = 3.3 kΩC = 47 µFv_C(0) = 18 Vt = 250 ms

v_C = V

7.자기장과 유도보통

감은 수 20, 넓이 100 cm²인 코일이 있다. 코일이 평면에 수직인 0.1 T의 균일한 자기장 속에 있고, 그 자기장을 200 ms 동안 끈다. 평균 유도 기전력 ε을(를) 구하시오.

N = 20A = 100 cm²B = 0.1 TΔt = 200 ms

ε = mV

8.자기장과 유도어려움

자체 인덕턴스가 40 mH와 100 mH인 두 코일의 결합 계수가 0.9이다. 첫 번째 코일의 전류가 500 A/s로 변한다. 두 번째 코일에 유도되는 기전력 ε을(를) 구하시오.

L₁ = 40 mHL₂ = 100 mHk = 0.9di/dt = 500 A/s

ε = V

9.교류 임피던스와 페이저보통

저항과 인덕터가 24 V(실효값), 50 Hz 전원에 병렬로 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 30 ΩL = 150 mH

I = A

10.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로가 10 V (실효값), 500 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 10 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 22 µF

I = A

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: x = 6.667 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

같은 전기장

1/x² = 4/(20 − x)²

(20 − x)/x = √(4/1) = 2

위치

x = 20/(1 + 2) = 6.667 cm

답

x = 6.667 cm

0인 점은 항상 작은 전하에 더 가깝습니다.

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: E = 1.005 × 10⁷ N/C

한 전하의 거리와 전기장

r = √(8² + 4²) = 8.944 cm

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0.08944² = 1.124 × 10⁷ N/C

성분

전하를 잇는 선 방향의 성분은 상쇄됩니다.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·1.124 × 10⁷·0.4472 = 1.005 × 10⁷ N/C

답

E = 1.005 × 10⁷ N/C

전기장은 이등분선을 따라 전하에서 멀어지는 방향을 향합니다.

3.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 0.8514 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 8 + 20 = 28 Ω

R₂ ∥ 28 = 15·28/(15+28) = 9.767 Ω

R_eq = R₁ + 9.767 = 4 + 9.767 = 13.77 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/13.77 = 1.307 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 1.307·4 = 12.77 V

I_R2 = V_A/R₂ = 12.77/15 = 0.8514 A

답

I_R2 = 0.8514 A

4.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 0.3457 A

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 3 + 3 = 6 Ω

R₄ ∥ 6 = 3.429 Ω

R₃ + 3.429 = 7.429 Ω

R₂ ∥ 7.429 = 4.588 Ω

R_eq = R₁ + 4.588 = 12 + 4.588 = 16.59 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/16.59 = 0.9043 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 0.9043·12 = 4.149 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4.149/12 = 0.3457 A

답

I_R2 = 0.3457 A

5.RC·RL 과도 현상

답: τ = 13.2 ms

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

커패시터에서 본 테브난 등가 회로

R_th를 구하려면 전원을 단락하고, 최종 전압을 구하려면 커패시터를 개방하세요.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 3.3·2.2/(3.3 + 2.2) = 1.32 kΩ

v_C(∞) = 6·2.2/(3.3 + 2.2) = 2.4 V

시정수

τ = R_th·C = 1.32·10 = 13.2 ms

답

τ = 13.2 ms

6.RC·RL 과도 현상

답: v_C = 10.8 V

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 3.3 kΩ · 47 µF = 155.1 ms

v_C(t) = 9 + (18 − 9)·e^−t/τ

주어진 시각의 전압

v_C(250) = 9 + (9)·e^−250/155.1 = 10.8 V

답

v_C = 10.8 V

7.자기장과 유도

답: ε = 100 mV

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

한 번 감긴 부분당 선속 변화

ΔΦ = 0.1·0.01 = 0.001 Wb

평균 기전력

ε = NΔΦ/Δt = 20·0.001/0.2 = 0.1 V

답

ε = 100 mV

8.자기장과 유도

답: ε = 28.46 V

상호 인덕턴스

M = 0.9·√(40·100) = 56.92 mH

유도 기전력

ε = M·di/dt = 0.05692·500 = 28.46 V

답

ε = 28.46 V

9.교류 임피던스와 페이저

답: I = 0.9484 A

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

X_L = ωL = 2π·50·0.15 = 47.12 Ω

가지 전류

두 가지 모두 전원에 바로 연결되어 있으므로 각각 전체 전압 V를 받습니다.

I_R = V/R = 24/30 = 0.8 A

I_X = V/X_L = 24/47.12 = 0.5093 A

전체 전류

저항 전류는 V와 동상이고 리액턴스 전류는 90° 위상차가 있으므로 직각삼각형의 변처럼 더해집니다.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0.8² + 0.5093²) = 0.9484 A

답

I = 0.9484 A

10.교류 임피던스와 페이저

답: I = 0.03224 A

리액턴스

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.1 = 314.2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14.47 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (299.7)²) = 310.2 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 10/310.2 = 0.03224 A

답

I = 0.03224 A

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