물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

똑같은 작은 금속구 두 개의 전하가 −3 µC와 +4 µC이다. 두 구를 접촉시킨 뒤 다시 15 cm 떨어뜨려 놓는다. 이제 두 구 사이의 힘의 크기 F을(를) 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −3 µCq₂ = +4 µCr = 15 cm

F = N

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

질량이 각각 1 g인 똑같은 작은 공 두 개가 같은 점에서 길이 100 cm의 절연 실에 매달려 있다. 두 공에 같은 전하를 주자 각 실이 연직에서 20°인 곳에서 멈춘다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 각 공의 전하 q을(를) nC로 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 1 gL = 100 cmθ = 20°g = 9.81 m/s²

q = nC

3.저항의 직렬·병렬보통

전원 V₁이(가) 보는 합성 저항 R_eq을(를) 구하시오.

V₁ = 30 VR₁ = 2 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 15 Ω

R_eq = Ω

4.저항의 직렬·병렬어려움

전원이 공급하며 R₁에 흐르는 전류 I_R1을(를) 구하시오.

V₁ = 24 VR₁ = 20 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 25 Ω

I_R1 = A

5.RC·RL 과도 현상보통

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. 스위치를 닫은 뒤 얼마 후에 전류가 최종값의 90%에 도달하는가? t을(를) 구하시오.

V_s = 10 VR = 50 ΩL = 100 mH

t = ms

6.RC·RL 과도 현상어려움

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 4 V이다. v_C이(가) 5.6 V에 도달하는 데 걸리는 시간은? t을(를) 구하시오.

V_s = 6 VR = 1 kΩC = 220 µFv_C(0) = 4 V

t = ms

7.자기장과 유도보통

감은 수 25, 넓이 10 cm², 저항 8 Ω인 코일이 닫힌 회로를 이룬다. 코일에 수직인 균일한 자기장이 50 ms 동안 0.1 T에서 0.9 T로 일정하게 증가한다. 평균 유도 전류 I을(를) 구하시오.

N = 25A = 10 cm²B: 0.1 T → 0.9 TΔt = 50 msR = 8 Ω

I = mA

8.자기장과 유도어려움

40 mH 인덕터의 전류가 20 ms 동안 1 A에서 3 A로 일정하게 변한다. 자체 유도 기전력의 크기 ε을(를) 구하시오.

L = 40 mH1 A → 3 AΔt = 20 ms

ε = V

9.교류 임피던스와 페이저보통

직렬 RLC 회로가 100 V (실효값), 60 Hz 전원에 연결되어 있다. 전원에서 공급받는 유효 전력 P을(를) 구하시오.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 10 µF

P = W

10.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로의 R = 100 Ω, L = 2 mH, C = 0.01 µF이다. 대역폭 B(반전력 주파수 사이 대역의 폭)을(를) Hz로 구하시오.

R = 100 ΩL = 2 mHC = 0.01 µF

B = Hz

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: F = 0.09989 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

접촉 후의 전하

q′ = (−3 + 4)/2 = 0.5 µC

새 힘

F = 8.99 × 10⁹·(0.5 × 10⁻⁶)²/0.15² = 0.09989 N

답

F = 0.09989 N

이제 두 구의 부호가 같으므로 서로 밀어냅니다.

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: q = 431.1 nC

평형에서 구한 전기력

장력의 수평 성분은 F와, 수직 성분은 m·g와 평형을 이룹니다.

F = m·g·tan θ = 0.001·9.81·tan 20° = 0.003571 N

두 공 사이의 거리

r = 2·L·sin θ = 2·1·sin 20° = 0.684 m

전하

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.684·√(0.003571/8.99 × 10⁹) = 4.311 × 10⁻⁷ C = 431.1 nC

답

q = 431.1 nC

3.저항의 직렬·병렬

답: R_eq = 9.636 Ω

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 6 + 15 = 21 Ω

R₂ ∥ 21 = 12·21/(12+21) = 7.636 Ω

R_eq = R₁ + 7.636 = 2 + 7.636 = 9.636 Ω

답

R_eq = 9.636 Ω

4.저항의 직렬·병렬

답: I_R1 = 0.7789 A

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 15 + 25 = 40 Ω

R₄ ∥ 40 = 10.91 Ω

R₃ + 10.91 = 16.91 Ω

R₂ ∥ 16.91 = 10.81 Ω

R_eq = R₁ + 10.81 = 20 + 10.81 = 30.81 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/30.81 = 0.7789 A

답

I_R1 = 0.7789 A

5.RC·RL 과도 현상

답: t = 4.605 ms

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 100 mH / 50 Ω = 2 ms

i(∞) = V_s/R = 10/50 = 0.2 A

시간에 대해 풀기

0.9 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.9)

t = −2·ln(0.1) = 4.605 ms

답

t = 4.605 ms

6.RC·RL 과도 현상

답: t = 354.1 ms

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

v_C(0) = 4 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 1 kΩ · 220 µF = 220 ms

v_C(t) = 6 + (4 − 6)·e^−t/τ

시간에 대해 풀기

5.6 = 6 + (−2)·e^−t/τ → e^−t/τ = (5.6 − 6)/(4 − 6) = 0.2

t = τ·ln((4 − 6)/(5.6 − 6)) = 220·ln(5) = 354.1 ms

답

t = 354.1 ms

7.자기장과 유도

답: I = 50 mA

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

한 번 감긴 부분당 선속 변화

ΔΦ = (0.9 − 0.1)·0.001 = 0.0008 Wb

평균 기전력

ε = NΔΦ/Δt = 25·0.0008/0.05 = 0.4 V

전류

I = ε/R = 0.4/8 = 0.05 A

답

I = 50 mA

8.자기장과 유도

답: ε = 4 V

자체 유도 기전력

기전력은 전류의 변화를 방해하므로(렌츠) 부호는 ΔI와 반대이고, 크기는 L·|ΔI|/Δt입니다.

ε = L·ΔI/Δt = 0.04·2/0.02 = 4 V

답

ε = 4 V

9.교류 임피던스와 페이저

답: P = 15.75 W

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

X_L = 94.25 Ω, X_C = 265.3 Ω

임피던스

|Z| = √(50² + (−171)²) = 178.2 Ω

유효 전력

인덕터와 커패시터는 에너지를 저장했다가 돌려줄 뿐이며, 저항이 유효 전력을 모두 흡수합니다.

I = 100/178.2 = 0.5613 A

P = I²·R = 0.5613²·50 = 15.75 W

답

P = 15.75 W

10.교류 임피던스와 페이저

답: B = 7958 Hz

공진 주파수

f₀ = 1/(2π·√(0.002·0.01·10⁻⁶)) = 35588 Hz

선택도

Q는 공진에서의 리액턴스를 저항과 비교합니다: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0.002/(0.01·10⁻⁶)) = 4.472

대역폭

B = f₀/Q = 35588/4.472 = 7958 Hz

답

B = 7958 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism