물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙
F = k·|q1q2|/r²
점전하의 전기장
E = k·|q|/r²
상수
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘
F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결
Req = R1 + R2 + …
저항의 병렬 연결
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
두 저항의 병렬
Req = R1R2 / (R1 + R2)
옴의 법칙
V = I·R
전력
P = V·I = I²R = V²/R

방법

  1. 단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
  2. 직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
  3. 단계마다 회로를 다시 그리세요.
  4. 단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수
τ = RC | τ = L/R
응답
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
직류에서의 커패시터
개방; vC는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터
단락; iL은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값
t ≈ 5τ

방법

  1. 스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
  2. 스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
  3. 커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선
B = μ0I/(2πr)
평평한 코일의 중심
B = μ0NI/(2R)
긴 솔레노이드
B = μ0nI, n = N/L
상수
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘
F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘
F = |q|vB·sin θ
원운동
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선
F/L = μ0I1I2/(2πd)
선속
Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙
ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대
ε = BLv
발전기
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
인덕턴스
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
속도 선택기와 질량 분석기
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

  1. 모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
  2. 올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
  3. 유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
  4. 방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
각주파수
ω = 2πf
크기와 위상각
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙
V = I·Z

방법

  1. 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
  2. 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
  3. 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
  4. 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통
−−1 µC−−2 µC−−8 µC4 cm + 6 cm

세 점전하가 한 직선 위에 있다. 왼쪽에 −1 µC, 거기서 10 cm 떨어진 오른쪽에 −8 µC, 그 사이 왼쪽 전하에서 4 cm인 곳에 −2 µC가 있다. 가운데 전하에 작용하는 알짜 전기력의 크기 F을(를) 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

qL = −1 µCqR = −8 µCqM = −2 µCrL = 4 cmrR = 6 cm
F = N
2.쿨롱 법칙과 전기장어려움
5 cm6 cm+q1​ = +1 µC+q3​ = +4 µC+q2​ = +5 µC

세 양의 점전하가 직각삼각형의 꼭짓점에 있다. q₃ = 4 µC는 직각인 꼭짓점에 있고, q₁ = 1 µC는 한 변을 따라 q₃에서 5 cm, q₂ = 5 µC는 다른 변을 따라 q₃에서 6 cm 떨어져 있다. q₃에 작용하는 알짜 전기력의 크기 F을(를) 구하시오.

q1 = 1 µCq2 = 5 µCq3 = 4 µCr13 = 5 cmr23 = 6 cm
F = N
3.저항의 직렬·병렬보통
R1​ = 8 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​10 VR2​3 ΩAR4​3 ΩB

전원 V1이(가) 보는 합성 저항 Req을(를) 구하시오.

V1 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 3 ΩR3 = 15 ΩR4 = 3 Ω
Req = Ω
4.저항의 직렬·병렬어려움
R1​ = 2 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​30 VR2​2 ΩAR4​30 ΩBR6​6 Ω

전원 V1이(가) 보는 합성 저항 Req을(를) 구하시오.

V1 = 30 VR1 = 2 ΩR2 = 2 ΩR3 = 30 ΩR4 = 30 ΩR5 = 8 ΩR6 = 6 Ω
Req = Ω
5.RC·RL 과도 현상보통
+−Vs​9 Vt = 0R = 47 ΩL150 mHi(t)

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. 스위치를 닫은 뒤 얼마 후에 전류가 최종값의 99%에 도달하는가? t을(를) 구하시오.

Vs = 9 VR = 47 ΩL = 150 mH
t = ms
6.RC·RL 과도 현상어려움
+−Vs​20 Vt = 0R = 3.3 kΩC68 µF+−vC​vC​(0) = 4 V

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 4 V이다. vC이(가) 15.2 V에 도달하는 데 걸리는 시간은? t을(를) 구하시오.

Vs = 20 VR = 3.3 kΩC = 68 µFvC(0) = 4 V
t = ms
7.자기장과 유도보통
R = 10 Ωv = 1 m/sL = 60 cmB = 0.5 T

길이 60 cm인 금속 막대가 종이 속으로 향하는 세기 0.5 T의 균일한 자기장 속에서 두 레일을 따라 1 m/s로 미끄러진다. 레일은 10 Ω 저항으로 연결되어 있고 막대와 레일의 저항은 무시한다. 전류 I을(를) 구하시오.

B = 0.5 TL = 60 cmv = 1 m/sR = 10 Ω
I = mA
8.자기장과 유도어려움
L = 200 mH1 → 3 A

200 mH 인덕터의 전류가 1 ms 동안 1 A에서 3 A로 일정하게 변한다. 자체 유도 기전력의 크기 ε을(를) 구하시오.

L = 200 mH1 A → 3 AΔt = 1 ms
ε = V
9.교류 임피던스와 페이저보통
Vf0​ = 1000 HzRL = 1 mHC = ?

L = 1 mH인 직렬 RLC 회로가 1000 Hz에서 공진해야 한다. 필요한 커패시턴스 C을(를) 구하시오.

f0 = 1000 HzL = 1 mH
C = µF
10.교류 임피던스와 페이저어려움
VfR = 5 ΩL = 5 mHC = 0.047 µF

직렬 RLC 회로의 R = 5 Ω, L = 5 mH, C = 0.047 µF이다. 대역폭 B(반전력 주파수 사이 대역의 폭)을(를) Hz로 구하시오.

R = 5 ΩL = 5 mHC = 0.047 µF
B = Hz

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: F = 28.72 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

각 전하에 의한 힘

오른쪽이 양입니다.

FL = +k·1·2 × 10⁻¹²/0.04² = 11.24 N
FR = −k·8·2 × 10⁻¹²/0.06² = −39.96 N

알짜힘

F = 11.24 + (−39.96) = −28.72 N → |F| = 28.72 N

답

F = 28.72 N

알짜힘은 왼쪽을 향합니다.

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: F = 51.97 N

쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.

q₃에 작용하는 각 힘

F1 = k·1·4 × 10⁻¹²/0.05² = 14.38 N
F2 = k·5·4 × 10⁻¹²/0.06² = 49.94 N

벡터 합

F = √(14.38² + 49.94²) = 51.97 N

답

F = 51.97 N
3.저항의 직렬·병렬

답: Req = 10.57 Ω

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

R1​ = 8 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​10 VR2​3 ΩAR4​3 ΩB

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R3 + R4 = 15 + 3 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 3·18/(3+18) = 2.571 Ω
Req = R1 + 2.571 = 8 + 2.571 = 10.57 Ω

답

Req = 10.57 Ω
4.저항의 직렬·병렬

답: Req = 3.904 Ω

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

R1​ = 2 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​30 VR2​2 ΩAR4​30 ΩBR6​6 Ω

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R5 + R6 = 8 + 6 = 14 Ω
R4 ∥ 14 = 9.545 Ω
R3 + 9.545 = 39.55 Ω
R2 ∥ 39.55 = 1.904 Ω
Req = R1 + 1.904 = 2 + 1.904 = 3.904 Ω

답

Req = 3.904 Ω
5.RC·RL 과도 현상

답: t = 14.7 ms

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 150 mH / 47 Ω = 3.191 ms
i(∞) = Vs/R = 9/47 = 0.1915 A

시간에 대해 풀기

0.99 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.99)
t = −3.191·ln(0.01) = 14.7 ms

답

t = 14.7 ms
6.RC·RL 과도 현상

답: t = 270.2 ms

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 3.3 kΩ · 68 µF = 224.4 ms
vC(t) = 20 + (4 − 20)·e−t/τ

시간에 대해 풀기

15.2 = 20 + (−16)·e−t/τ → e−t/τ = (15.2 − 20)/(4 − 20) = 0.3
t = τ·ln((4 − 20)/(15.2 − 20)) = 224.4·ln(3.333) = 270.2 ms

답

t = 270.2 ms
7.자기장과 유도

답: I = 30 mA

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

운동 기전력

ε = BLv = 0.5·0.6·1 = 0.3 V

전류

I = ε/R = 0.3/10 = 0.03 A

답

I = 30 mA
8.자기장과 유도

답: ε = 400 V

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

자체 유도 기전력

기전력은 전류의 변화를 방해하므로(렌츠) 부호는 ΔI와 반대이고, 크기는 L·|ΔI|/Δt입니다.

ε = L·ΔI/Δt = 0.2·2/0.001 = 400 V

답

ε = 400 V
9.교류 임피던스와 페이저

답: C = 25.33 µF

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

공진 조건

공진에서는 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 상쇄됩니다: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(6283²·0.001) = 25.33 µF

답

C = 25.33 µF
10.교류 임피던스와 페이저

답: B = 159.2 Hz

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

공진 주파수

f0 = 1/(2π·√(0.005·0.047·10⁻⁶)) = 10382 Hz

선택도

Q는 공진에서의 리액턴스를 저항과 비교합니다: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0.005/(0.047·10⁻⁶)) = 65.23

대역폭

B = f0/Q = 10382/65.23 = 159.2 Hz

답

B = 159.2 Hz

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