쿨롱 법칙과 전기장
- 쿨롱 법칙
- F = k·|q1q2|/r²
- 점전하의 전기장
- E = k·|q|/r²
- 상수
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 전하가 받는 힘
- F = q·E
물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
저항의 직렬·병렬
- 저항의 직렬 연결
- Req = R1 + R2 + …
- 저항의 병렬 연결
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 두 저항의 병렬
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 옴의 법칙
- V = I·R
- 전력
- P = V·I = I²R = V²/R
방법
- 단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
- 직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
- 단계마다 회로를 다시 그리세요.
- 단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.
RC·RL 과도 현상
- 시정수
- τ = RC | τ = L/R
- 응답
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 직류에서의 커패시터
- 개방; vC는 갑자기 변할 수 없음
- 직류에서의 인덕터
- 단락; iL은 갑자기 변할 수 없음
- 정상 상태 값
- t ≈ 5τ
방법
- 스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
- 스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
- 커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.
자기장과 유도
- 긴 직선 도선
- B = μ0I/(2πr)
- 평평한 코일의 중심
- B = μ0NI/(2R)
- 긴 솔레노이드
- B = μ0nI, n = N/L
- 상수
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 도선에 작용하는 힘
- F = BIL·sin θ
- 전하가 받는 힘
- F = |q|vB·sin θ
- 원운동
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 평행한 도선
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 선속
- Φ = BA·cos θ
- 패러데이 법칙
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 움직이는 막대
- ε = BLv
- 발전기
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 인덕턴스
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 상호 인덕턴스
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 속도 선택기와 질량 분석기
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
방법
- 모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
- 올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
- 유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
- 방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.
교류 임피던스와 페이저
- 임피던스
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 각주파수
- ω = 2πf
- 크기와 위상각
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 페이저 옴의 법칙
- V = I·Z
방법
- 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
- 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
- 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
- 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.
2연습 문제
1.쿨롱 법칙과 전기장보통
+2 µC와 +8 µC의 전하가 10 cm 떨어져 있다. 두 전하를 잇는 선 위에서 +2 µC 전하로부터 얼마나 떨어진 곳 x에서 전기장이 0인가?
q1 = +2 µCq2 = +8 µCd = 10 cm
x = cm
2.쿨롱 법칙과 전기장어려움
+8 µC와 −8 µC의 전하가 6 cm 떨어져 있다. 점 P는 두 전하의 중점에서 5 cm 떨어진 수직 이등분선 위에 있다. P에서의 전기장 크기 E을(를) 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +8 µCq2 = −8 µCd = 6 cmh = 5 cm
E = N/C
3.저항의 직렬·병렬보통
R2에 흐르는 전류 IR2을(를) 구하시오.
V1 = 15 VR1 = 10 ΩR2 = 2 ΩR3 = 5 ΩR4 = 4 Ω
IR2 = A
4.저항의 직렬·병렬어려움
전원 V1이(가) 보는 합성 저항 Req을(를) 구하시오.
V1 = 6 VR1 = 5 ΩR2 = 4 ΩR3 = 20 ΩR4 = 2 ΩR5 = 30 ΩR6 = 10 Ω
Req = Ω
5.RC·RL 과도 현상보통
인덕터에 2 A의 정상 전류가 흐른다. t = 0에 스위치가 R을 통한 루프를 닫고 전원이 제거되어, 인덕터 전류는 R을 통해 감쇠한다. t = 5 ms에서 전류 i을(를) 구하시오.
i(0) = 2 AR = 15 ΩL = 33 mHt = 5 ms
i = A
6.RC·RL 과도 현상어려움
타이머가 t = 0에 12 V 전원에서 저항을 통해 충전되지 않은 커패시터를 충전하기 시작한다. 타이머는 시작 후 정확히 100 ms에 커패시터 전압이 6 V에 도달할 때 작동해야 한다. C = 10 µF일 때 필요한 저항 R을(를) 구하시오.
Vs = 12 VVth = 6 VT = 100 msC = 10 µF
R = kΩ
7.자기장과 유도보통
전자이(가) 종이 밖으로을(를) 향하는 균일한 자기장 속에서 오른쪽(으)로 움직인다. 그것에 작용하는 자기력의 방향을 클릭하세요.
v: 오른쪽B: 종이 밖으로
- 1종이 위쪽
- 2오른쪽
- 3종이 아래쪽
- 4왼쪽
8.자기장과 유도어려움
자체 인덕턴스가 80 mH와 20 mH인 두 코일의 결합 계수가 0.3이다. 첫 번째 코일의 전류가 100 A/s로 변한다. 두 번째 코일에 유도되는 기전력 ε을(를) 구하시오.
L1 = 80 mHL2 = 20 mHk = 0.3di/dt = 100 A/s
ε = V
9.교류 임피던스와 페이저보통
직렬 RLC 회로가 100 V (실효값), 500 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 위상각 φ을(를) 도 단위로 구하시오 (전류가 전압보다 뒤질 때 양).
V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 2.2 µF
φ = °
10.교류 임피던스와 페이저어려움
직렬 RLC 회로가 100 V (실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 회로의 공진 주파수 f0을(를) 구하시오.
V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 10 µF
f0 = Hz
3용액
1.쿨롱 법칙과 전기장
답: x = 3.333 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
같은 전기장
2/x² = 8/(10 − x)²
(10 − x)/x = √(8/2) = 2
위치
x = 10/(1 + 2) = 3.333 cm
답
x = 3.333 cm
0인 점은 항상 작은 전하에 더 가깝습니다.
2.쿨롱 법칙과 전기장
답: E = 2.177 × 10⁷ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
한 전하의 거리와 전기장
r = √(3² + 5²) = 5.831 cm
E1 = k·8 × 10⁻⁶/0.05831² = 2.115 × 10⁷ N/C
성분
이등분선 방향의 성분은 상쇄됩니다.
E = 2·E1·(a/r) = 2·2.115 × 10⁷·0.5145 = 2.177 × 10⁷ N/C
답
E = 2.177 × 10⁷ N/C
전기장은 양전하에서 음전하로 향하는 선에 평행합니다.
3.저항의 직렬·병렬
답: IR2 = 1.055 A
직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.
먼 쪽 끝부터 저항 합치기
전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.
R3 + R4 = 5 + 4 = 9 Ω
R2 ∥ 9 = 2·9/(2+9) = 1.636 Ω
Req = R1 + 1.636 = 10 + 1.636 = 11.64 Ω
전원 전류
전원은 Req만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.
IR1 = V1/Req = 15/11.64 = 1.289 A
R₂에 흐르는 전류
R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.
VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 1.289·10 = 2.109 V
IR2 = VA/R2 = 2.109/2 = 1.055 A
답
IR2 = 1.055 A
4.저항의 직렬·병렬
답: Req = 8.382 Ω
직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.
먼 쪽 끝부터 저항 합치기
전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.
R5 + R6 = 30 + 10 = 40 Ω
R4 ∥ 40 = 1.905 Ω
R3 + 1.905 = 21.9 Ω
R2 ∥ 21.9 = 3.382 Ω
Req = R1 + 3.382 = 5 + 3.382 = 8.382 Ω
답
Req = 8.382 Ω
5.RC·RL 과도 현상
답: i = 0.2061 A
1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.
시정수
τ = L/R = 33 mH / 15 Ω = 2.2 ms
전류의 감쇠
i(t) = 2·e−5/2.2 = 0.2061 A
답
i = 0.2061 A
6.RC·RL 과도 현상
답: R = 14.43 kΩ
1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.
필요한 시정수
6 = 12·(1 − e−100/τ) → τ = 100/ln(12/(12 − 6))
τ = 100/0.6931 = 144.3 ms
저항
kΩ × µF는 밀리초입니다.
R = τ/C = 144.3/10 = 14.43 kΩ
답
R = 14.43 kΩ
7.자기장과 유도
답: 종이 위쪽
자기력: 자기장 B 속에서 전류 I가 흐르는 직선 도선은 F = BIL·sin θ의 힘을, 움직이는 전하는 F = |q|vB·sin θ의 힘을 받습니다. θ는 전류(또는 속도)와 B 사이의 각입니다. 힘은 둘 모두에 수직입니다. 오른손 손가락을 I나 v 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리면 엄지가 양전하에 작용하는 F를 가리키고, 음전하는 반대입니다. F가 v에 수직이므로 균일한 자기장을 가로질러 움직이는 전하는 원운동을 합니다: |q|vB = mv²/r에서 r = mv/(|q|B)이고 주기 T = 2πm/(|q|B)는 속력에 의존하지 않습니다. 평행한 두 도선은 전류가 같은 방향이면 서로 끌어당깁니다: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).
오른손 법칙
손가락을 전류나 속도 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리세요. 엄지가 양전하에 작용하는 힘의 방향입니다.
v: 오른쪽, B: 종이 밖으로
음전하
전자에 작용하는 힘은 양전하에 작용하는 힘과 반대입니다.
힘의 방향
종이 위쪽
답
F: 종이 위쪽
8.자기장과 유도
답: ε = 1.2 V
전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.
상호 인덕턴스
M = 0.3·√(80·20) = 12 mH
유도 기전력
ε = M·di/dt = 0.012·100 = 1.2 V
답
ε = 1.2 V
9.교류 임피던스와 페이저
답: φ = 85.54 °
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
리액턴스
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.25 = 785.4 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·2.2·10⁻⁶) = 144.7 Ω
임피던스
직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (640.7)²) = 642.7 Ω
위상각
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(640.7/50) = 85.54°
답
φ = 85.54°
10.교류 임피던스와 페이저
답: f0 = 225.1 Hz
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
공진
공진 시 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 상쇄됩니다: ωL = 1/(ωC). 전원 주파수와는 관계없습니다.
f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.05·10·10⁻⁶)) = 225.1 Hz
답
f0 = 225.1 Hz
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