물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

+1 µC인 전하와 −5 µC인 전하가 30 cm 떨어져 있다. 점 P는 두 전하를 잇는 선분 위에 있으며 첫 번째 전하로부터 18 cm 떨어져 있다. P에서 전기장의 크기 E을(를) 구하시오.

q₁ = +1 µCq₂ = −5 µCr₁ = 18 cmr₂ = 12 cm

E = N/C

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

세 양의 점전하가 직각삼각형의 꼭짓점에 있다. q₃ = 8 µC는 직각인 꼭짓점에 있고, q₁ = 2 µC는 한 변을 따라 q₃에서 8 cm, q₂ = 6 µC는 다른 변을 따라 q₃에서 5 cm 떨어져 있다. q₃에 작용하는 알짜 전기력의 크기 F을(를) 구하시오.

q₁ = 2 µCq₂ = 6 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.저항의 직렬·병렬보통

전원이 공급하며 R₁에 흐르는 전류 I_R1을(를) 구하시오.

V₁ = 18 VR₁ = 8 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

4.저항의 직렬·병렬어려움

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 15 VR₁ = 2 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 15 Ω

I_R2 = A

5.RC·RL 과도 현상보통

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. 스위치를 닫은 뒤 얼마 후에 전류가 최종값의 99%에 도달하는가? t을(를) 구하시오.

V_s = 12 VR = 50 ΩL = 10 mH

t = ms

6.RC·RL 과도 현상어려움

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 5 V이다. v_C이(가) 12.6 V에 도달하는 데 걸리는 시간은? t을(를) 구하시오.

V_s = 24 VR = 3.3 kΩC = 33 µFv_C(0) = 5 V

t = ms

7.자기장과 유도보통

양성자이(가) 세기 0.8 T의 균일한 자기장에 수직으로 3 × 10⁶ m/s로 움직인다. 원형 경로의 반지름 r을(를) 구하시오.

m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 3 × 10⁶ m/sB = 0.8 T

r = cm

8.자기장과 유도어려움

긴 공심 솔레노이드의 감은 수가 800, 길이가 40 cm, 지름이 2.5 cm이다. 자체 인덕턴스 L을(를) 구하시오.

N = 800l = 40 cm⌀ = 2.5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = µH

9.교류 임피던스와 페이저보통

직렬 RLC 회로가 10 V (실효값), 50 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 위상각 φ을(를) 도 단위로 구하시오 (전류가 전압보다 뒤질 때 양).

V = 10 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 10 µF

φ = °

10.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로가 230 V (실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 회로의 공진 주파수 f₀을(를) 구하시오.

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 10 µF

f₀ = Hz

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: E = 3.399 × 10⁶ N/C

쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.

각 전하의 전기장

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0.18² = 277469 N/C

E₂ = k·5 × 10⁻⁶/0.12² = 3.122 × 10⁶ N/C

방향과 합

첫 번째 전기장은 양전하에서 멀어지는 방향, 두 번째 전기장은 음전하 쪽을 향하므로 두 전기장의 방향이 같습니다.

E = |277469 + 3.122 × 10⁶| = 3.399 × 10⁶ N/C

답

E = 3.399 × 10⁶ N/C

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: F = 174.1 N

q₃에 작용하는 각 힘

F₁ = k·2·8 × 10⁻¹²/0.08² = 22.47 N

F₂ = k·6·8 × 10⁻¹²/0.05² = 172.6 N

벡터 합

F = √(22.47² + 172.6²) = 174.1 N

답

F = 174.1 N

3.저항의 직렬·병렬

답: I_R1 = 1.014 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 15 + 4 = 19 Ω

R₂ ∥ 19 = 20·19/(20+19) = 9.744 Ω

R_eq = R₁ + 9.744 = 8 + 9.744 = 17.74 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/17.74 = 1.014 A

답

I_R1 = 1.014 A

4.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 1.799 A

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 3 + 15 = 18 Ω

R₄ ∥ 18 = 10.47 Ω

R₃ + 10.47 = 35.47 Ω

R₂ ∥ 35.47 = 5.132 Ω

R_eq = R₁ + 5.132 = 2 + 5.132 = 7.132 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/7.132 = 2.103 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 2.103·2 = 10.79 V

I_R2 = V_A/R₂ = 10.79/6 = 1.799 A

답

I_R2 = 1.799 A

5.RC·RL 과도 현상

답: t = 0.921 ms

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 10 mH / 50 Ω = 0.2 ms

i(∞) = V_s/R = 12/50 = 0.24 A

시간에 대해 풀기

0.99 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.99)

t = −0.2·ln(0.01) = 0.921 ms

답

t = 0.921 ms

6.RC·RL 과도 현상

답: t = 55.63 ms

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

v_C(0) = 5 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 3.3 kΩ · 33 µF = 108.9 ms

v_C(t) = 24 + (5 − 24)·e^−t/τ

시간에 대해 풀기

12.6 = 24 + (−19)·e^−t/τ → e^−t/τ = (12.6 − 24)/(5 − 24) = 0.6

t = τ·ln((5 − 24)/(12.6 − 24)) = 108.9·ln(1.667) = 55.63 ms

답

t = 55.63 ms

7.자기장과 유도

답: r = 3.916 cm

자기력: 자기장 B 속에서 전류 I가 흐르는 직선 도선은 F = BIL·sin θ의 힘을, 움직이는 전하는 F = |q|vB·sin θ의 힘을 받습니다. θ는 전류(또는 속도)와 B 사이의 각입니다. 힘은 둘 모두에 수직입니다. 오른손 손가락을 I나 v 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리면 엄지가 양전하에 작용하는 F를 가리키고, 음전하는 반대입니다. F가 v에 수직이므로 균일한 자기장을 가로질러 움직이는 전하는 원운동을 합니다: |q|vB = mv²/r에서 r = mv/(|q|B)이고 주기 T = 2πm/(|q|B)는 속력에 의존하지 않습니다. 평행한 두 도선은 전류가 같은 방향이면 서로 끌어당깁니다: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

힘의 평형

자기력은 항상 속도에 수직이므로 경로를 원으로 휘게 합니다.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

반지름

r = 1.673 × 10⁻²⁷·3 × 10⁶/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.8) = 0.03916 m = 3.916 cm

답

r = 3.916 cm

8.자기장과 유도

답: L = 987 µH

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

단면

A = π·(0.0125)² = 0.0004909 m²

자체 인덕턴스

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·800²·0.0004909/0.4 = 0.000987 H = 987 µH

답

L = 987 µH

9.교류 임피던스와 페이저

답: φ = −80.62 °

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s

X_L = ωL = 314.2·0.05 = 15.71 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314.2·10·10⁻⁶) = 318.3 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−302.6)²) = 306.7 Ω

위상각

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−302.6/50) = −80.62°

답

φ = −80.62°

10.교류 임피던스와 페이저

답: f₀ = 112.5 Hz

공진

공진 시 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 상쇄됩니다: ωL = 1/(ωC). 전원 주파수와는 관계없습니다.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.2·10·10⁻⁶)) = 112.5 Hz

답

f₀ = 112.5 Hz

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