공학물리: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

정수압

깊이에 따른 압력: p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘: F = ρg·h_c·A
압력 중심: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
직사각형: I_c = bH³/12

연속 방정식과 베르누이

연속 방정식: A₁v₁ = A₂v₂
베르누이 방정식: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
유량: Q = A·v
원의 넓이: A = πd²/4

이상 기체 법칙

이상 기체 법칙: pV = nRT
기체 상수: R = 8.314 J/(mol·K)
보일-샤를 법칙: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
몰수: n = m/M
온도: T[K] = T[°C] + 273.15

열기관과 냉동기

효율: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
카르노 효율: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
냉동기 COP: COP_R = Q_C/W
열펌프 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
에너지 수지: Q_H = W + Q_C

파동, 소리, 광학

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.운동학보통

45 km/h로 달리던 자동차가 4.5 m/s²의 일정한 감속도로 제동하여 멈춘다. 제동하는 데 걸리는 시간 t을(를) 구하시오.

v₀ = 45 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

t = s

2.운동학어려움

지면에서 15 m 높이에 있는 지붕 가장자리에서 공을 12 m/s로 똑바로 위로 던진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 쓴다. 던진 뒤 공이 지면에 닿을 때까지의 시간 t을(를) 구하시오.

v₀ = 12 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.뉴턴 법칙보통

질량 10 kg인 블록이 수평과 25°를 이루는 경사면을 미끄러져 내려간다. 운동 마찰 계수는 0.2이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 경사면을 따르는 블록의 가속도 a을(를) 구하시오.

m = 10 kgθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.뉴턴 법칙어려움

40° 경사로 위의 8 kg 블록이 경사로 꼭대기의 마찰 없는 도르래를 지나는 가벼운 줄로 매달린 9.5 kg 질량과 연결되어 있다. 매달린 질량은 아래로 움직인다. 경사로에는 마찰이 없다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 줄의 장력 T을(를) 구하시오.

m₁ = 8 kgm₂ = 9.5 kgθ = 40°μ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.포물선 운동보통

평지에서 공을 수평 위 75°로 발사하자 60 m 떨어진 곳에 떨어진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 발사 속력 v₀을(를) 구하시오.

θ = 75°R = 60 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.포물선 운동어려움

지면에서 공을 32 m/s, 수평 위 35°로 던진다. 공은 내려오는 도중에 높이 2 m인 건물의 평평한 지붕에 떨어진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 발사점에서 떨어진 곳까지의 수평 거리 x을(를) 구하시오.

v₀ = 32 m/sθ = 35°h_roof = 2 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.일과 에너지보통

평평한 도로를 40 km/h로 달리던 자동차가 급제동해 바퀴가 잠긴 채 미끄러져 멈춘다. 타이어와 도로 사이의 운동 마찰 계수는 0.7이다. 정지 거리 d을(를) 구하시오.

v = 40 km/hμ = 0.7g = 9.81 m/s²

d = m

8.일과 에너지어려움

5 kg 블록이 거친 수평 테이블(μ = 0.1) 위에 놓여 있다. 가벼운 줄이 블록에서 테이블 가장자리의 매끄러운 도르래를 지나 매달린 3 kg 블록에 연결되어 있다. 계를 정지 상태에서 놓는다. 매달린 블록이 1.5 m 내려간 뒤 블록들의 속력 v을(를) 구하시오.

m₁ = 5 kgm₂ = 3 kgμ = 0.1d = 1.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.운동량과 충돌보통

3 m/s로 움직이는 질량 4.5 kg인 글라이더가 마찰 없는 트랙 위에 정지해 있는 질량 1.5 kg인 글라이더와 완전 탄성 정면충돌을 한다. 충돌 후 두 번째 글라이더의 속도 v′₂을(를) 구하시오.

m₁ = 4.5 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.운동량과 충돌어려움

1400 kg 자동차가 주차된 1200 kg 자동차를 들이받는다. 잔해는 한 덩어리가 되어 4.5 m 미끄러진 뒤 멈춘다. 타이어와 도로 사이의 운동 마찰 계수는 0.8이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 충돌 직전 첫 번째 자동차의 속력 v₁을(를) 구하시오.

m₁ = 1400 kgm₂ = 1200 kgd = 4.5 mμ = 0.8g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.정수압보통

폭 1.5 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 4 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 4 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.정수압어려움

폭 1.5 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 4 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 4 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.연속 방정식과 베르누이보통

큰 열린 탱크의 물이 지름 30 mm의 예연 오리피스로 빠져나간다. 수위는 오리피스보다 5.5 m 위로 유지되고 유량 계수는 0.64이다. 유량 Q을(를) 구하시오. g = 9.81 m/s²를 사용하시오.

d = 30 mmh = 5.5 mC_d = 0.64g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.연속 방정식과 베르누이어려움

밀폐된 물탱크의 수면 위에 계기 압력 170 kPa의 압축 공기가 있다. 물은 수면보다 1 m 아래에 있는 지름 30 mm의 구멍을 통해 대기 중으로 나간다. 손실을 무시하고 다음을 구하시오: 유량 Q. g = 9.81 m/s²를 쓴다.

p_air = 170 kPa (게이지압)h = 1 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.이상 기체 법칙보통

부피 5 L인 탱크에 60 °C의 CO₂ 430 g이(가) 들어 있다. 이상 기체로 보고 압력 P을(를) 구하시오.

m = 430 gM = 44.01 g/molV = 5 LT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.이상 기체 법칙어려움

500 kPa, 140 °C에서 Ar의 밀도 ρ을(를) 이상 기체로 보고 구하시오.

M = 39.95 g/molP = 500 kPaT = 140 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.열기관과 냉동기보통

열기관이 300 °C의 고온 열원과 35 °C의 저온 열원 사이에서 작동한다. 이 기관은 4300 kJ의 열을 받는다. 얻을 수 있는 최대 일 W_max을(를) 구하시오.

T_H = 300 °CT_L = 35 °CQ_H = 4300 kJ

W_max = kJ

18.열기관과 냉동기어려움

냉장고가 32 °C인 부엌에서 냉장실을 -25 °C로 유지하며 냉장실에서 3 kW의 열을 제거한다. 가능한 최대 성능 계수 COP_max을(를) 구하시오.

T_H = 32 °CT_L = -25 °CQ̇_L = 3 kW

COP_max =

19.파동, 소리, 광학보통

물체가 초점 거리 30 cm인 얇은 발산 렌즈 앞 8 cm에 서 있다. 배율 m을(를) 구하시오(거꾸로 선 상이면 음수).

d_o = 8 cmf = −30 cm

m =

20.파동, 소리, 광학어려움

광섬유의 코어는 n₁ = 1.46이고 클래딩은 n₂ = 1.41이다. 개구수 NA을(를) 구하시오.

n₁ = 1.46n₂ = 1.41

NA =

3용액

1.운동학

답: t = 2.778 s

등가속도 운동: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t², v² = v₀² + 2·a·s. 아는 세 양과 구하려는 양이 들어 있는 식을 고르고, 양의 방향을 하나 정해 부호를 일관되게 쓰세요.

단위

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

제동 시간

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 12.5/4.5 = 2.778 s

답

t = 2.778 s

2.운동학

답: t = 3.357 s

운동 방정식

위쪽이 양이고, 지면은 출발점보다 h₀ 아래에 있습니다.

−15 = 12·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 12·t − 15 = 0

이차방정식 풀기

물리적으로 의미 있는 것은 양의 근뿐입니다.

t = (12 + √(12² + 2·9.81·15))/9.81 = 3.357 s

답

t = 3.357 s

3.뉴턴 법칙

답: a = 2.368 m/s²

뉴턴 제2법칙: 물체에 작용하는 알짜힘은 질량과 가속도의 곱과 같습니다: ΣF = m·a. 자유물체도를 그리고, 운동 방향을 따라 양의 방향을 정한 뒤, 그 방향의 모든 힘을 더하세요: 가한 힘, 운동을 방해하는 마찰력 μ·N, 중력의 성분.

경사면 방향의 힘

경사면 아래쪽이 양입니다.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

가속도

a = 9.81·(sin 25° − 0.2·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.1813) = 2.368 m/s²

답

a = 2.368 m/s²

4.뉴턴 법칙

답: T = 69.99 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

줄 방향의 힘

m₂·g = 93.2 N

m₁·g·sin θ = 50.45 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

계의 가속도

a = (93.2 − 50.45 − 0)/17.5 = 2.443 m/s²

매달린 질량에서 구한 장력

m₂·g − T = m₂·a → T = 9.5·(9.81 − 2.443) = 69.99 N

답

T = 69.99 N

5.포물선 운동

답: v₀ = 34.31 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

수평 도달 거리 공식을 v₀에 대해 풀기

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·60/sin 150°) = 34.31 m/s

답

v₀ = 34.31 m/s

6.포물선 운동

답: x = 95.14 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

초기 속도 분해

v_x = 26.21 m/s, v_y = 18.35 m/s

지붕에 떨어지는 시간

큰 근: 공이 내려오는 중입니다.

2 = 18.35·t − 4.905·t²

t = (18.35 + √(18.35² − 2·9.81·2))/9.81 = 3.63 s

수평 거리

x = v_x·t = 26.21·3.63 = 95.14 m

답

x = 95.14 m

7.일과 에너지

답: d = 8.989 m

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

기본 단위의 속력

v = 40/3.6 = 11.11 m/s

에너지 수지

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 11.11²/(2·0.7·9.81) = 8.989 m

답

d = 8.989 m

속력이 두 배가 되면 정지 거리는 네 배가 됩니다.

8.일과 에너지

답: v = 3.033 m/s

방출되고 손실된 에너지

m₂g·d = 29.43·1.5 = 44.14 J

μ·m₁g·d = 0.1·49.05·1.5 = 7.358 J

두 블록의 운동 에너지

½(m₁ + m₂)v² = 36.79 → v = √(2·36.79/8) = 3.033 m/s

답

v = 3.033 m/s

9.운동량과 충돌

답: v′₂ = 4.5 m/s

운동량 보존: 충돌하는 동안 외력이 작용하지 않으면 충돌 전 전체 운동량 Σm·v는 충돌 후와 같습니다. 속도에는 방향이 있으므로 양의 방향을 정하고 반대 방향 속도에는 음의 부호를 붙이세요. 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존되고, 완전 비탄성 충돌에서는 두 물체가 한 덩어리가 됩니다.

정지한 표적과의 탄성 충돌

운동량 보존과 에너지 보존을 연립해 풀면 이 두 결과가 나옵니다.

v′₁ = (4.5 − 1.5)/(4.5 + 1.5)·3 = 1.5 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 1.5)·3 = 4.5 m/s

답

v′₂ = 4.5 m/s

10.운동량과 충돌

답: v₁ = 15.61 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

충돌 후의 속력

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.8·9.81·4.5) = 8.404 m/s

충돌에서의 운동량

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2600·8.404/1400 = 15.61 m/s

답

v₁ = 15.61 m/s

(56.19 km/h)

11.정수압

답: F = 242.8 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.5·4.5 = 242.8 kN

답

F = 242.8 kN

12.정수압

답: F = 193.1 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 4 + 2.5/2 = 5.25 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.25·3.75 = 193.1 kN

답

F = 193.1 kN

13.연속 방정식과 베르누이

답: Q = 4.699 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

이상 분류 속도

√(2gh) = √(2·9.81·5.5) = 10.39 m/s

실제 유량

유량 계수는 분류의 수축과 가장자리의 마찰을 반영합니다.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.64·0.0007069·10.39 = 0.004699 m³/s = 4.699 L/s

답

Q = 4.699 L/s

14.연속 방정식과 베르누이

답: Q = 13.4 L/s

수면에서 분류까지의 베르누이 식

v = √(2·(170000/1000 + 9.81·1)) = 18.96 m/s

유량

Q = A·v = 0.0007069·18.96 = 0.0134 m³/s = 13.4 L/s

답

Q = 13.4 L/s

15.이상 기체 법칙

답: P = 5412 kPa

이상 기체 법칙: PV = nRT, n = m/M.

몰수

n = m/M = 430/44.01 = 9.771 mol

T = 60 + 273.15 = 333.1 K

압력

P = nRT/V = 9.771·8.314·333.1/0.005 = 5412 kPa

답

P = 5412 kPa

16.이상 기체 법칙

답: ρ = 5.815 kg/m³

이상 기체의 밀도: ρ = PM/(RT).

기체 법칙 정리

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 140 + 273.15 = 413.1 K

밀도

ρ = 500·39.95/(8.314·413.1) = 5.815 kg/m³

답

ρ = 5.815 kg/m³

17.열기관과 냉동기

답: W_max = 1988 kJ

제2법칙의 한계: 절대 온도 T_H와 T_L인 열원 사이에서 작동하는 어떤 사이클도 가역(카르노) 사이클을 넘을 수 없습니다: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L), COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). 에너지는 항상 보존됩니다: Q_H = W + Q_L.

절대 온도

T_H = 300 + 273.15 = 573.1 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

카르노 효율

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 308.1/573.1 = 46.24 %

최대 일

W_max = η_max·Q_H = 0.4624·4300 = 1988 kJ

답

W_max = 1988 kJ

18.열기관과 냉동기

답: COP_max = 4.354

절대 온도

T_H = 32 + 273.15 = 305.1 K

T_L = -25 + 273.15 = 248.1 K

가능한 최고 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 248.1/(305.1 − 248.1) = 4.354

답

COP_max = 4.354

19.파동, 소리, 광학

답: m = 0.7895

기하 광학: 경계에서 n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂(스넬의 법칙)이며, 각은 법선에서 재고 n = c/v입니다. 더 느린 매질로 들어가면 광선은 법선 쪽으로 굽습니다. 밀한 매질(n₁ > n₂)에서 임계각 θ_c = arcsin(n₂/n₁)을 넘으면 모든 빛이 반사됩니다: 전반사. 얇은 렌즈와 구면 거울은 1/f = 1/d_o + 1/d_i를 따르며 배율은 m = −d_i/d_o입니다. 부호 규약: 볼록 렌즈와 오목 거울은 f > 0(f = R/2), 오목 렌즈와 볼록 거울은 f < 0이고, 실상은 d_i > 0, 허상은 d_i < 0이며, 거꾸로 선 상은 m < 0입니다.

얇은 렌즈 공식

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−30) − 1/8

d_i = −6.316 cm

배율

m = −d_i/d_o = −(−6.316)/8 = 0.7895

답

m = 0.7895

20.파동, 소리, 광학

답: NA = 0.3788

클래딩에서의 임계각

sin θc = 1.41/1.46 = 0.9658 → θc = 74.96°

개구수

NA = √(1.46² − 1.41²) = 0.3788

답

NA = 0.3788

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