공학물리: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

정수압

깊이에 따른 압력: p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘: F = ρg·h_c·A
압력 중심: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
직사각형: I_c = bH³/12

연속 방정식과 베르누이

연속 방정식: A₁v₁ = A₂v₂
베르누이 방정식: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
유량: Q = A·v
원의 넓이: A = πd²/4

이상 기체 법칙

이상 기체 법칙: pV = nRT
기체 상수: R = 8.314 J/(mol·K)
보일-샤를 법칙: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
몰수: n = m/M
온도: T[K] = T[°C] + 273.15

열기관과 냉동기

효율: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
카르노 효율: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
냉동기 COP: COP_R = Q_C/W
열펌프 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
에너지 수지: Q_H = W + Q_C

파동, 소리, 광학

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.운동학보통

일정한 35 m/s로 과속하는 자동차가 정지해 있는 경찰차를 지나간다. 그 순간 경찰차가 출발해 5 m/s²로 균일하게 가속한다. 경찰차는 출발점에서 얼마나 떨어진 곳에서 따라잡는가? d을(를) 구하시오.

v_car = 35 m/sa_police = 5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.운동학어려움

지면에서 35 m 높이에 있는 지붕 가장자리에서 공을 11 m/s로 똑바로 위로 던진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 쓴다. 던진 뒤 공이 지면에 닿을 때까지의 시간 t을(를) 구하시오.

v₀ = 11 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.뉴턴 법칙보통

질량 13 kg인 블록이 수평과 25°를 이루는 경사면을 미끄러져 내려간다. 운동 마찰 계수는 0.3이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 경사면을 따르는 블록의 가속도 a을(를) 구하시오.

m = 13 kgθ = 25°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.뉴턴 법칙어려움

수평 탁자 위에 있는 질량 8.5 kg인 블록이 가벼운 줄로 마찰 없는 도르래를 거쳐 매달린 4 kg 물체와 연결되어 있다. 블록과 탁자 사이의 운동 마찰 계수는 0.3이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 계의 가속도 a을(를) 구하시오.

m₁ = 8.5 kgm₂ = 4 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.포물선 운동보통

공을 평지에서 수평에서 45° 위로 던진다. 공기 저항은 무시한다. 공이 도달하는 최대 높이 H을(를) 구하시오.

v₀ = 16 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²

H = m

6.포물선 운동어려움

25 m 절벽 꼭대기에서 공을 12 m/s, 수평 위 35°로 발사한다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 공은 수평 아래 몇 도 α의 각으로 지면에 닿는가?

v₀ = 12 m/sθ = 35°h = 25 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.일과 에너지보통

질량 10 kg인 블록이 수평과 20°를 이루는 경사면을 7 m 미끄러져 내려가며, 운동 마찰 계수는 0.15이다. 마찰에 대해 한 일 W_f을(를) 구하시오.

m = 10 kgθ = 20°μ = 0.15d = 7 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.일과 에너지어려움

10 kg 수레가 반지름 2 m인 연직 원형 루프로 이어지는 매끄러운 트랙 위 높이 8 m에서 가만히 놓인다. 루프 꼭대기에서 트랙이 수레에 작용하는 수직항력 N을(를) 구하시오.

m = 10 kgh = 8 mR = 2 mg = 9.81 m/s²

N = N

9.운동량과 충돌보통

4 m/s로 움직이는 질량 5 kg인 글라이더가 마찰 없는 트랙 위에 정지해 있는 질량 4 kg인 글라이더와 완전 탄성 정면충돌을 한다. 충돌 후 두 번째 글라이더의 속도 v′₂을(를) 구하시오.

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.운동량과 충돌어려움

질량 0.4 kg인 공이 8 m/s로 벽에 부딪힌 뒤 14 m/s로 똑바로 튀어나온다. 접촉 시간은 20 ms이다. 벽이 공에 가한 충격량의 크기 J을(를) 구하시오.

m = 0.4 kgv_in = 8 m/sv_out = 14 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

11.정수압보통

폭 3 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 0.5 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 0.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.정수압어려움

폭 2 m인 연직 직사각형 수문이 기름이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 2 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 2 mH = 2 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.연속 방정식과 베르누이보통

풍동의 피토 정압관이 정체압과 정압의 차이를 800 Pa로 나타낸다. 공기 밀도는 1.2 kg/m³이다. 풍속 v을(를) 구하시오.

p₀ − p = 800 Paρ = 1.2 kg/m³

v = m/s

14.연속 방정식과 베르누이어려움

안지름 40 mm의 호스로 열린 탱크의 물을 사이펀으로 빼낸다. 호스의 가장 높은 점 C는 수면보다 1.5 m 위에 있고, (대기에 열린) 출구는 수면보다 3.5 m 아래에 있다. 손실을 무시하고 g = 9.81 m/s²로 하시오. 점 C의 절대 압력 p_C을(를) 구하시오. 대기압은 101.3 kPa이다.

d = 40 mmz_C = +1.5 mz₂ = −3.5 mg = 9.81 m/s²p_atm = 101.3 kPa

p_C = kPa

15.이상 기체 법칙보통

150 kPa, 0 °C에서 O₂ 180 g이(가) 차지하는 부피 V은(는) 얼마인가? 이상 기체로 본다.

m = 180 gM = 32 g/molP = 150 kPaT = 0 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.이상 기체 법칙어려움

250 kPa, 10 °C에서 N₂의 밀도 ρ을(를) 이상 기체로 보고 구하시오.

M = 28.01 g/molP = 250 kPaT = 10 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.열기관과 냉동기보통

열기관이 200 °C의 고온 열원과 30 °C의 저온 열원 사이에서 작동한다. 이 기관은 2300 kJ의 열을 받는다. 얻을 수 있는 최대 일 W_max을(를) 구하시오.

T_H = 200 °CT_L = 30 °CQ_H = 2300 kJ

W_max = kJ

18.열기관과 냉동기어려움

냉장고가 35 °C인 부엌에서 냉장실을 2 °C로 유지하며 냉장실에서 3 kW의 열을 제거한다. 최소 입력 동력 Ẇ_min을(를) 구하시오.

T_H = 35 °CT_L = 2 °CQ̇_L = 3 kW

Ẇ_min = kW

19.파동, 소리, 광학보통

양 끝이 고정된 줄의 길이는 0.65 m이고 그 위로 파동이 150 m/s로 진행한다. 기본 진동(1차 배진동)의 진동수 f₁을(를) 구하시오.

v = 150 m/sn = 1L = 0.65 m

f₁ = Hz

20.파동, 소리, 광학어려움

얇은 렌즈 두 개가 같은 축 위에 15 cm 떨어져 있다. 렌즈 1은 f₁ = 15 cm, 렌즈 2는 f₂ = −20 cm이다. 물체가 렌즈 1 앞 50 cm에 서 있다. 렌즈 2에서 잰 최종 상의 위치 d_i2을(를) 구하시오(렌즈 2 뒤쪽이 양수이며, 실상이 양수인 규약).

f₁ = 15 cmf₂ = −20 cms = 15 cmd_o = 50 cm

d_i2 = cm

3용액

1.운동학

답: d = 490 m

등가속도 운동: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t², v² = v₀² + 2·a·s. 아는 세 양과 구하려는 양이 들어 있는 식을 고르고, 양의 방향을 하나 정해 부호를 일관되게 쓰세요.

같은 거리

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·35/5 = 14 s

거리

d = v·t = 35·14 = 490 m

답

d = 490 m

그 순간 경찰차는 2v = 70 m/s로 움직입니다.

2.운동학

답: t = 4.018 s

운동 방정식

위쪽이 양이고, 지면은 출발점보다 h₀ 아래에 있습니다.

−35 = 11·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 11·t − 35 = 0

이차방정식 풀기

물리적으로 의미 있는 것은 양의 근뿐입니다.

t = (11 + √(11² + 2·9.81·35))/9.81 = 4.018 s

답

t = 4.018 s

3.뉴턴 법칙

답: a = 1.479 m/s²

뉴턴 제2법칙: 물체에 작용하는 알짜힘은 질량과 가속도의 곱과 같습니다: ΣF = m·a. 자유물체도를 그리고, 운동 방향을 따라 양의 방향을 정한 뒤, 그 방향의 모든 힘을 더하세요: 가한 힘, 운동을 방해하는 마찰력 μ·N, 중력의 성분.

경사면 방향의 힘

경사면 아래쪽이 양입니다.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

가속도

a = 9.81·(sin 25° − 0.3·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.2719) = 1.479 m/s²

답

a = 1.479 m/s²

4.뉴턴 법칙

답: a = 1.138 m/s²

계의 가속도

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 25.02)/12.5 = 1.138 m/s²

답

a = 1.138 m/s²

5.포물선 운동

답: H = 6.524 m

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

수평 속도는 일정하고, 연직 운동은 아래쪽으로 일정한 가속도 g = 9.81 m/s²을(를) 가집니다.

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 45° = 11.31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 45° = 11.31 m/s

최고점

최고점에서 연직 속도는 0입니다: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 11.31²/(2·9.81) = 6.524 m

답

H = 6.524 m

6.포물선 운동

답: α = 67.03 °

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

v_x = 12·cos 35° = 9.83 m/s

v_y0 = 12·sin 35° = 6.883 m/s

충돌 시 수직 속력

에너지 또는 수직 방향의 v² = v₀² + 2as.

v_y = √(6.883² + 2·9.81·25) = 23.19 m/s

충돌 각

tan α = v_y/v_x = 23.19/9.83 → α = 67.03°

답

α = 67.03°

7.일과 에너지

답: W_f = 96.79 J

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

마찰력

N = mg·cos θ = 98.1·0.9397 = 92.18 N

F = μN = 0.15·92.18 = 13.83 N

마찰에 대한 일

W_f = F·d = 13.83·7 = 96.79 J

답

W_f = 96.79 J

8.일과 에너지

답: N = 294.3 N

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d). 원 궤도에서는 중심을 향한 알짜힘이 mv²/r과 같아야 합니다.

꼭대기에서의 속력

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(8 − 4) = 78.48 m²/s²

꼭대기에서의 힘

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

N = mv²/R − mg = 10·78.48/2 − 98.1 = 294.3 N

답

N = 294.3 N

h = 2.5R이면 수레가 겨우 루프를 돌며, 이때 꼭대기에서 N = 0입니다.

9.운동량과 충돌

답: v′₂ = 4.444 m/s

운동량 보존: 충돌하는 동안 외력이 작용하지 않으면 충돌 전 전체 운동량 Σm·v는 충돌 후와 같습니다. 속도에는 방향이 있으므로 양의 방향을 정하고 반대 방향 속도에는 음의 부호를 붙이세요. 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존되고, 완전 비탄성 충돌에서는 두 물체가 한 덩어리가 됩니다.

정지한 표적과의 탄성 충돌

운동량 보존과 에너지 보존을 연립해 풀면 이 두 결과가 나옵니다.

v′₁ = (5 − 4)/(5 + 4)·4 = 0.4444 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 4)·4 = 4.444 m/s

답

v′₂ = 4.444 m/s

10.운동량과 충돌

답: J = 8.8 N·s

운동량 변화

J = m·Δv = 0.4·(14 + 8) = 8.8 N·s

답

J = 8.8 N·s

11.정수압

답: F = 29.43 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1·3 = 29.43 kN

답

F = 29.43 kN

12.정수압

답: F = 103.6 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·3·4 = 103.6 kN

답

F = 103.6 kN

13.연속 방정식과 베르누이

답: v = 36.51 m/s

연속 방정식과 베르누이: 비압축성 유체는 모든 단면에서 유량이 같습니다: Q = A₁v₁ = A₂v₂. 손실 없는 유선을 따라 p + ½ρv² + ρgz는 일정하므로, 유체가 빠르거나 높은 곳일수록 압력이 낮습니다.

정체점까지의 베르누이 식

유동이 끝부분에서 정지하므로 운동 에너지가 추가 압력으로 나타납니다.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·800/1.2) = 36.51 m/s

답

v = 36.51 m/s

14.연속 방정식과 베르누이

답: p_C = 52.25 kPa

호스 안의 유속

수면과 출구는 모두 대기에 열려 있으므로 압력 항이 상쇄됩니다.

v = √(2g·3.5) = √(2·9.81·3.5) = 8.287 m/s

수면에서 C까지의 베르누이 식

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101.3 − 1000·(8.287²/2 + 9.81·1.5)/1000 = 101.3 − 49.05 = 52.25 kPa

답

p_C = 52.25 kPa

이 압력이 물의 증기압까지 떨어지면 사이펀은 작동을 멈춥니다.

15.이상 기체 법칙

답: V = 85.16 L

이상 기체 법칙: PV = nRT, n = m/M.

몰수

n = 180/32 = 5.625 mol

T = 0 + 273.15 = 273.1 K

부피

V = nRT/P = 5.625·8.314·273.1/150 = 85.16 L

답

V = 85.16 L

16.이상 기체 법칙

답: ρ = 2.975 kg/m³

이상 기체의 밀도: ρ = PM/(RT).

기체 법칙 정리

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 10 + 273.15 = 283.1 K

밀도

ρ = 250·28.01/(8.314·283.1) = 2.975 kg/m³

답

ρ = 2.975 kg/m³

17.열기관과 냉동기

답: W_max = 826.4 kJ

제2법칙의 한계: 절대 온도 T_H와 T_L인 열원 사이에서 작동하는 어떤 사이클도 가역(카르노) 사이클을 넘을 수 없습니다: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L), COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). 에너지는 항상 보존됩니다: Q_H = W + Q_L.

절대 온도

T_H = 200 + 273.15 = 473.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

카르노 효율

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 303.1/473.1 = 35.93 %

최대 일

W_max = η_max·Q_H = 0.3593·2300 = 826.4 kJ

답

W_max = 826.4 kJ

18.열기관과 냉동기

답: Ẇ_min = 0.3598 kW

절대 온도

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = 2 + 273.15 = 275.1 K

가능한 최고 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 275.1/(308.1 − 275.1) = 8.338

최소 동력

COP가 가장 큰 가역 기계가 가장 적은 일을 필요로 합니다.

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 3/8.338 = 0.3598 kW

답

Ẇ_min = 0.3598 kW

19.파동, 소리, 광학

답: f₁ = 115.4 Hz

정상파와 도플러 효과: 양 끝이 고정된 줄이나 양 끝이 열린 관에는 반파장의 정수 배가 들어맞습니다: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … 한쪽 끝이 닫힌 관은 닫힌 끝이 마디이고 열린 끝이 배입니다: L = nλ/4이며 n은 홀수만 가능하고 f_n = n·v/(4L)입니다. 음원이나 관측자가 둘을 잇는 직선을 따라 움직이면 f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)입니다. 서로를 향해 움직일 때는 위쪽 부호를 쓰세요. 진동수가 거의 같은 두 파동은 |f₁ − f₂|로 맥놀이합니다.

이 진동 모드의 파장

λ = 2L/n = 2·0.65/1 = 1.3 m

진동수

f = v/λ = 150/1.3 = 115.4 Hz

답

f₁ = 115.4 Hz

20.파동, 소리, 광학

답: d_i2 = 9.474 cm

기하 광학: 경계에서 n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂(스넬의 법칙)이며, 각은 법선에서 재고 n = c/v입니다. 더 느린 매질로 들어가면 광선은 법선 쪽으로 굽습니다. 밀한 매질(n₁ > n₂)에서 임계각 θ_c = arcsin(n₂/n₁)을 넘으면 모든 빛이 반사됩니다: 전반사. 얇은 렌즈와 구면 거울은 1/f = 1/d_o + 1/d_i를 따르며 배율은 m = −d_i/d_o입니다. 부호 규약: 볼록 렌즈와 오목 거울은 f > 0(f = R/2), 오목 렌즈와 볼록 거울은 f < 0이고, 실상은 d_i > 0, 허상은 d_i < 0이며, 거꾸로 선 상은 m < 0입니다.

렌즈 1의 상

1/d_i1 = 1/15 − 1/50 → d_i1 = 21.43 cm

렌즈 2의 물체

d_o2 = 15 − 21.43 = −6.429 cm

최종 상

1/d_i2 = 1/(−20) − 1/(−6.429) → d_i2 = 9.474 cm

답

d_i2 = 9.474 cm

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