공학물리: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

정수압

깊이에 따른 압력: p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘: F = ρg·h_c·A
압력 중심: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
직사각형: I_c = bH³/12

연속 방정식과 베르누이

연속 방정식: A₁v₁ = A₂v₂
베르누이 방정식: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
유량: Q = A·v
원의 넓이: A = πd²/4

이상 기체 법칙

이상 기체 법칙: pV = nRT
기체 상수: R = 8.314 J/(mol·K)
보일-샤를 법칙: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
몰수: n = m/M
온도: T[K] = T[°C] + 273.15

열기관과 냉동기

효율: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
카르노 효율: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
냉동기 COP: COP_R = Q_C/W
열펌프 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
에너지 수지: Q_H = W + Q_C

파동, 소리, 광학

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.운동학보통

36 km/h로 달리던 자동차가 6 m/s²의 일정한 감속도로 제동하여 멈춘다. 제동 거리 s을(를) 구하시오.

v₀ = 36 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.운동학어려움

공 A를 높이 25 m에서 가만히 떨어뜨린다. 같은 순간 바로 아래 지면에서 공 B를 23 m/s로 똑바로 위로 던진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 두 공은 지면에서 몇 m 높이 y에서 만나는가?

H = 25 mv_0B = 23 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.뉴턴 법칙보통

상자가 처음 속력 3.5 m/s로 평평한 바닥을 미끄러지다가 6.2 m 후에 멈춘다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 운동 마찰 계수 μ을(를) 구하시오.

v₀ = 3.5 m/sd = 6.2 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.뉴턴 법칙어려움

20° 경사로 위의 1 kg 블록이 경사로 꼭대기의 마찰 없는 도르래를 지나는 가벼운 줄로 매달린 9.5 kg 질량과 연결되어 있다. 매달린 질량은 아래로 움직인다. 블록과 경사로 사이의 운동 마찰 계수는 0.2이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 계의 가속도 a을(를) 구하시오.

m₁ = 1 kgm₂ = 9.5 kgθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.포물선 운동보통

평지에서 공을 24 m/s로 발사해 25 m 떨어진 곳에 떨어지게 해야 한다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 가능한 두 발사각 중 작은 값 θ을(를) 구하시오.

v₀ = 24 m/sR = 25 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.포물선 운동어려움

공을 높이 50 m인 절벽 위에서 수평에서 25° 위로 던진다. 공기 저항은 무시한다. 공이 땅에 닿기 전까지 이동한 수평 거리 x을(를) 구하시오.

v₀ = 25 m/sθ = 25°h = 50 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.일과 에너지보통

블록이 수평과 25°를 이루는 경사면을 정지 상태에서 미끄러져 내려간다. 운동 마찰 계수는 0.1이다. 경사면을 따라 14 m 미끄러진 뒤의 속력 v을(를) 구하시오.

θ = 25°μ = 0.1d = 14 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.일과 에너지어려움

질량 4 kg인 블록을 매끄러운 경사로의 높이 1.5 m에서 가만히 놓는다. 아래에서 길이 1.5 m인 거친 수평 구간(μ = 0.2)을 지난 뒤, 매끄러운 면에서 스프링(k = 5000 N/m)에 부딪힌다. 스프링의 최대 압축량 x을(를) 구하시오.

m = 4 kgh = 1.5 mL = 1.5 mμ = 0.2k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.운동량과 충돌보통

4 m/s로 움직이는 질량 2 kg인 글라이더가 마찰 없는 트랙 위에 정지해 있는 질량 3 kg인 글라이더와 완전 탄성 정면충돌을 한다. 충돌 후 두 번째 글라이더의 속도 v′₂을(를) 구하시오.

m₁ = 2 kgm₂ = 3 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.운동량과 충돌어려움

질량 0.2 kg인 공이 11 m/s로 벽에 부딪힌 뒤 18 m/s로 똑바로 튀어나온다. 접촉 시간은 20 ms이다. 벽이 공에 작용한 평균 힘 F_avg을(를) 구하시오.

m = 0.2 kgv_in = 11 m/sv_out = 18 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

11.정수압보통

폭 3 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 1.5 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 1.5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.정수압어려움

폭 3 m인 연직 직사각형 수문이 기름이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 3 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 3 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.연속 방정식과 베르누이보통

입구 지름 100 mm, 목 지름 60 mm인 수평 벤투리미터에 물이 흐른다. 입구의 압력은 목보다 20 kPa 높다. 손실을 무시하고 유량 Q을(를) 구하시오.

d₁ = 100 mmd₂ = 60 mmp₁ − p₂ = 20 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.연속 방정식과 베르누이어려움

분수 노즐이 똑바로 위를 향한다. 노즐 바로 아래 공급관의 지름은 75 mm, 계기 압력은 50 kPa이다. 노즐 출구 지름은 25 mm이며 노즐 전후의 높이 차는 무시할 수 있다. 손실과 공기 저항을 무시하고 분류가 노즐 위로 올라가는 높이 H을(를) 구하시오. g = 9.81 m/s²를 사용하시오.

d₁ = 75 mmp₁ = 50 kPa (게이지압)d₂ = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

15.이상 기체 법칙보통

부피 10 L인 탱크에 40 °C의 Ar 480 g이(가) 들어 있다. 이상 기체로 보고 압력 P을(를) 구하시오.

m = 480 gM = 39.95 g/molV = 10 LT = 40 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.이상 기체 법칙어려움

450 kPa, 50 °C에서 CH₄의 밀도 ρ을(를) 이상 기체로 보고 구하시오.

M = 16.04 g/molP = 450 kPaT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.열기관과 냉동기보통

열기관이 225 °C의 고온 열원과 40 °C의 저온 열원 사이에서 작동한다. 가능한 최대 열효율 η_max을(를) 구하시오.

T_H = 225 °CT_L = 40 °C

η_max = %

18.열기관과 냉동기어려움

열펌프가 바깥이 -10 °C일 때 집을 20 °C로 유지하며 집에 15 kW의 열을 공급한다. 최소 입력 동력 Ẇ_min을(를) 구하시오.

T_H = 20 °CT_L = -10 °CQ̇_H = 15 kW

Ẇ_min = kW

19.파동, 소리, 광학보통

34 m/s로 움직이는 800 Hz의 음원과 15 m/s로 움직이는 관측자가 서로 멀어진다. 소리의 속력은 343 m/s이다. 관측자가 듣는 진동수 f′을(를) 구하시오.

f = 800 Hzv = 343 m/sv_s = 34 m/sv_o = 15 m/s

f′ = Hz

20.파동, 소리, 광학어려움

정지한 주차 센서가 30 m/s로 다가오는 자동차를 향해 25 kHz의 초음파를 보낸다. 센서가 되받는 반향의 진동수 f″을(를) 구하시오(소리의 속력 343 m/s).

f = 25 kHzu = 30 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3용액

1.운동학

답: s = 8.333 m

등가속도 운동: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t², v² = v₀² + 2·a·s. 아는 세 양과 구하려는 양이 들어 있는 식을 고르고, 양의 방향을 하나 정해 부호를 일관되게 쓰세요.

단위

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

제동 거리

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·6) = 8.333 m

답

s = 8.333 m

2.운동학

답: y = 19.2 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

만나는 시간

위쪽을 양으로 하고, 지면은 y = 0입니다.

25 − ½g·t² = 23·t − ½g·t² → t = 25/23 = 1.087 s

만나는 높이

y = 23·1.087 − ½·9.81·1.087² = 19.2 m

답

y = 19.2 m

3.뉴턴 법칙

답: μ = 0.1007

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

감속도

a = v₀²/(2d) = 3.5²/(2·6.2) = 0.9879 m/s²

마찰 계수

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.9879/9.81 = 0.1007

답

μ = 0.1007

4.뉴턴 법칙

답: a = 8.381 m/s²

줄 방향의 힘

m₂·g = 93.2 N

m₁·g·sin θ = 3.355 N

μ·m₁·g·cos θ = 1.844 N

계의 가속도

a = (93.2 − 3.355 − 1.844)/10.5 = 8.381 m/s²

답

a = 8.381 m/s²

5.포물선 운동

답: θ = 12.6 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

수평 도달 거리 공식

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·25/24² = 0.4258

위상각

2θ = 25.2° → θ = 12.6°

답

θ = 12.6°

다른 해는 90° − θ = 77.4°입니다.

6.포물선 운동

답: x = 100.7 m

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

수평 속도는 일정하고, 연직 운동은 아래쪽으로 일정한 가속도 g = 9.81 m/s²을(를) 가집니다.

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 25° = 22.66 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 25° = 10.57 m/s

체공 시간

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0을 풀어 양의 근을 택합니다.

0 = 50 + 10.57·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10.57 + √(111.6 + 981))/9.81 = 4.447 s

수평 거리

x = v_x·t = 22.66·4.447 = 100.7 m

답

x = 100.7 m

7.일과 에너지

답: v = 9.549 m/s

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

경사면을 따른 에너지 수지

블록이 높이 d·sin θ만큼 내려가는 동안 마찰이 μmg·cos θ·d를 빼앗습니다. 질량이 소거됩니다.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·14·(0.4226 − 0.1·0.9063)) = 9.549 m/s

답

v = 9.549 m/s

8.일과 에너지

답: x = 13.72 cm

거친 구간을 지난 뒤 남은 에너지

경사로는 매끄러우므로 에너지를 빼앗는 것은 거친 구간뿐입니다.

mgh − μmgL = 39.24·(1.5 − 0.2·1.5) = 47.09 J

최대 압축량

½kx² = 47.09 → x = √(2·47.09/5000) = 0.1372 m = 13.72 cm

답

x = 13.72 cm

9.운동량과 충돌

답: v′₂ = 3.2 m/s

운동량 보존: 충돌하는 동안 외력이 작용하지 않으면 충돌 전 전체 운동량 Σm·v는 충돌 후와 같습니다. 속도에는 방향이 있으므로 양의 방향을 정하고 반대 방향 속도에는 음의 부호를 붙이세요. 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존되고, 완전 비탄성 충돌에서는 두 물체가 한 덩어리가 됩니다.

정지한 표적과의 탄성 충돌

운동량 보존과 에너지 보존을 연립해 풀면 이 두 결과가 나옵니다.

v′₁ = (2 − 3)/(2 + 3)·4 = −0.8 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 3)·4 = 3.2 m/s

답

v′₂ = 3.2 m/s

10.운동량과 충돌

답: F_avg = 290 N

운동량 변화

J = m·Δv = 0.2·(18 + 11) = 5.8 N·s

평균 힘

F_avg = J/Δt = 5.8/0.02 = 290 N

답

F_avg = 290 N

11.정수압

답: F = 264.9 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·9 = 264.9 kN

답

F = 264.9 kN

12.정수압

답: F = 145.7 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·3.75·4.5 = 145.7 kN

답

F = 145.7 kN

13.연속 방정식과 베르누이

답: Q = 19.17 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

연속 방정식

v₁ = v₂·(60/100)² = 0.36·v₂

입구와 목 사이의 베르누이 식

관이 수평이므로 압력과 유속만 변합니다.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·20000/(1000·(1 − 0.1296))) = 6.779 m/s

v₁ = 2.44 m/s

유량

Q = A₂·v₂ = 0.002827·6.779 = 0.01917 m³/s = 19.17 L/s

답

Q = 19.17 L/s

14.연속 방정식과 베르누이

답: H = 5.161 m

출구 유속

β = 25/75 = 0.3333

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·50000/(1000·0.9877)) = 10.06 m/s

분류의 높이

분류를 따른 베르누이 식: 꼭대기에서 유속은 0이고 압력은 다시 대기압입니다.

H = v₂²/(2g) = 10.06²/(2·9.81) = 5.161 m

답

H = 5.161 m

15.이상 기체 법칙

답: P = 3128 kPa

이상 기체 법칙: PV = nRT, n = m/M.

몰수

n = m/M = 480/39.95 = 12.02 mol

T = 40 + 273.15 = 313.1 K

압력

P = nRT/V = 12.02·8.314·313.1/0.01 = 3128 kPa

답

P = 3128 kPa

16.이상 기체 법칙

답: ρ = 2.687 kg/m³

이상 기체의 밀도: ρ = PM/(RT).

기체 법칙 정리

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 50 + 273.15 = 323.1 K

밀도

ρ = 450·16.04/(8.314·323.1) = 2.687 kg/m³

답

ρ = 2.687 kg/m³

17.열기관과 냉동기

답: η_max = 37.14 %

제2법칙의 한계: 절대 온도 T_H와 T_L인 열원 사이에서 작동하는 어떤 사이클도 가역(카르노) 사이클을 넘을 수 없습니다: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L), COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). 에너지는 항상 보존됩니다: Q_H = W + Q_L.

절대 온도

T_H = 225 + 273.15 = 498.1 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

카르노 효율

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 313.1/498.1 = 37.14 %

답

η_max = 37.14 %

18.열기관과 냉동기

답: Ẇ_min = 1.535 kW

절대 온도

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

가능한 최고 COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 293.1/(293.1 − 263.1) = 9.772

최소 동력

COP가 가장 큰 가역 기계가 가장 적은 일을 필요로 합니다.

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 15/9.772 = 1.535 kW

답

Ẇ_min = 1.535 kW

19.파동, 소리, 광학

답: f′ = 696 Hz

정상파와 도플러 효과: 양 끝이 고정된 줄이나 양 끝이 열린 관에는 반파장의 정수 배가 들어맞습니다: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … 한쪽 끝이 닫힌 관은 닫힌 끝이 마디이고 열린 끝이 배입니다: L = nλ/4이며 n은 홀수만 가능하고 f_n = n·v/(4L)입니다. 음원이나 관측자가 둘을 잇는 직선을 따라 움직이면 f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)입니다. 서로를 향해 움직일 때는 위쪽 부호를 쓰세요. 진동수가 거의 같은 두 파동은 |f₁ − f₂|로 맥놀이합니다.

도플러 공식

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 800·(343 − 15)/(343 + 34)

f′ = 696 Hz

답

f′ = 696 Hz

20.파동, 소리, 광학

답: f″ = 29792 Hz

자동차에서의 진동수

f′ = 25000·(343 + 30)/343 = 27187 Hz

반향의 진동수

f″ = f′·343/(343 − 30) = 29792 Hz

답

f″ = 29792 Hz

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