공학물리: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

정수압

깊이에 따른 압력: p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘: F = ρg·h_c·A
압력 중심: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
직사각형: I_c = bH³/12

연속 방정식과 베르누이

연속 방정식: A₁v₁ = A₂v₂
베르누이 방정식: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
유량: Q = A·v
원의 넓이: A = πd²/4

이상 기체 법칙

이상 기체 법칙: pV = nRT
기체 상수: R = 8.314 J/(mol·K)
보일-샤를 법칙: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
몰수: n = m/M
온도: T[K] = T[°C] + 273.15

열기관과 냉동기

효율: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
카르노 효율: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
냉동기 COP: COP_R = Q_C/W
열펌프 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
에너지 수지: Q_H = W + Q_C

파동, 소리, 광학

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.운동학보통

일정한 16 m/s로 과속하는 자동차가 정지해 있는 경찰차를 지나간다. 그 순간 경찰차가 출발해 4 m/s²로 균일하게 가속한다. 경찰차가 따라잡는 데 얼마나 걸리는가? t을(를) 구하시오.

v_car = 16 m/sa_police = 4 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.운동학어려움

지면에서 40 m 높이에 있는 지붕 가장자리에서 공을 15 m/s로 똑바로 위로 던진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 쓴다. 지면으로부터의 최고 높이 h_max을(를) 구하시오.

v₀ = 15 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.뉴턴 법칙보통

질량 9 kg인 블록이 수평과 25°를 이루는 경사면을 미끄러져 내려간다. 운동 마찰 계수는 0.15이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 경사면을 따르는 블록의 가속도 a을(를) 구하시오.

m = 9 kgθ = 25°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.뉴턴 법칙어려움

수평 탁자 위에 있는 질량 5 kg인 블록이 가벼운 줄로 마찰 없는 도르래를 거쳐 매달린 0.5 kg 물체와 연결되어 있다. 탁자에는 마찰이 없다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 계의 가속도 a을(를) 구하시오.

m₁ = 5 kgm₂ = 0.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.포물선 운동보통

평지에서 공을 34 m/s로 발사해 105 m 떨어진 곳에 떨어지게 해야 한다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 가능한 두 발사각 중 작은 값 θ을(를) 구하시오.

v₀ = 34 m/sR = 105 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.포물선 운동어려움

지면에서 공을 20 m/s, 수평 위 55°로 던진다. 공은 내려오는 도중에 높이 7 m인 건물의 평평한 지붕에 떨어진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 발사점에서 떨어진 곳까지의 수평 거리 x을(를) 구하시오.

v₀ = 20 m/sθ = 55°h_roof = 7 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.일과 에너지보통

질량 2.5 kg인 블록이 수평과 35°를 이루는 경사면을 7 m 미끄러져 내려가며, 운동 마찰 계수는 0.2이다. 마찰에 대해 한 일 W_f을(를) 구하시오.

m = 2.5 kgθ = 35°μ = 0.2d = 7 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.일과 에너지어려움

8 kg 블록이 35° 경사면의 아래에서 정지 상태로 출발해, 경사면에 평행한 일정한 힘 105 N에 의해 위로 끌려 올라간다. 운동 마찰 계수는 0.1이다. 블록이 경사면을 따라 8 m 올라간 뒤의 속력 v을(를) 구하시오.

m = 8 kgF = 105 Nθ = 35°μ = 0.1d = 8 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.운동량과 충돌보통

9 m/s로 움직이는 1200 kg 자동차가 정지해 있는 600 kg 자동차와 충돌해 두 차가 한 덩어리가 된다. 충돌에서 잃은 운동 에너지 ΔK은(는) 얼마인가?

m₁ = 1200 kgv₁ = 9 m/sm₂ = 600 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.운동량과 충돌어려움

질량 0.35 kg인 공이 15 m/s로 벽에 부딪힌 뒤 6 m/s로 똑바로 튀어나온다. 접촉 시간은 25 ms이다. 벽이 공에 가한 충격량의 크기 J을(를) 구하시오.

m = 0.35 kgv_in = 15 m/sv_out = 6 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

11.정수압보통

폭 3 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 4 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 4 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.정수압어려움

폭 2 m인 연직 직사각형 수문이 기름이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 1.5 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.연속 방정식과 베르누이보통

물이 26 L/s로 200 mm에서 150 mm로 좁아지는 수평관을 흐른다. 좁은 구간의 압력은 80 kPa이다. 손실을 무시하고 넓은 구간의 압력 p₁을(를) 구하시오.

Q = 26 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 150 mmp₂ = 80 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.연속 방정식과 베르누이어려움

수평 벤투리미터(입구 300 mm, 목 150 mm)에 물이 흐른다. 입구와 목 사이에 연결된 수은 U자관 마노미터의 액면 차는 360 mm이다. 유량 계수는 0.95이다. 유량 Q을(를) 구하시오. 물은 ρ = 1000 kg/m³, 수은은 13 600 kg/m³, g = 9.81 m/s²를 사용하시오.

d₁ = 300 mmd₂ = 150 mmΔh = 360 mmC_d = 0.95ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.이상 기체 법칙보통

부피 50 L인 탱크에 70 °C의 Ar 280 g이(가) 들어 있다. 이상 기체로 보고 압력 P을(를) 구하시오.

m = 280 gM = 39.95 g/molV = 50 LT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.이상 기체 법칙어려움

200 kPa, 140 °C에서 Ar의 밀도 ρ을(를) 이상 기체로 보고 구하시오.

M = 39.95 g/molP = 200 kPaT = 140 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.열기관과 냉동기보통

열기관이 325 °C의 고온 열원과 25 °C의 저온 열원 사이에서 작동한다. 이 기관은 600 kJ의 열을 받는다. 얻을 수 있는 최대 일 W_max을(를) 구하시오.

T_H = 325 °CT_L = 25 °CQ_H = 600 kJ

W_max = kJ

18.열기관과 냉동기어려움

열펌프가 바깥이 -5 °C일 때 집을 21 °C로 유지하며 집에 15 kW의 열을 공급한다. 최소 입력 동력 Ẇ_min을(를) 구하시오.

T_H = 21 °CT_L = -5 °CQ̇_H = 15 kW

Ẇ_min = kW

19.파동, 소리, 광학보통

양 끝이 고정된 줄의 길이는 0.65 m이고 그 위로 파동이 200 m/s로 진행한다. 5번째 배진동의 진동수 f₅을(를) 구하시오.

v = 200 m/sn = 5L = 0.65 m

f₅ = Hz

20.파동, 소리, 광학어려움

정지한 주차 센서가 10 m/s로 다가오는 자동차를 향해 35 kHz의 초음파를 보낸다. 센서가 되받는 반향의 진동수 f″을(를) 구하시오(소리의 속력 343 m/s).

f = 35 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3용액

1.운동학

답: t = 8 s

등가속도 운동: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t², v² = v₀² + 2·a·s. 아는 세 양과 구하려는 양이 들어 있는 식을 고르고, 양의 방향을 하나 정해 부호를 일관되게 쓰세요.

같은 거리

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·16/4 = 8 s

답

t = 8 s

그 순간 경찰차는 2v = 32 m/s로 움직입니다.

2.운동학

답: h_max = 51.47 m

지붕 위로 올라간 높이

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 15²/(2·9.81) = 11.47 m

지면으로부터의 높이

h_max = 40 + 11.47 = 51.47 m

답

h_max = 51.47 m

3.뉴턴 법칙

답: a = 2.812 m/s²

뉴턴 제2법칙: 물체에 작용하는 알짜힘은 질량과 가속도의 곱과 같습니다: ΣF = m·a. 자유물체도를 그리고, 운동 방향을 따라 양의 방향을 정한 뒤, 그 방향의 모든 힘을 더하세요: 가한 힘, 운동을 방해하는 마찰력 μ·N, 중력의 성분.

경사면 방향의 힘

경사면 아래쪽이 양입니다.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

가속도

a = 9.81·(sin 25° − 0.15·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.1359) = 2.812 m/s²

답

a = 2.812 m/s²

4.뉴턴 법칙

답: a = 0.8918 m/s²

계의 가속도

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (4.905 − 0)/5.5 = 0.8918 m/s²

답

a = 0.8918 m/s²

5.포물선 운동

답: θ = 31.5 °

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

수평 도달 거리 공식

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·105/34² = 0.891

위상각

2θ = 63.01° → θ = 31.5°

답

θ = 31.5°

다른 해는 90° − θ = 58.5°입니다.

6.포물선 운동

답: x = 32.55 m

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

v_x = 11.47 m/s, v_y = 16.38 m/s

지붕에 떨어지는 시간

큰 근: 공이 내려오는 중입니다.

7 = 16.38·t − 4.905·t²

t = (16.38 + √(16.38² − 2·9.81·7))/9.81 = 2.837 s

수평 거리

x = v_x·t = 11.47·2.837 = 32.55 m

답

x = 32.55 m

7.일과 에너지

답: W_f = 28.13 J

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

마찰력

N = mg·cos θ = 24.53·0.8192 = 20.09 N

F = μN = 0.2·20.09 = 4.018 N

마찰에 대한 일

W_f = F·d = 4.018·7 = 28.13 J

답

W_f = 28.13 J

8.일과 에너지

답: v = 10.35 m/s

경사면 방향의 힘

m·g = 8·9.81 = 78.48 N

mg·sin θ = 45.01 N

μ·mg·cos θ = 6.429 N

일–에너지

½mv² = (105 − 51.44)·8 = 428.5 J

v = √(2·428.5/8) = 10.35 m/s

답

v = 10.35 m/s

9.운동량과 충돌

답: ΔK = 16200 J

운동량 보존: 충돌하는 동안 외력이 작용하지 않으면 충돌 전 전체 운동량 Σm·v는 충돌 후와 같습니다. 속도에는 방향이 있으므로 양의 방향을 정하고 반대 방향 속도에는 음의 부호를 붙이세요. 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존되고, 완전 비탄성 충돌에서는 두 물체가 한 덩어리가 됩니다.

공통 속도

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1200·9/1800 = 6 m/s

충돌 전후의 운동 에너지

K_before = ½·1200·9² = 48600 J

K_after = ½·1800·6² = 32400 J

잃은 에너지

ΔK = 48600 − 32400 = 16200 J

답

ΔK = 16200 J

잃은 에너지는 변형, 열, 소리로 갑니다.

10.운동량과 충돌

답: J = 7.35 N·s

운동량 변화

J = m·Δv = 0.35·(6 + 15) = 7.35 N·s

답

J = 7.35 N·s

11.정수압

답: F = 485.6 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.5·9 = 485.6 kN

답

F = 485.6 kN

12.정수압

답: F = 118.7 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2.75·5 = 118.7 kN

답

F = 118.7 kN

13.연속 방정식과 베르누이

답: p₁ = 80.74 kPa

연속 방정식과 베르누이: 비압축성 유체는 모든 단면에서 유량이 같습니다: Q = A₁v₁ = A₂v₂. 손실 없는 유선을 따라 p + ½ρv² + ρgz는 일정하므로, 유체가 빠르거나 높은 곳일수록 압력이 낮습니다.

유속

v₁ = Q/A₁ = 0.026/0.03142 = 0.8276 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.026/0.01767 = 1.471 m/s

베르누이 방정식

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 80 + ½·1000·(1.471² − 0.8276²)/1000 = 80 + 0.7399 = 80.74 kPa

답

p₁ = 80.74 kPa

14.연속 방정식과 베르누이

답: Q = 163.6 L/s

마노미터에서 구한 압력 차

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.36 = 44498 Pa

목의 유속

연속 방정식과 베르누이 식을 함께 쓰면 이상적인 목의 유속이 나옵니다.

β = 150/300 = 0.5

v₂ = √(2·44498/(1000·(1 − 0.0625))) = 9.743 m/s

실제 유량

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.95·0.01767·9.743 = 0.1636 m³/s = 163.6 L/s

답

Q = 163.6 L/s

15.이상 기체 법칙

답: P = 399.9 kPa

이상 기체 법칙: PV = nRT, n = m/M.

몰수

n = m/M = 280/39.95 = 7.009 mol

T = 70 + 273.15 = 343.1 K

압력

P = nRT/V = 7.009·8.314·343.1/0.05 = 399.9 kPa

답

P = 399.9 kPa

16.이상 기체 법칙

답: ρ = 2.326 kg/m³

이상 기체의 밀도: ρ = PM/(RT).

기체 법칙 정리

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 140 + 273.15 = 413.1 K

밀도

ρ = 200·39.95/(8.314·413.1) = 2.326 kg/m³

답

ρ = 2.326 kg/m³

17.열기관과 냉동기

답: W_max = 300.9 kJ

제2법칙의 한계: 절대 온도 T_H와 T_L인 열원 사이에서 작동하는 어떤 사이클도 가역(카르노) 사이클을 넘을 수 없습니다: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L), COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). 에너지는 항상 보존됩니다: Q_H = W + Q_L.

절대 온도

T_H = 325 + 273.15 = 598.1 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

카르노 효율

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 298.1/598.1 = 50.15 %

최대 일

W_max = η_max·Q_H = 0.5015·600 = 300.9 kJ

답

W_max = 300.9 kJ

18.열기관과 냉동기

답: Ẇ_min = 1.326 kW

절대 온도

T_H = 21 + 273.15 = 294.1 K

T_L = -5 + 273.15 = 268.1 K

가능한 최고 COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 294.1/(294.1 − 268.1) = 11.31

최소 동력

COP가 가장 큰 가역 기계가 가장 적은 일을 필요로 합니다.

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 15/11.31 = 1.326 kW

답

Ẇ_min = 1.326 kW

19.파동, 소리, 광학

답: f₅ = 769.2 Hz

정상파와 도플러 효과: 양 끝이 고정된 줄이나 양 끝이 열린 관에는 반파장의 정수 배가 들어맞습니다: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … 한쪽 끝이 닫힌 관은 닫힌 끝이 마디이고 열린 끝이 배입니다: L = nλ/4이며 n은 홀수만 가능하고 f_n = n·v/(4L)입니다. 음원이나 관측자가 둘을 잇는 직선을 따라 움직이면 f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)입니다. 서로를 향해 움직일 때는 위쪽 부호를 쓰세요. 진동수가 거의 같은 두 파동은 |f₁ − f₂|로 맥놀이합니다.

이 진동 모드의 파장

λ = 2L/n = 2·0.65/5 = 0.26 m

진동수

f = v/λ = 200/0.26 = 769.2 Hz

답

f₅ = 769.2 Hz

20.파동, 소리, 광학

답: f″ = 37102 Hz

자동차에서의 진동수

f′ = 35000·(343 + 10)/343 = 36020 Hz

반향의 진동수

f″ = f′·343/(343 − 10) = 37102 Hz

답

f″ = 37102 Hz

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