공학물리: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

정수압

깊이에 따른 압력: p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘: F = ρg·h_c·A
압력 중심: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
직사각형: I_c = bH³/12

연속 방정식과 베르누이

연속 방정식: A₁v₁ = A₂v₂
베르누이 방정식: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
유량: Q = A·v
원의 넓이: A = πd²/4

이상 기체 법칙

이상 기체 법칙: pV = nRT
기체 상수: R = 8.314 J/(mol·K)
보일-샤를 법칙: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
몰수: n = m/M
온도: T[K] = T[°C] + 273.15

열기관과 냉동기

효율: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
카르노 효율: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
냉동기 COP: COP_R = Q_C/W
열펌프 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
에너지 수지: Q_H = W + Q_C

파동, 소리, 광학

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.운동학보통

일정한 27 m/s로 과속하는 자동차가 정지해 있는 경찰차를 지나간다. 그 순간 경찰차가 출발해 4.5 m/s²로 균일하게 가속한다. 경찰차가 따라잡는 데 얼마나 걸리는가? t을(를) 구하시오.

v_car = 27 m/sa_police = 4.5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.운동학어려움

지면에서 35 m 높이에 있는 지붕 가장자리에서 공을 18 m/s로 똑바로 위로 던진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 쓴다. 지면으로부터의 최고 높이 h_max을(를) 구하시오.

v₀ = 18 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.뉴턴 법칙보통

질량 20 kg인 블록이 수평과 35°를 이루는 경사면을 미끄러져 내려간다. 운동 마찰 계수는 0.3이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 경사면을 따르는 블록의 가속도 a을(를) 구하시오.

m = 20 kgθ = 35°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.뉴턴 법칙어려움

수평 탁자 위에 있는 질량 3.5 kg인 블록이 가벼운 줄로 마찰 없는 도르래를 거쳐 매달린 2 kg 물체와 연결되어 있다. 블록과 탁자 사이의 운동 마찰 계수는 0.1이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 계의 가속도 a을(를) 구하시오.

m₁ = 3.5 kgm₂ = 2 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.포물선 운동보통

평지에서 공을 38 m/s로 발사해 85 m 떨어진 곳에 떨어지게 해야 한다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 가능한 두 발사각 중 작은 값 θ을(를) 구하시오.

v₀ = 38 m/sR = 85 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.포물선 운동어려움

10 m 절벽 꼭대기에서 공을 31 m/s, 수평 위 25°로 발사한다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 지면에 닿는 속력 v을(를) 구하시오.

v₀ = 31 m/sθ = 25°h = 10 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

7.일과 에너지보통

질량 4 kg인 블록이 수평과 25°를 이루는 경사면을 20 m 미끄러져 내려가며, 운동 마찰 계수는 0.3이다. 마찰에 대해 한 일 W_f을(를) 구하시오.

m = 4 kgθ = 25°μ = 0.3d = 20 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.일과 에너지어려움

25° 경사면 아래에 있는 강성 800 N/m인 스프링을 0.5 kg 블록으로 5 cm 압축했다가 놓는다. 블록과 경사면 사이의 운동 마찰 계수는 0.15이다. 블록은 놓은 점에서 경사면을 따라 얼마나 멀리 d 올라간 뒤 멈추는가? (스프링이 미는 짧은 거리는 무시하고, 마찰과 중력은 전체 거리 d에 걸쳐 작용한다고 하시오.)

m = 0.5 kgk = 800 N/mx = 5 cmθ = 25°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

9.운동량과 충돌보통

12 g 총알을 가벼운 줄에 매달린 3 kg 나무 블록에 수평으로 쏘아 박히게 한다. 블록은 처음보다 6 cm 높아질 때까지 흔들려 올라간다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 충돌 전 총알의 속력 v을(를) 구하시오.

m = 12 gM = 3 kgh = 6 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.운동량과 충돌어려움

20 g 총알을 길이 1.9 m의 가벼운 줄에 매달린 3.5 kg 블록에 수평으로 쏘아 박히게 한다. 줄은 연직에서 최대 15°까지 흔들려 나간다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 충돌 전 총알의 속력 v을(를) 구하시오.

m = 20 gM = 3.5 kgL = 1.9 mθ = 15°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.정수압보통

폭 2 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 4 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 4 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.정수압어려움

폭 3 m인 연직 직사각형 수문이 기름이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 1 m에 있다. 수면 아래 압력 중심의 깊이 y_cp을(를) 구하시오.

d = 1 mH = 3 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.연속 방정식과 베르누이보통

물이 100 mm에서 75 mm(으)로 좁아지는 수평관을 흐른다. 넓은 부분의 압력은 370 kPa, 유속은 2 m/s이다. 손실을 무시하고 좁은 부분의 압력 p₂을(를) 구하시오.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 370 kPav₁ = 2 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.연속 방정식과 베르누이어려움

물이 100 mm에서 50 mm(으)로 좁아지며 1 m 올라가는 관을 따라 위로 흐른다. 단면 1의 압력은 200 kPa, 유속은 1.25 m/s이다. 손실을 무시하고 단면 2의 압력 p₂을(를) 구하시오.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 200 kPav₁ = 1.25 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.이상 기체 법칙보통

부피 50 L인 탱크에 85 °C의 CO₂ 50 g이(가) 들어 있다. 이상 기체로 보고 압력 P을(를) 구하시오.

m = 50 gM = 44.01 g/molV = 50 LT = 85 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.이상 기체 법칙어려움

일정량의 Ar이(가) 350 kPa, 10 L, 40 °C에서 550 kPa, 70 °C(으)로 변한다. 새 부피 V₂을(를) 구하시오.

P₁ = 350 kPaV₁ = 10 LT₁ = 40 °CP₂ = 550 kPaT₂ = 70 °C

V₂ = L

17.열기관과 냉동기보통

가역(카르노) 열기관이 사이클마다 375 °C의 열저장소에서 2900 kJ의 열을 받고 1446 kJ를 방출한다. 저온 열저장소의 온도 T_L을(를) °C로 구하시오.

T_H = 375 °CQ_H = 2900 kJQ_L = 1446 kJ

T_L = °C

18.열기관과 냉동기어려움

열펌프가 바깥이 5 °C일 때 집을 22 °C로 유지하며 집에 12 kW의 열을 공급한다. 가능한 최대 성능 계수 COP_max을(를) 구하시오.

T_H = 22 °CT_L = 5 °CQ̇_H = 12 kW

COP_max =

19.파동, 소리, 광학보통

1000 Hz의 음원이 정지한 관측자를 향해 30 m/s로 움직인다. 소리의 속력은 343 m/s이다. 관측자가 듣는 진동수 f′을(를) 구하시오.

f = 1000 Hzv = 343 m/sv_s = 30 m/s

f′ = Hz

20.파동, 소리, 광학어려움

얇은 렌즈 두 개가 같은 축 위에 20 cm 떨어져 있다. 렌즈 1은 f₁ = 12 cm, 렌즈 2는 f₂ = 10 cm이다. 물체가 렌즈 1 앞 50 cm에 서 있다. 렌즈 2에서 잰 최종 상의 위치 d_i2을(를) 구하시오(렌즈 2 뒤쪽이 양수이며, 실상이 양수인 규약).

f₁ = 12 cmf₂ = 10 cms = 20 cmd_o = 50 cm

d_i2 = cm

3용액

1.운동학

답: t = 12 s

등가속도 운동: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t², v² = v₀² + 2·a·s. 아는 세 양과 구하려는 양이 들어 있는 식을 고르고, 양의 방향을 하나 정해 부호를 일관되게 쓰세요.

같은 거리

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·27/4.5 = 12 s

답

t = 12 s

그 순간 경찰차는 2v = 54 m/s로 움직입니다.

2.운동학

답: h_max = 51.51 m

지붕 위로 올라간 높이

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 18²/(2·9.81) = 16.51 m

지면으로부터의 높이

h_max = 35 + 16.51 = 51.51 m

답

h_max = 51.51 m

3.뉴턴 법칙

답: a = 3.216 m/s²

뉴턴 제2법칙: 물체에 작용하는 알짜힘은 질량과 가속도의 곱과 같습니다: ΣF = m·a. 자유물체도를 그리고, 운동 방향을 따라 양의 방향을 정한 뒤, 그 방향의 모든 힘을 더하세요: 가한 힘, 운동을 방해하는 마찰력 μ·N, 중력의 성분.

경사면 방향의 힘

경사면 아래쪽이 양입니다.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

가속도

a = 9.81·(sin 35° − 0.3·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.2457) = 3.216 m/s²

답

a = 3.216 m/s²

4.뉴턴 법칙

답: a = 2.943 m/s²

계의 가속도

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 3.434)/5.5 = 2.943 m/s²

답

a = 2.943 m/s²

5.포물선 운동

답: θ = 17.64 °

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

수평 도달 거리 공식

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·85/38² = 0.5775

위상각

2θ = 35.27° → θ = 17.64°

답

θ = 17.64°

다른 해는 90° − θ = 72.36°입니다.

6.포물선 운동

답: v = 34.02 m/s

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

v_x = 31·cos 25° = 28.1 m/s

v_y0 = 31·sin 25° = 13.1 m/s

충돌 시 수직 속력

에너지 또는 수직 방향의 v² = v₀² + 2as.

v_y = √(13.1² + 2·9.81·10) = 19.18 m/s

충돌 속력

v = √(28.1² + 19.18²) = 34.02 m/s

답

v = 34.02 m/s

에너지로 검산: v² = v₀² + 2gh.

7.일과 에너지

답: W_f = 213.4 J

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

마찰력

N = mg·cos θ = 39.24·0.9063 = 35.56 N

F = μN = 0.3·35.56 = 10.67 N

마찰에 대한 일

W_f = F·d = 10.67·20 = 213.4 J

답

W_f = 213.4 J

8.일과 에너지

답: d = 0.365 m

스프링 에너지

x = 5 cm = 0.05 m

½kx² = ½·800·0.05² = 1 J

경사면을 따른 에너지 수지

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 1/(4.905·(0.4226 + 0.15·0.9063)) = 0.365 m

답

d = 0.365 m

9.운동량과 충돌

답: v = 272.3 m/s

운동량 보존: 충돌하는 동안 외력이 작용하지 않으면 충돌 전 전체 운동량 Σm·v는 충돌 후와 같습니다. 속도에는 방향이 있으므로 양의 방향을 정하고 반대 방향 속도에는 음의 부호를 붙이세요. 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존되고, 완전 비탄성 충돌에서는 두 물체가 한 덩어리가 됩니다.

충돌 후의 흔들림

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.06) = 1.085 m/s

충돌

m·v = (m + M)·V → v = (0.012 + 3)·1.085/0.012 = 272.3 m/s

답

v = 272.3 m/s

10.운동량과 충돌

답: v = 198.4 m/s

블록의 상승

h = L·(1 − cos θ) = 1.9·(1 − cos 15°) = 0.06474 m

충돌 후의 속력

V = √(2·9.81·0.06474) = 1.127 m/s

충돌

v = (m + M)·V/m = 3.52·1.127/0.02 = 198.4 m/s

답

v = 198.4 m/s

11.정수압

답: F = 139.8 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.75·3 = 139.8 kN

답

F = 139.8 kN

12.정수압

답: y_cp = 2.8 m

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2.5·9 = 194.2 kN

압력 중심

압력은 깊이에 따라 커지므로 합력은 도심 아래에 작용합니다.

I_c = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6.75 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.5 + 6.75/(2.5·9) = 2.8 m

답

y_cp = 2.8 m

13.연속 방정식과 베르누이

답: p₂ = 365.7 kPa

연속 방정식과 베르누이: 비압축성 유체는 모든 단면에서 유량이 같습니다: Q = A₁v₁ = A₂v₂. 손실 없는 유선을 따라 p + ½ρv² + ρgz는 일정하므로, 유체가 빠르거나 높은 곳일수록 압력이 낮습니다.

연속 방정식과 베르누이

Pa로 계산한 뒤 1000으로 나눠 kPa를 얻습니다.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(100/75)² = 3.556 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 3.556²)/1000 = −4.321 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 370 + (−4.321) = 365.7 kPa

답

p₂ = 365.7 kPa

14.연속 방정식과 베르누이

답: p₂ = 178.5 kPa

연속 방정식과 베르누이

Pa로 계산한 뒤 1000으로 나눠 kPa를 얻습니다.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.25·(100/50)² = 5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.25² − 5²)/1000 = −11.72 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·1/1000 = 9.81 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 200 + (−11.72) − 9.81 = 178.5 kPa

답

p₂ = 178.5 kPa

15.이상 기체 법칙

답: P = 67.66 kPa

이상 기체 법칙: PV = nRT, n = m/M.

몰수

n = m/M = 50/44.01 = 1.136 mol

T = 85 + 273.15 = 358.1 K

압력

P = nRT/V = 1.136·8.314·358.1/0.05 = 67.66 kPa

답

P = 67.66 kPa

16.이상 기체 법칙

답: V₂ = 6.973 L

보일-샤를 법칙: 일정량의 이상 기체에서 P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

절대 온도

T₁ = 313.1 K, T₂ = 343.1 K

보일-샤를 법칙

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(350/550)·(343.1/313.1) = 6.973 L

답

V₂ = 6.973 L

17.열기관과 냉동기

답: T_L = 50.03 °C

제2법칙의 한계: 절대 온도 T_H와 T_L인 열원 사이에서 작동하는 어떤 사이클도 가역(카르노) 사이클을 넘을 수 없습니다: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L), COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). 에너지는 항상 보존됩니다: Q_H = W + Q_L.

열원의 절대 온도

T_H = 375 + 273.15 = 648.1 K

가역 사이클의 열 비

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 648.1·1446/2900 = 323.2 K = 50.03 °C

답

T_L = 50.03 °C

18.열기관과 냉동기

답: COP_max = 17.36

절대 온도

T_H = 22 + 273.15 = 295.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

가능한 최고 COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295.1/(295.1 − 278.1) = 17.36

답

COP_max = 17.36

19.파동, 소리, 광학

답: f′ = 1096 Hz

정상파와 도플러 효과: 양 끝이 고정된 줄이나 양 끝이 열린 관에는 반파장의 정수 배가 들어맞습니다: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … 한쪽 끝이 닫힌 관은 닫힌 끝이 마디이고 열린 끝이 배입니다: L = nλ/4이며 n은 홀수만 가능하고 f_n = n·v/(4L)입니다. 음원이나 관측자가 둘을 잇는 직선을 따라 움직이면 f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)입니다. 서로를 향해 움직일 때는 위쪽 부호를 쓰세요. 진동수가 거의 같은 두 파동은 |f₁ − f₂|로 맥놀이합니다.

도플러 공식

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 1000·(343 + 0)/(343 − 30)

f′ = 1096 Hz

답

f′ = 1096 Hz

20.파동, 소리, 광학

답: d_i2 = −7.273 cm

기하 광학: 경계에서 n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂(스넬의 법칙)이며, 각은 법선에서 재고 n = c/v입니다. 더 느린 매질로 들어가면 광선은 법선 쪽으로 굽습니다. 밀한 매질(n₁ > n₂)에서 임계각 θ_c = arcsin(n₂/n₁)을 넘으면 모든 빛이 반사됩니다: 전반사. 얇은 렌즈와 구면 거울은 1/f = 1/d_o + 1/d_i를 따르며 배율은 m = −d_i/d_o입니다. 부호 규약: 볼록 렌즈와 오목 거울은 f > 0(f = R/2), 오목 렌즈와 볼록 거울은 f < 0이고, 실상은 d_i > 0, 허상은 d_i < 0이며, 거꾸로 선 상은 m < 0입니다.

렌즈 1의 상

1/d_i1 = 1/12 − 1/50 → d_i1 = 15.79 cm

렌즈 2의 물체

d_o2 = 20 − 15.79 = 4.211 cm

최종 상

1/d_i2 = 1/10 − 1/4.211 → d_i2 = −7.273 cm

답

d_i2 = −7.273 cm

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