공학물리: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도
v = v0 + a·t
변위
s = v0·t + ½·a·t²
시간 없이
v² = v0² + 2·a·s
단위
1 m/s = 3.6 km/h

방법

  1. 아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
  2. 아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
  3. 양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
  4. 풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙
ΣF = m·a
무게
W = m·g
운동 마찰
Ff = μ·N
경사면에서
경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

  1. 물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
  2. 운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
  3. 힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
  4. 운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
위치
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
최고 높이
H = h + vy²/(2g)
수평 도달 거리 (평지)
R = v0²·sin 2θ/g

방법

  1. 발사 속도를 성분으로 나누세요: vx = v₀·cos θ, vy = v₀·sin θ.
  2. 수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
  3. 연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
  4. 그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

일과 에너지

운동 에너지
Ek = ½mv²
위치 에너지
Ep = mgh
에너지 수지
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
마찰력이 한 일
W = μ·N·d
전력
P = W/t

운동량과 충돌

운동량
p = m·v
보존
Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
충격량
J = F·Δt = m·Δv

방법

  1. 양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
  2. 충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
  3. 완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
  4. 충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

정수압

깊이에 따른 압력
p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘
F = ρg·hc·A
압력 중심
yp = yc + Ic/(ycA)
직사각형
Ic = bH³/12

연속 방정식과 베르누이

연속 방정식
A1v1 = A2v2
베르누이 방정식
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
유량
Q = A·v
원의 넓이
A = πd²/4

이상 기체 법칙

이상 기체 법칙
pV = nRT
기체 상수
R = 8.314 J/(mol·K)
보일-샤를 법칙
p1V1/T1 = p2V2/T2
몰수
n = m/M
온도
T[K] = T[°C] + 273.15

열기관과 냉동기

효율
η = W/QH = 1 − QC/QH
카르노 효율
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
냉동기 COP
COPR = QC/W
열펌프 COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
에너지 수지
QH = W + QC

파동, 소리, 광학

파동의 속력
v = fλ, T = 1/f
줄
v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
점음원
I = P/(4πr²)
정상파
줄 또는 열린 관 fn = n·v/(2L); 닫힌 관 fn = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
굴절률
n = c/v, λ = λ0/n
스넬의 법칙
n1sin θ1 = n2sin θ2
임계각
sin θc = n2/n1
광섬유
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
렌즈와 거울
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
이중 슬릿
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
회절 격자
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
단일 슬릿
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

  1. 문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
  2. 관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. 단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
  4. 부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.운동학보통
t (s)v (m/s)0.5 s12.5

45 km/h로 달리던 운전자가 장애물을 본다. 반응 시간은 0.5 s이고, 그 후 자동차는 일정한 감속도 5.5 m/s²로 제동한다. 장애물을 본 순간부터의 총 정지 거리 d을(를) 구하시오.

v₀ = 45 km/htr = 0.5 sa = −5.5 m/s²
d = m
2.운동학어려움
AB: 14 m/s20 m

공 A를 높이 20 m에서 가만히 떨어뜨린다. 같은 순간 바로 아래 지면에서 공 B를 14 m/s로 똑바로 위로 던진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 두 공은 언제 만나는가? t을(를) 구하시오.

H = 20 mv0B = 14 m/sg = 9.81 m/s²
t = s
3.뉴턴 법칙보통
7 kg2 kg

7 kg과 2 kg인 질량이 가볍고 마찰 없는 도르래 양쪽에 가벼운 줄로 연결되어 매달려 있다. 계를 정지 상태에서 놓는다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 줄의 장력 T을(를) 구하시오.

m1 = 7 kgm2 = 2 kgg = 9.81 m/s²
T = N
4.뉴턴 법칙어려움
m1​ = 7 kg1.5 kgμ = 0.1

수평 탁자 위에 있는 질량 7 kg인 블록이 가벼운 줄로 마찰 없는 도르래를 거쳐 매달린 1.5 kg 물체와 연결되어 있다. 블록과 탁자 사이의 운동 마찰 계수는 0.1이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 줄의 장력 T을(를) 구하시오.

m1 = 7 kgm2 = 1.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²
T = N
5.포물선 운동보통
v0​ = 28 m/s30°x = ?

공을 평지에서 수평에서 30° 위로 던진다. 공기 저항은 무시한다. 공이 땅에 닿기 전까지 이동한 수평 거리 x을(를) 구하시오.

v0 = 28 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²
x = m
6.포물선 운동어려움
h = 50 mv0​ = 11 m/s30°x = ?

공을 높이 50 m인 절벽 위에서 수평에서 30° 위로 던진다. 공기 저항은 무시한다. 공이 땅에 닿기 전까지 이동한 수평 거리 x을(를) 구하시오.

v0 = 11 m/sθ = 30°h = 50 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.일과 에너지보통
120 km/h

평평한 도로를 120 km/h로 달리던 자동차가 급제동해 바퀴가 잠긴 채 미끄러져 멈춘다. 타이어와 도로 사이의 운동 마찰 계수는 0.5이다. 정지 거리 d을(를) 구하시오.

v = 120 km/hμ = 0.5g = 9.81 m/s²
d = m
8.일과 에너지어려움
h = 1.5 mL = 5 mμ = 0.1k = 4000 N/m

질량 1 kg인 블록을 매끄러운 경사로의 높이 1.5 m에서 가만히 놓는다. 아래에서 길이 5 m인 거친 수평 구간(μ = 0.1)을 지난 뒤, 매끄러운 면에서 스프링(k = 4000 N/m)에 부딪힌다. 블록이 스프링에 닿을 때의 속력 v을(를) 구하시오.

m = 1 kgh = 1.5 mL = 5 mμ = 0.1k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²
v = m/s
9.운동량과 충돌보통
3.5 kg6 m/s1.5 kg

6 m/s로 움직이는 질량 3.5 kg인 글라이더가 마찰 없는 트랙 위에 정지해 있는 질량 1.5 kg인 글라이더와 완전 탄성 정면충돌을 한다. 충돌 후 첫 번째 글라이더의 속도 v′1을(를) 구하시오(처음 진행 방향을 양으로 한다).

m1 = 3.5 kgm2 = 1.5 kgv1 = 6 m/sv2 = 0
v′1 = m/s
10.운동량과 충돌어려움
1900 kg8 m/s1000 kg9 m/sθ = ?

교차로에서 동쪽으로 8 m/s로 달리던 1900 kg 자동차가 북쪽으로 9 m/s로 달리던 1000 kg 자동차와 충돌한다. 두 차는 한 덩어리가 된다. 충돌 직후 잔해의 방향 θ을(를) 동쪽에서 북쪽으로 잰 각으로 구하시오.

m1 = 1900 kgv1 = 8 m/s (E)m2 = 1000 kgv2 = 9 m/s (N)
θ = °
11.정수압보통
수문d = 0.5 mH = 2 m

폭 1 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 0.5 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 0.5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.정수압어려움
수문d = 1 mH = 2 m

폭 2 m인 연직 직사각형 수문이 기름이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 1 m에 있다. 수면 아래 압력 중심의 깊이 ycp을(를) 구하시오.

d = 1 mH = 2 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
13.연속 방정식과 베르누이보통
12d1​ = 100 mm, p1​ = 360 kPad2​ = 40 mm, p2​ = ?

물이 100 mm에서 40 mm(으)로 좁아지는 수평관을 흐른다. 넓은 부분의 압력은 360 kPa, 유속은 1.5 m/s이다. 손실을 무시하고 좁은 부분의 압력 p2을(를) 구하시오.

d1 = 100 mmd2 = 40 mmp1 = 360 kPav1 = 1.5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
14.연속 방정식과 베르누이어려움
12d1​ = 150 mm, p1​ = 220 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?Δz = 2 m

물이 150 mm에서 50 mm(으)로 좁아지며 2 m 올라가는 관을 따라 위로 흐른다. 단면 1의 압력은 220 kPa, 유속은 0.5 m/s이다. 손실을 무시하고 단면 2의 압력 p2을(를) 구하시오.

d1 = 150 mmd2 = 50 mmp1 = 220 kPav1 = 0.5 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
15.이상 기체 법칙보통
O₂ 30 gV = 30 LT = 60 °CP = ?

부피 30 L인 탱크에 60 °C의 O₂ 30 g이(가) 들어 있다. 이상 기체로 보고 압력 P을(를) 구하시오.

m = 30 gM = 32 g/molV = 30 LT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)
P = kPa
16.이상 기체 법칙어려움
CO₂, M = 44.01 g/molP = 650 kPaT = 70 °Cρ = ?

650 kPa, 70 °C에서 CO₂의 밀도 ρ을(를) 이상 기체로 보고 구하시오.

M = 44.01 g/molP = 650 kPaT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
17.열기관과 냉동기보통
TH​ = 675 °CTL​ = 15 °CEQH​QL​W

열기관이 675 °C의 고온 열원과 15 °C의 저온 열원 사이에서 작동한다. 가능한 최대 열효율 ηmax을(를) 구하시오.

TH = 675 °CTL = 15 °C
ηmax = %
18.열기관과 냉동기어려움
TH​ = 21 °CTL​ = 7 °CHPQ̇H​ = 4 kWQ̇L​Ẇ = ?

열펌프가 바깥이 7 °C일 때 집을 21 °C로 유지하며 집에 4 kW의 열을 공급한다. 최소 입력 동력 Ẇmin을(를) 구하시오.

TH = 21 °CTL = 7 °CQ̇H = 4 kW
Ẇmin = kW
19.파동, 소리, 광학보통
FFdo​ = 8 cmf = 20 cm

물체가 초점 거리 20 cm인 얇은 수렴 렌즈 앞 8 cm에 서 있다. 배율 m을(를) 구하시오(거꾸로 선 상이면 음수).

do = 8 cmf = 20 cm
m =
20.파동, 소리, 광학어려움
λ = ?d = 0.15 mmL = 3 m26 mm

0.15 mm 떨어진 두 슬릿에 단색광을 비춘다. 3 m 떨어진 스크린에서 2번째 밝은 무늬가 중앙 무늬에서 26 mm에 있다. 파장 λ을(를) 구하시오.

d = 0.15 mmL = 3 my2 = 26 mmm = 2
λ = nm

3용액

1.운동학

답: d = 20.45 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

단위

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

반응 거리

d1 = v₀·tr = 12.5·0.5 = 6.25 m

제동 거리

d2 = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·5.5) = 14.2 m

합계

d = 6.25 + 14.2 = 20.45 m

답

d = 20.45 m
2.운동학

답: t = 1.429 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

만나는 시간

위쪽을 양으로 하고, 지면은 y = 0입니다.

20 − ½g·t² = 14·t − ½g·t² → t = 20/14 = 1.429 s

답

t = 1.429 s
3.뉴턴 법칙

답: T = 30.52 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

가속도

알짜 구동력은 무게의 차이이며, 전체 질량을 움직입니다.

a = (7 − 2)·9.81/(7 + 2) = 5.45 m/s²

가벼운 질량에서 구한 장력

T − m2·g = m2·a → T = 2·(9.81 + 5.45) = 30.52 N

답

T = 30.52 N
4.뉴턴 법칙

답: T = 13.33 N

뉴턴 제2법칙: 물체에 작용하는 알짜힘은 질량과 가속도의 곱과 같습니다: ΣF = m·a. 자유물체도를 그리고, 운동 방향을 따라 양의 방향을 정한 뒤, 그 방향의 모든 힘을 더하세요: 가한 힘, 운동을 방해하는 마찰력 μ·N, 중력의 성분.

계의 가속도

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (14.71 − 6.867)/8.5 = 0.9233 m/s²

탁자 위 블록에서 구한 장력

T − μ·m1·g = m1·a
T = 7·0.9233 + 6.867 = 13.33 N

답

T = 13.33 N
5.포물선 운동

답: x = 69.21 m

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = vxt, y = h + vyt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

수평 속도는 일정하고, 연직 운동은 아래쪽으로 일정한 가속도 g = 9.81 m/s²을(를) 가집니다.

vx = v0·cos θ = 28·cos 30° = 24.25 m/s
vy = v0·sin θ = 28·sin 30° = 14 m/s

체공 시간

출발점과 착지점이 같은 높이: t = 2vy/g.

t = 2·14/9.81 = 2.854 s

수평 거리

x = vx·t = 24.25·2.854 = 69.21 m

답

x = 69.21 m
6.포물선 운동

답: x = 36.22 m

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = vxt, y = h + vyt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

수평 속도는 일정하고, 연직 운동은 아래쪽으로 일정한 가속도 g = 9.81 m/s²을(를) 가집니다.

vx = v0·cos θ = 11·cos 30° = 9.526 m/s
vy = v0·sin θ = 11·sin 30° = 5.5 m/s

체공 시간

y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0을 풀어 양의 근을 택합니다.

0 = 50 + 5.5·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (5.5 + √(30.25 + 981))/9.81 = 3.802 s

수평 거리

x = vx·t = 9.526·3.802 = 36.22 m

답

x = 36.22 m
7.일과 에너지

답: d = 113.3 m

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

기본 단위의 속력

v = 120/3.6 = 33.33 m/s

에너지 수지

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 33.33²/(2·0.5·9.81) = 113.3 m

답

d = 113.3 m

속력이 두 배가 되면 정지 거리는 네 배가 됩니다.

8.일과 에너지

답: v = 4.429 m/s

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

거친 구간을 지난 뒤 남은 에너지

경사로는 매끄러우므로 에너지를 빼앗는 것은 거친 구간뿐입니다.

mgh − μmgL = 9.81·(1.5 − 0.1·5) = 9.81 J

스프링에서의 속력

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1) = 4.429 m/s

답

v = 4.429 m/s
9.운동량과 충돌

답: v′1 = 2.4 m/s

운동량 보존: 충돌하는 동안 외력이 작용하지 않으면 충돌 전 전체 운동량 Σm·v는 충돌 후와 같습니다. 속도에는 방향이 있으므로 양의 방향을 정하고 반대 방향 속도에는 음의 부호를 붙이세요. 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존되고, 완전 비탄성 충돌에서는 두 물체가 한 덩어리가 됩니다.

정지한 표적과의 탄성 충돌

운동량 보존과 에너지 보존을 연립해 풀면 이 두 결과가 나옵니다.

v′1 = (3.5 − 1.5)/(3.5 + 1.5)·6 = 2.4 m/s
v′2 = 2·3.5/(3.5 + 1.5)·6 = 8.4 m/s

답

v′1 = 2.4 m/s
10.운동량과 충돌

답: θ = 30.63 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

운동량 성분

px = 1900·8 = 15200 kg·m/s
py = 1000·9 = 9000 kg·m/s

방향

tan θ = py/px = 0.5921 → θ = 30.63°

답

θ = 30.63°
11.정수압

답: F = 29.43 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

yc = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
수문d = 0.5 mH = 2 mF

합력

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.5·2 = 29.43 kN

답

F = 29.43 kN
12.정수압

답: ycp = 2.167 m

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·yc·A. 이 힘은 압력 중심 ycp = yc + Ic/(ycA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
수문d = 1 mH = 2 mF

합력

F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·2·4 = 69.06 kN

압력 중심

압력은 깊이에 따라 커지므로 합력은 도심 아래에 작용합니다.

Ic = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1.333 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2 + 1.333/(2·4) = 2.167 m

답

ycp = 2.167 m
13.연속 방정식과 베르누이

답: p2 = 317.2 kPa

연속 방정식과 베르누이: 비압축성 유체는 모든 단면에서 유량이 같습니다: Q = A₁v₁ = A₂v₂. 손실 없는 유선을 따라 p + ½ρv² + ρgz는 일정하므로, 유체가 빠르거나 높은 곳일수록 압력이 낮습니다.

연속 방정식과 베르누이

Pa로 계산한 뒤 1000으로 나눠 kPa를 얻습니다.

v2 = v1·(d1/d2)² = 1.5·(100/40)² = 9.375 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.5² − 9.375²)/1000 = −42.82 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 360 + (−42.82) = 317.2 kPa

답

p2 = 317.2 kPa
14.연속 방정식과 베르누이

답: p2 = 190.4 kPa

연속 방정식과 베르누이: 비압축성 유체는 모든 단면에서 유량이 같습니다: Q = A₁v₁ = A₂v₂. 손실 없는 유선을 따라 p + ½ρv² + ρgz는 일정하므로, 유체가 빠르거나 높은 곳일수록 압력이 낮습니다.

연속 방정식과 베르누이

Pa로 계산한 뒤 1000으로 나눠 kPa를 얻습니다.

v2 = v1·(d1/d2)² = 0.5·(150/50)² = 4.5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.5² − 4.5²)/1000 = −10 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·2/1000 = 19.62 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 220 + (−10) − 19.62 = 190.4 kPa

답

p2 = 190.4 kPa
15.이상 기체 법칙

답: P = 86.56 kPa

이상 기체 법칙: PV = nRT, n = m/M.

몰수

n = m/M = 30/32 = 0.9375 mol
T = 60 + 273.15 = 333.1 K

압력

P = nRT/V = 0.9375·8.314·333.1/0.03 = 86.56 kPa

답

P = 86.56 kPa
16.이상 기체 법칙

답: ρ = 10.03 kg/m³

이상 기체의 밀도: ρ = PM/(RT).

기체 법칙 정리

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 70 + 273.15 = 343.1 K

밀도

ρ = 650·44.01/(8.314·343.1) = 10.03 kg/m³

답

ρ = 10.03 kg/m³
17.열기관과 냉동기

답: ηmax = 69.61 %

제2법칙의 한계: 절대 온도 TH와 TL인 열원 사이에서 작동하는 어떤 사이클도 가역(카르노) 사이클을 넘을 수 없습니다: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL), COPHP,max = TH/(TH − TL). 에너지는 항상 보존됩니다: QH = W + QL.

절대 온도

TH = 675 + 273.15 = 948.1 K
TL = 15 + 273.15 = 288.1 K

카르노 효율

ηmax = 1 − TL/TH = 1 − 288.1/948.1 = 69.61 %

답

ηmax = 69.61 %
18.열기관과 냉동기

답: Ẇmin = 0.1904 kW

제2법칙의 한계: 절대 온도 TH와 TL인 열원 사이에서 작동하는 어떤 사이클도 가역(카르노) 사이클을 넘을 수 없습니다: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL), COPHP,max = TH/(TH − TL). 에너지는 항상 보존됩니다: QH = W + QL.

절대 온도

TH = 21 + 273.15 = 294.1 K
TL = 7 + 273.15 = 280.1 K

가능한 최고 COP

COPHP,max = TH/(TH − TL) = 294.1/(294.1 − 280.1) = 21.01

최소 동력

COP가 가장 큰 가역 기계가 가장 적은 일을 필요로 합니다.

Ẇmin = Q̇H/COP = 4/21.01 = 0.1904 kW

답

Ẇmin = 0.1904 kW
19.파동, 소리, 광학

답: m = 1.667

기하 광학: 경계에서 n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂(스넬의 법칙)이며, 각은 법선에서 재고 n = c/v입니다. 더 느린 매질로 들어가면 광선은 법선 쪽으로 굽습니다. 밀한 매질(n₁ > n₂)에서 임계각 θc = arcsin(n₂/n₁)을 넘으면 모든 빛이 반사됩니다: 전반사. 얇은 렌즈와 구면 거울은 1/f = 1/do + 1/di를 따르며 배율은 m = −di/do입니다. 부호 규약: 볼록 렌즈와 오목 거울은 f > 0(f = R/2), 오목 렌즈와 볼록 거울은 f < 0이고, 실상은 di > 0, 허상은 di < 0이며, 거꾸로 선 상은 m < 0입니다.

얇은 렌즈 공식

1/di = 1/f − 1/do = 1/20 − 1/8
di = −13.33 cm
FF8 cmf = 20 cm

배율

m = −di/do = −(−13.33)/8 = 1.667

답

m = 1.667
20.파동, 소리, 광학

답: λ = 650 nm

간섭과 회절: 거리 d만큼 떨어진 두 슬릿을 지난 빛은 경로차 d·sin θ를 가지고 스크린의 한 점에 도달합니다. 밝은 무늬는 d·sin θ = mλ(m = 0, ±1, ±2, …)인 곳에 나타납니다. 스크린까지의 거리 L ≫ d이면 m번째 밝은 무늬는 y = mλL/d에 있고 무늬 간격은 Δy = λL/d입니다. 1 mm당 N개의 선이 있는 격자는 d = 1/N이고 d·sin θ = mλ에서 날카로운 극대를 만듭니다. sin θ ≤ 1이므로 가장 높은 차수는 m ≤ d/λ를 만족하는 가장 큰 정수입니다. 폭 a의 단일 슬릿은 a·sin θ = mλ (m = ±1, ±2, …)에서 어두운 무늬를 만듭니다.

파장

λ = y·d/(mL) = 0.026·0.00015/(2·3) = 6.5 × 10⁻⁷ m = 650 nm

답

λ = 650 nm

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