전력공학 및 전기기기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

3상 전력

Y 결선: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 결선: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
전체 유효 전력: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
피상 전력과 무효 전력: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압: Δ: V_L Y: V_L/√3
전동기 입력: P_in = P_out/η

변압기

권수비: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
전류비: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
정격 전류: I = S/V
환산 임피던스: Z₁′ = a²·Z_L
부분 부하에서의 동손: P_cu = x²·P_cu,fl
효율: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
최대 효율: x = √(P_core/P_cu,fl)

교류 전력과 역률

유효 전력: P = V·I·cos φ
무효 전력: Q = V·I·sin φ
피상 전력: S = V·I = √(P² + Q²)
역률: pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

직류 전동기

전기자 회로: V = E + I_aR_a
역기전력과 토크: E = k·ω, T = k·I_a
속력: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
무부하 속도와 정지 토크: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
전력: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
기동: I_start = V/(R_a + R_st)
속도 변동률: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
최대 발생 전력: P_max = V²/(4R_a)
초퍼 구동: V_a = D·V_dc

방법

전기자 회로를 그리세요. 전원 V, 저항 R_a, 역기전력 E가 직렬입니다.
전압, 전류, 역기전력을 V = E + I_a·R_a로 연결하세요.
속도에는 E = k·ω를, 토크에는 T = k·I_a를 쓰세요. ω = 2π·n/60입니다.
전력과 효율은 V·I_a에서 출발해 동손 I_a²·R_a를 빼고, 그다음 회전 손실을 빼세요.

2연습 문제

1.3상 전력보통

3상 유도 전동기가 전부하에서 기계적 출력 18.5 kW를 낸다. 이 부하에서 효율은 94%, 역률은 0.85(지상)이다. 전원의 선간 전압은 400 V이다. 선전류 I_L을(를) 구하시오.

P_out = 18.5 kWη = 94%cos φ = 0.85V_L = 400 V

I_L = A

2.3상 전력어려움

평형 3상 부하가 480 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.65(지상)로 300 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.98(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Δ 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 C_ph을(를) µF 단위로 구하시오.

P = 300 kWpf₁ = 0.65pf₂ = 0.98V_L = 480 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.변압기보통

권수비 N₁:N₂ = 4:1인 이상 변압기의 1차 권선에 480 V가 가해진다. 2차 권선 양단에 20 Ω 저항이 연결되어 있다. 1차 전류 I₁을(를) 구하시오.

N₁:N₂ = 4:1V₁ = 480 VR_L = 20 Ω

I₁ = A

4.변압기어려움

단상 100 kVA 변압기의 철손은 600 W이다. 정격 부하, 역률 0.9(지상)에서 효율은 96.5%이다. 전부하 동손 P_cu,fl을(를) 와트 단위로 구하시오.

S = 100 kVAP_core = 600 Wpf = 0.9η = 96.5%

P_cu,fl = W

5.교류 전력과 역률보통

유도성 부하가 240 V(실효값) 단상 전원에서 10.5 A와 1764 W를 소비한다. 이 부하를 저항 R과 리액턴스 X의 직렬로 모델링한다. R을(를) 구하시오.

V = 240 VI = 10.5 AP = 1764 W

R = Ω

6.교류 전력과 역률어려움

단상 부하가 230 V, 60 Hz 전원에서 지상 역률 0.7로 50 kW를 소비한다. 병렬로 연결한 커패시터가 역률을 0.92(으)로 높인다. 새 선전류 I_new을(를) 구하시오.

P = 50 kWpf₁ = 0.7pf₂ = 0.92V = 230 Vf = 60 Hz

I_new = A

7.교류 임피던스와 페이저보통

저항과 커패시터가 50 V(실효값), 200 Hz 전원에 병렬로 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩC = 100 µF

I = A

8.교류 임피던스와 페이저어려움

저항 R₁이(가) R₂와(과) 커패시터 C의 병렬 조합과 직렬로 연결되어 24 V(실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 크기 |Z|을(를) 구하시오.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR₁ = 40 ΩR₂ = 20 ΩC = 10 µF

|Z| = Ω

9.직류 전동기보통

직류 전동기가 1800 rpm에서 4 kW의 기계적 출력을 냅니다. 축 토크 T을(를) 구하시오.

P = 4 kWn = 1800 rpm

T = N·m

10.직류 전동기어려움

타여자 직류 전동기(전 계자에서 k = 1.2 V·s/rad, R_a = 0.5 Ω, V = 240 V)가 일정한 부하 토크 18 N·m를 구동합니다. 계자 자속을 전체 값의 80 %로 줄입니다. 새 속도 n을(를) 구하시오.

V = 240 Vk = 1.2 V·s/radR_a = 0.5 ΩT = 18 N·mΦ = 80 %

n = rpm

3용액

1.3상 전력

답: I_L = 33.42 A

전기 입력 전력

P_in = P_out/η = 18.5/0.94 = 19.68 kW

선전류

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 19681/(√3·400·0.85) = 33.42 A

답

I_L = 33.42 A

2.3상 전력

답: C_ph = 1335 µF

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, V_L = √3·V_ph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, I_L = √3·I_ph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). 세 커패시터는 각각 Q_C/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 V_L, Y 뱅크에서는 V_L/√3입니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.

Q₁ = 300·tan(acos 0.65) = 300·1.169 = 350.7 kvar

Q₂ = 300·tan(acos 0.98) = 300·0.2031 = 60.92 kvar

커패시터가 공급하는 무효 전력

Q_C = Q₁ − Q₂ = 289.8 kvar

상당 정전 용량

Δ 뱅크에서 각 커패시터는 두 선 사이에 연결됩니다.

V = 480 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 96607/(314.2·480²) = 1335 µF

답

C_ph = 1335 µF

3.변압기

답: I₁ = 1.5 A

이상 변압기: 전압은 권수의 비를, 전류는 그 역비를 따릅니다: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a, I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a이므로 입력 전력과 출력 전력이 같습니다, V₁·I₁ = V₂·I₂. 2차 측의 부하 임피던스 Z는 1차 측에서 보면 a²·Z로 보입니다.

2차 전압과 전류

V₂ = 480/4 = 120 V

I₂ = 120/20 = 6 A

1차 전류

이상 변압기에는 손실이 없습니다: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/4 = 1.5 A

답

I₁ = 1.5 A

확인: 1차 측에서 본 부하는 a²·R_L = 320 Ω이고, 480/320도 같은 전류를 줍니다.

4.변압기

답: P_cu,fl = 2664 W

변압기 손실: 철손(히스테리시스손과 와전류손)은 전압에 따라 정해지며 부하와 관계없이 일정합니다. 권선의 동손은 전류의 제곱에 비례하므로 정격 부하의 x배 부하에서는 x²·P_cu,fl입니다. 효율 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)이고, P_out = x·S·pf입니다. 효율은 동손이 철손과 같아지는 부하에서 최대가 됩니다.

출력 전력과 입력 전력

P_out = 100·0.9 = 90 kW

P_in = 90000/0.965 = 93264 W

전체 손실과 동손

P_loss = 93264 − 90000 = 3264 W

P_cu,fl = 3264 − 600 = 2664 W

답

P_cu,fl = 2664 W

5.교류 전력과 역률

답: R = 16 Ω

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

유효 전력에서 구한 저항

R = P/I² = 1764/10.5² = 16 Ω

답

R = 16 Ω

6.교류 전력과 역률

답: I_new = 236.3 A

보상 전후의 무효 전력

유효 전력 P는 변하지 않고, 전원에서 끌어오는 무효 전력만 변합니다.

Q₁ = P·tan φ₁ = 50·tan(45.57°) = 51.01 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 50·tan(23.07°) = 21.3 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 29.71 kvar

새 선전류

I_new = P/(V·cos φ₂) = 50000/(230·0.92) = 236.3 A

답

I_new = 236.3 A

7.교류 임피던스와 페이저

답: I = 7.113 A

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·200·100·10⁻⁶) = 7.958 Ω

가지 전류

두 가지 모두 전원에 바로 연결되어 있으므로 각각 전체 전압 V를 받습니다.

I_R = V/R = 50/15 = 3.333 A

I_X = V/X_C = 50/7.958 = 6.283 A

전체 전류

저항 전류는 V와 동상이고 리액턴스 전류는 90° 위상차가 있으므로 직각삼각형의 변처럼 더해집니다.

I = √(I_R² + I_X²) = √(3.333² + 6.283²) = 7.113 A

답

I = 7.113 A

8.교류 임피던스와 페이저

답: |Z| = 59 Ω

리액턴스

X_C = 1/(2π·200·10·10⁻⁶) = 79.58 Ω

병렬 조합

분자와 분모에 켤레 복소수를 곱해 Z_p를 실수부와 허수부로 나누세요.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 18.81 − j4.728 Ω

전체 임피던스

Z = 40 + 18.81 − j4.728 = 58.81 − j4.728 Ω

|Z| = √(58.81² + 4.728²) = 59 Ω

답

|Z| = 59 Ω

9.직류 전동기

답: T = 21.22 N·m

직류 전동기: 전기자는 저항 R_a와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + I_a·R_a입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·I_a입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·I_a = T·ω이고, 입력 전력은 V·I_a이며, 그 차이는 동손 I_a²R_a와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − R_a·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/R_a일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/R_a가 큽니다.

rad/s 단위의 속도

ω = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

토크

T = P/ω = 4000/188.5 = 21.22 N·m

답

T = 21.22 N·m

10.직류 전동기

답: n = 2294 rpm

약해진 전동기 상수

k₂ = 0.8·1.2 = 0.96 V·s/rad

새 전기자 전류

I_a = 18/0.96 = 18.75 A

새 속도

ω = (240 − 18.75·0.5)/0.96 = 240.2 rad/s → n = 2294 rpm

답

n = 2294 rpm

계자 약화는 직류 구동 장치가 기저 속도 이상으로 운전하는 방법입니다.

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