3상 전력
- Y 결선
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 결선
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 전체 유효 전력
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 피상 전력과 무효 전력
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 역률 개선용 커패시터
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 각 커패시터에 걸리는 전압
- Δ: VL Y: VL/√3
- 전동기 입력
- Pin = Pout/η
전력공학 및 전기기기: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
변압기
- 권수비
- a = N1/N2 = V1/V2
- 전류비
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 정격 전류
- I = S/V
- 환산 임피던스
- Z1′ = a²·ZL
- 부분 부하에서의 동손
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 효율
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 최대 효율
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
교류 전력과 역률
- 유효 전력
- P = V·I·cos φ
- 무효 전력
- Q = V·I·sin φ
- 피상 전력
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 역률
- pf = cos φ = P/S
- 역률 보상 커패시터
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
교류 임피던스와 페이저
- 임피던스
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 각주파수
- ω = 2πf
- 크기와 위상각
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 페이저 옴의 법칙
- V = I·Z
방법
- 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
- 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
- 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
- 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.
직류 전동기
- 전기자 회로
- V = E + IaRa
- 역기전력과 토크
- E = k·ω, T = k·Ia
- 속력
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 무부하 속도와 정지 토크
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 전력
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 기동
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 속도 변동률
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 최대 발생 전력
- Pmax = V²/(4Ra)
- 초퍼 구동
- Va = D·Vdc
방법
- 전기자 회로를 그리세요. 전원 V, 저항 Ra, 역기전력 E가 직렬입니다.
- 전압, 전류, 역기전력을 V = E + Ia·Ra로 연결하세요.
- 속도에는 E = k·ω를, 토크에는 T = k·Ia를 쓰세요. ω = 2π·n/60입니다.
- 전력과 효율은 V·Ia에서 출발해 동손 Ia²·Ra를 빼고, 그다음 회전 손실을 빼세요.
2연습 문제
1.3상 전력보통
3상 유도 전동기가 전부하에서 기계적 출력 90 kW를 낸다. 이 부하에서 효율은 90%, 역률은 0.86(지상)이다. 전원의 선간 전압은 400 V이다. 선전류 IL을(를) 구하시오.
Pout = 90 kWη = 90%cos φ = 0.86VL = 400 V
IL = A
2.3상 전력어려움
평형 3상 부하가 690 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.8(지상)로 80 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.9(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Δ 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.
P = 80 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.9VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3.변압기보통
출력 저항이 576 Ω인 증폭기가 이상 변압기를 통해 4 Ω 스피커를 구동한다. 최대 전력 전달을 위해 증폭기에서 본 스피커는 576 Ω으로 보여야 한다. 권수비 a = N₁/N₂을(를) 구하시오.
Rs = 576 ΩRL = 4 Ω
a =
4.변압기어려움
단상 75 kVA 변압기의 철손은 300 W이고 정격 부하에서의 동손은 900 W이다. 효율이 최대가 되는 부하 Sη,max은(는) 몇 kVA인가?
S = 75 kVAPcore = 300 WPcu,fl = 900 W
Sη,max = kVA
5.교류 전력과 역률보통
단상 전동기가 400 V 전원에서 지상 역률 0.6로 33 kW를 소비한다. 전동기가 소비하는 무효 전력 Q을(를) 구하시오.
P = 33 kWpf = 0.6V = 400 V
Q = kvar
6.교류 전력과 역률어려움
단상 부하가 400 V, 50 Hz 전원에서 지상 역률 0.65로 9 kW를 소비한다. 47 µF 커패시터를 부하와 병렬로 연결한다. 전원에서 본 새 역률 cos φ을(를) 구하시오.
P = 9 kWpf1 = 0.65V = 400 Vf = 50 HzC = 47 µF
cos φ =
7.교류 임피던스와 페이저보통
저항과 인덕터가 50 V(실효값), 60 Hz 전원에 병렬로 연결되어 있다. 임피던스의 크기 |Z|을(를) 구하시오.
V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 20 ΩL = 50 mH
|Z| = Ω
8.교류 임피던스와 페이저어려움
직렬 RLC 회로를 10 V(실효값) 전원으로 구동하며, 전원 주파수는 회로의 공진 주파수로 맞추어져 있다. 인덕터 양단의 실효 전압 VL을(를) 구하시오.
V = 10 V (rms)R = 50 ΩL = 5 mHC = 0.47 µF
VL = V
9.직류 전동기보통
k = 0.5 V·s/rad인 직류 전동기가 110 V에서 동작합니다. 무부하에서 모든 손실을 무시할 때 무부하 속도 n0을(를) rpm 단위로 구하시오.
V = 110 Vk = 0.5 V·s/rad
n0 = rpm
10.직류 전동기어려움
DC 초퍼가 120 V DC 버스에서 전동기(k = 0.6 V·s/rad, Ra = 1.2 Ω)에 전력을 공급합니다. 평균 전기자 전압은 D·120 V입니다. 부하 3.6 N·m에서 전동기를 500 rpm으로 운전하는 듀티비 D을(를) 구하시오.
Vdc = 120 Vk = 0.6 V·s/radRa = 1.2 ΩT = 3.6 N·mn = 500 rpm
D = %
3용액
1.3상 전력
답: IL = 167.8 A
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
전기 입력 전력
Pin = Pout/η = 90/0.9 = 100 kW
선전류
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 100000/(√3·400·0.86) = 167.8 A
답
IL = 167.8 A
2.3상 전력
답: Cph = 47.37 µF
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.
보상 전후의 무효 전력
유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.
Q1 = 80·tan(acos 0.8) = 80·0.75 = 60 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0.9) = 80·0.4843 = 38.75 kvar
커패시터가 공급하는 무효 전력
QC = Q1 − Q2 = 21.25 kvar
상당 정전 용량
Δ 뱅크에서 각 커패시터는 두 선 사이에 연결됩니다.
V = 690 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 7085/(314.2·690²) = 47.37 µF
답
Cph = 47.37 µF
3.변압기
답: a = 12
이상 변압기: 전압은 권수의 비를, 전류는 그 역비를 따릅니다: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a, I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a이므로 입력 전력과 출력 전력이 같습니다, V₁·I₁ = V₂·I₂. 2차 측의 부하 임피던스 Z는 1차 측에서 보면 a²·Z로 보입니다.
환산 부하 정합
a²·4 = 576
a = √(576/4) = √144 = 12
답
a = 12
4.변압기
답: Sη,max = 43.3 kVA
변압기 손실: 철손(히스테리시스손과 와전류손)은 전압에 따라 정해지며 부하와 관계없이 일정합니다. 권선의 동손은 전류의 제곱에 비례하므로 정격 부하의 x배 부하에서는 x²·Pcu,fl입니다. 효율 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)이고, Pout = x·S·pf입니다. 효율은 동손이 철손과 같아지는 부하에서 최대가 됩니다.
동손 = 철손
x²·900 = 300 → x = √(300/900) = 0.5774
최대 효율에서의 부하
Sη,max = x·S = 0.5774·75 = 43.3 kVA
답
Sη,max = 43.3 kVA
5.교류 전력과 역률
답: Q = 44 kvar
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
위상각
φ = arccos(0.6) = 53.13°, tan φ = 1.333
무효 전력
Q = P·tan φ = 33·1.333 = 44 kvar
답
Q = 44 kvar
6.교류 전력과 역률
답: cos φ = 0.7408
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
보상 전후의 무효 전력
유효 전력 P는 변하지 않고, 전원에서 끌어오는 무효 전력만 변합니다.
Q1 = 9·tan(arccos 0.65) = 10.52 kvar
QC = V²·2πf·C = 400²·2π·50·47·10⁻⁶ = 2362 var = 2.362 kvar
Q2 = 10.52 − 2.362 = 8.16 kvar
새 피상 전력
S2 = √(9² + 8.16²) = 12.15 kVA
새 역률
cos φ = P/S2 = 9/12.15 = 0.7408
답
cos φ = 0.7408
7.교류 임피던스와 페이저
답: |Z| = 13.72 Ω
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
리액턴스
XL = ωL = 2π·60·0.05 = 18.85 Ω
가지 전류
두 가지 모두 전원에 바로 연결되어 있으므로 각각 전체 전압 V를 받습니다.
IR = V/R = 50/20 = 2.5 A
IX = V/XL = 50/18.85 = 2.653 A
전체 전류
저항 전류는 V와 동상이고 리액턴스 전류는 90° 위상차가 있으므로 직각삼각형의 변처럼 더해집니다.
I = √(IR² + IX²) = √(2.5² + 2.653²) = 3.645 A
임피던스
|Z| = V/I = 50/3.645 = 13.72 Ω
답
|Z| = 13.72 Ω
8.교류 임피던스와 페이저
답: VL = 20.63 V
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
공진
공진에서는 리액턴스가 상쇄되므로 임피던스는 R뿐입니다.
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.005·0.47·10⁻⁶) = 20628 rad/s
I = V/R = 10/50 = 0.2 A
인덕터 양단의 전압
XL = ω₀L = 20628·0.005 = 103.1 Ω
VL = I·XL = 0.2·103.1 = 20.63 V
답
VL = 20.63 V
이는 전원 전압의 Q = 2.063배입니다.
9.직류 전동기
답: n0 = 2101 rpm
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
무부하 속도
ω₀ = V/k = 110/0.5 = 220 rad/s
n0 = 60·220/(2π) = 2101 rpm
답
n0 = 2101 rpm
10.직류 전동기
답: D = 32.18 %
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
필요한 전기자 전압
Va = 0.6·52.36 + 6·1.2 = 38.62 V
듀티비
D = 38.62/120 = 32.18 %
답
D = 32.18 %
ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems