전력공학 및 전기기기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

3상 전력

Y 결선
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 결선
VL = Vph, IL = √3·Iph
전체 유효 전력
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
피상 전력과 무효 전력
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압
Δ: VL Y: VL/√3
전동기 입력
Pin = Pout/η

변압기

권수비
a = N1/N2 = V1/V2
전류비
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
정격 전류
I = S/V
환산 임피던스
Z1′ = a²·ZL
부분 부하에서의 동손
Pcu = x²·Pcu,fl
효율
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
최대 효율
x = √(Pcore/Pcu,fl)

교류 전력과 역률

유효 전력
P = V·I·cos φ
무효 전력
Q = V·I·sin φ
피상 전력
S = V·I = √(P² + Q²)
역률
pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

교류 임피던스와 페이저

임피던스
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
각주파수
ω = 2πf
크기와 위상각
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙
V = I·Z

방법

  1. 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
  2. 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
  3. 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
  4. 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

직류 전동기

전기자 회로
V = E + IaRa
역기전력과 토크
E = k·ω, T = k·Ia
속력
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
무부하 속도와 정지 토크
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
전력
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
기동
Istart = V/(Ra + Rst)
속도 변동률
SR = (n0 − nFL)/nFL
최대 발생 전력
Pmax = V²/(4Ra)
초퍼 구동
Va = D·Vdc

방법

  1. 전기자 회로를 그리세요. 전원 V, 저항 Ra, 역기전력 E가 직렬입니다.
  2. 전압, 전류, 역기전력을 V = E + Ia·Ra로 연결하세요.
  3. 속도에는 E = k·ω를, 토크에는 T = k·Ia를 쓰세요. ω = 2π·n/60입니다.
  4. 전력과 효율은 V·Ia에서 출발해 동손 Ia²·Ra를 빼고, 그다음 회전 손실을 빼세요.

2연습 문제

1.3상 전력보통
ABCVL​ = 480 VIL​ = ?M75 kW, η = 90%cos φ = 0.8

3상 유도 전동기가 전부하에서 기계적 출력 75 kW를 낸다. 이 부하에서 효율은 90%, 역률은 0.8(지상)이다. 전원의 선간 전압은 480 V이다. 선전류 IL을(를) 구하시오.

Pout = 75 kWη = 90%cos φ = 0.8VL = 480 V
IL = A
2.3상 전력어려움
P = 100 kWφ1​S1​Q2​QC​

평형 3상 부하가 690 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.8(지상)로 100 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.95(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Y 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.

P = 100 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.95VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3.변압기보통
5 Ω101

권수비 N₁:N₂ = 10:1인 이상 변압기의 2차 권선 양단에 5 Ω 저항이 연결되어 있다. 1차 권선 쪽에서 들여다본 저항 R1′을(를) 구하시오.

N1:N2 = 10:1RL = 5 Ω
R1′ = Ω
4.변압기어려움
250 kVA

단상 250 kVA 변압기의 철손은 1000 W이고 정격 부하에서의 동손은 3000 W이다. 효율이 최대가 되는 부하 Sη,max은(는) 몇 kVA인가?

S = 250 kVAPcore = 1000 WPcu,fl = 3000 W
Sη,max = kVA
5.교류 전력과 역률보통
P = 32 kWQ = ?Sφ

단상 전동기가 240 V 전원에서 지상 역률 0.8로 32 kW를 소비한다. 전동기가 소비하는 무효 전력 Q을(를) 구하시오.

P = 32 kWpf = 0.8V = 240 V
Q = kvar
6.교류 전력과 역률어려움
P = 40 kWQ1​S1​φ1​QC​

단상 부하가 240 V, 50 Hz 전원에서 지상 역률 0.75로 40 kW를 소비한다. 병렬로 연결한 커패시터가 역률을 0.92(으)로 높인다. 새 선전류 Inew을(를) 구하시오.

P = 40 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.92V = 240 Vf = 50 Hz
Inew = A
7.교류 임피던스와 페이저보통
Vf0​ = 500 HzRL = 10 mHC = ?

L = 10 mH인 직렬 RLC 회로가 500 Hz에서 공진해야 한다. 필요한 커패시턴스 C을(를) 구하시오.

f0 = 500 HzL = 10 mH
C = µF
8.교류 임피던스와 페이저어려움
24 V500 HzR = 10 ΩL = 150 mHC = 1 µF+−VC​

직렬 RLC 회로가 24 V (실효값), 500 Hz 전원에 연결되어 있다. 커패시터 양단 실효 전압 VC을(를) 구하시오.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 10 ΩL = 150 mHC = 1 µF
VC = V
9.직류 전동기보통
T (N·m)n (rpm)n0​ = ?

k = 0.15 V·s/rad인 직류 전동기가 24 V에서 동작합니다. 무부하에서 모든 손실을 무시할 때 무부하 속도 n0을(를) rpm 단위로 구하시오.

V = 24 Vk = 0.15 V·s/rad
n0 = rpm
10.직류 전동기어려움
+−220 VRst​ = ?Ra​ = 1.5 Ω25 AM+−E = 0n = 0T

220 V 직류 전동기의 전기자 저항이 1.5 Ω입니다. 기동 전류를 25 A로 제한하는 직렬 기동 저항 Rst을(를) 구하시오.

V = 220 VRa = 1.5 ΩImax = 25 A
Rst = Ω

3용액

1.3상 전력

답: IL = 125.3 A

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

전기 입력 전력

Pin = Pout/η = 75/0.9 = 83.33 kW

선전류

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 83333/(√3·480·0.8) = 125.3 A

답

IL = 125.3 A
2.3상 전력

답: Cph = 281.7 µF

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.

Q1 = 100·tan(acos 0.8) = 100·0.75 = 75 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0.95) = 100·0.3287 = 32.87 kvar

커패시터가 공급하는 무효 전력

QC = Q1 − Q2 = 42.13 kvar

상당 정전 용량

Y 뱅크에서 각 커패시터는 선과 중성점 사이에 연결됩니다.

V = 690/√3 = 398.4 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 14044/(314.2·398.4²) = 281.7 µF

답

Cph = 281.7 µF
3.변압기

답: R1′ = 500 Ω

이상 변압기: 전압은 권수의 비를, 전류는 그 역비를 따릅니다: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a, I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a이므로 입력 전력과 출력 전력이 같습니다, V₁·I₁ = V₂·I₂. 2차 측의 부하 임피던스 Z는 1차 측에서 보면 a²·Z로 보입니다.

환산 저항

전압은 a배 커지고 전류는 a배 작아지므로 V/I의 비는 a²배 커집니다.

R1′ = a²·RL = 10²·5 = 500 Ω

답

R1′ = 500 Ω
4.변압기

답: Sη,max = 144.3 kVA

변압기 손실: 철손(히스테리시스손과 와전류손)은 전압에 따라 정해지며 부하와 관계없이 일정합니다. 권선의 동손은 전류의 제곱에 비례하므로 정격 부하의 x배 부하에서는 x²·Pcu,fl입니다. 효율 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)이고, Pout = x·S·pf입니다. 효율은 동손이 철손과 같아지는 부하에서 최대가 됩니다.

동손 = 철손

x²·3000 = 1000 → x = √(1000/3000) = 0.5774

최대 효율에서의 부하

Sη,max = x·S = 0.5774·250 = 144.3 kVA

답

Sη,max = 144.3 kVA
5.교류 전력과 역률

답: Q = 24 kvar

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

위상각

φ = arccos(0.8) = 36.87°, tan φ = 0.75

무효 전력

Q = P·tan φ = 32·0.75 = 24 kvar

답

Q = 24 kvar
6.교류 전력과 역률

답: Inew = 181.2 A

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력 P는 변하지 않고, 전원에서 끌어오는 무효 전력만 변합니다.

Q1 = P·tan φ1 = 40·tan(41.41°) = 35.28 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 40·tan(23.07°) = 17.04 kvar
QC = Q1 − Q2 = 18.24 kvar

새 선전류

Inew = P/(V·cos φ2) = 40000/(240·0.92) = 181.2 A

답

Inew = 181.2 A
7.교류 임피던스와 페이저

답: C = 10.13 µF

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

공진 조건

공진에서는 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 상쇄됩니다: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(3142²·0.01) = 10.13 µF

답

C = 10.13 µF
8.교류 임피던스와 페이저

답: VC = 49.85 V

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.15 = 471.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318.3 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(10² + (152.9)²) = 153.3 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 24/153.3 = 0.1566 A

커패시터 전압

VC = I·XC = 0.1566·318.3 = 49.85 V

답

VC = 49.85 V
9.직류 전동기

답: n0 = 1528 rpm

직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.

무부하 속도

ω₀ = V/k = 24/0.15 = 160 rad/s
n0 = 60·160/(2π) = 1528 rpm

답

n0 = 1528 rpm
10.직류 전동기

답: Rst = 7.3 Ω

직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.

전체 저항

Ra + Rst = 220/25 = 8.8 Ω

기동 저항기

Rst = 8.8 − 1.5 = 7.3 Ω

답

Rst = 7.3 Ω

전동기 속도가 올라가 역기전력이 커짐에 따라 저항기는 단계적으로 제거됩니다.

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