심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

조건마다 다른 참가자를 사용하는 설계는 무엇입니까?

A같은 사람을 쓰는 짝짓기 설계
B피험자 내 설계
C독립집단 설계
D반복측정 설계

2.심리학 연구 방법어려움

코헨의 d 같은 효과 크기를 보고하는 이유는 무엇입니까?

A어떤 가설도 필요 없게 만들기 때문
B선택한 알파 수준에서 결과가 통계적으로 유의한지 보여 주기 때문
C표본 크기와 관계없이 효과가 얼마나 큰지 보여 주기 때문
D몇 명의 참가자가 탈락했는지 알려 주기 때문

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 27, 58, 37, 17, 43.

n = 5

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 170, 표준편차 8인 정규분포를 따릅니다. 182보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 170σ = 8x = 182

P =

5.확률보통

15명 중에서 5명으로 된 위원회를 뽑는 방법 N은 몇 가지일까요? 순서는 상관없습니다.

n = 15k = 5

N =

6.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 7개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.4로 맞힙니다. 정확히 1개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 7p = 0.4k = 1

P =

7.정규분포보통

X는 평균 120 mm, 표준편차 0.3 mm인 정규분포를 따르고, Y는 독립이며 평균 80 mm, 표준편차 0.4 mm인 정규분포를 따릅니다. X + Y가 200.5 mm보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 120, σ_X = 0.3μ_Y = 80, σ_Y = 0.4X + Y > 200.5 mm

P =

8.정규분포어려움

시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 하위 25%가 왼쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 65 점σ = 10 점25%

x = 점

9.신뢰구간보통

항목 15개의 표본 평균은 52.5, 표준편차는 s = 14.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 15x̄ = 52.5s = 14.590%t(14) = 1.761

하한 =

10.신뢰구간어려움

모표준편차는 11입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 4 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 11E = 495%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

두 교수법을 비교한다. 집단 1: 학생 10명, 평균 점수 21.5, 표준 편차 11. 집단 2: 학생 6명, 평균 점수 16.8, 표준 편차 8.5. 모집단 분산이 같다고 가정하고 합동 이표본 t 검정을 쓴다. 차이를 x̄₁ − x̄₂(집단 1 빼기 집단 2)로 하여 H₀: μ₁ = μ₂에 대한 검정 통계량 t을(를) 구하시오.

n₁ = 10x̄₁ = 21.5s₁ = 11n₂ = 6x̄₂ = 16.8s₂ = 8.5

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

H₀: μ = 50 대 H₁: μ < 50의 단측 z 검정을 표본 크기 64, α = 0.01에서 실시한다. 표준 편차는 12로 알려져 있다. 실제 평균은 44.9이다. 검정력 1 − β을(를) 퍼센트로 구하시오.

μ₀ = 50μ = 44.9σ = 12n = 64α = 0.01

1 − β = %

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (5.5, 56)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 6(5.5, 56)

e =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1402 × 3

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

카이제곱 적합도 검정으로 5개 범주의 관측 도수를 완전히 지정된 기대 비율과 비교합니다(자료에서 추정한 모수 없음). 표를 이용해 유의수준 α = 0.05에서 임곗값 χ²_crit을(를) 구하세요.

α = 0.05

χ²_crit =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: C · 독립집단 설계

이것이 답인 이유

독립집단 설계에서는 조건마다 참가자가 다르므로 순서 효과는 피하지만 참가자 변수의 위험이 있습니다.

답

C · 독립집단 설계

2.심리학 연구 방법

답: C · 표본 크기와 관계없이 효과가 얼마나 큰지 보여 주기 때문

이것이 답인 이유

표본이 크면 아주 작은 효과도 유의할 수 있습니다. 효과 크기는 차이의 크기를 나타내며, 예를 들어 d = 0.2는 작음, 0.5는 중간, 0.8은 큼입니다.

답

C · 표본 크기와 관계없이 효과가 얼마나 큰지 보여 주기 때문

3.기술통계

답: s = 15.61

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 182/5 = 36.4

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−9.4)² + 21.6² + 0.6² + (−19.4)² + 6.6² = 975.2

표준편차

s = √(975.2/4) = 15.61

답

s = 15.61

4.기술통계

답: P = 0.9332

표준화하기

z = 1.5

표준정규분포표

Φ(1.5) = 0.9332

P = 0.9332

답

P = 0.9332

5.확률

답: N = 3003

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

조합

C(15, 5) = (15·14·13·12·11)/(5·4·3·2·1) = 3003

답

N = 3003

6.확률

답: P = 0.1306

이항분포 공식

P(X = 1) = 7·0.4¹·0.6⁶ = 7·0.4·0.04666 = 0.1306

답

P = 0.1306

7.정규분포

답: P = 0.1587

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합의 분포

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

표준화하기

z = (200.5 − 200)/0.5 = 1

위쪽 꼬리

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587

답

P = 0.1587

8.정규분포

답: x = 58.3 점

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.25

표에서 구한 z

z ≈ −0.67

원래 단위로 되돌리기

x = 65 − 0.67·10 = 58.3 점

답

x = 58.3 점

9.신뢰구간

답: 하한 = 45.91

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 14, t = 1.761

오차 한계

E = 1.761·14.5/√15 = 6.593

구간

52.5 ± 6.593 → [45.91, 59.09]

답

하한 = 45.91

10.신뢰구간

답: n = 30

n에 대해 풀기

n = (1.96·11/4)² = 29.05

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 30

답

n = 30

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 0.8942

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

합동 분산

s_p² = (9·11² + 5·8.5²)/14 = 103.6

s_p = 10.18

표준오차

SE = 10.18·√(1/10 + 1/6) = 5.256

검정통계량

t = (21.5 − 16.8)/5.256 = 0.8942

답

t = 0.8942

df = 14에서 양측 5% 임곗값은 2.145입니다. |t|가 더 작으므로 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: 1 − β = 85.86 %

검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

임계 표본 평균

SE = 12/√64 = 1.5

x̄_c = 50 − 2.326·1.5 = 46.51

참 평균에서의 z

z = (46.51 − 44.9)/1.5 = 1.074

전력

검정력 = P(Z < 1.074) = 85.86%

1 − β = 85.86%

답

1 − β = 85.86%

13.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9692

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 369/5 = 73.8

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 69

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 506.8

상관계수

r = 69/√(10·506.8) = 0.9692

답

r = 0.9692

14.선형 회귀와 상관

답: e = 3.167

평균

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 317/6 = 52.83

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 97.5

회귀직선

b = 97.5/17.5 = 5.571

a = 52.83 − 5.571·5.5 = 22.19

ŷ = 22.19 + 5.571·x

예측값

ŷ = 22.19 + 5.571·5.5 = 52.83

잔차

e = 56 − 52.83 = 3.167

답

e = 3.167

점이 직선 위쪽에 있습니다.

15.카이제곱 검정

답: χ² = 4.44

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

도시: 80·21/140 = 12, 80·56/140 = 32, 80·63/140 = 36

농촌: 60·21/140 = 9, 60·56/140 = 24, 60·63/140 = 27

카이제곱 통계량

χ² = (13 − 12)²/12 + (26 − 32)²/32 + (41 − 36)²/36 + (8 − 9)²/9 + (30 − 24)²/24 + (22 − 27)²/27

χ² = 4.44

답

χ² = 4.44

df = 2. α = 0.05에서 임곗값은 5.991이므로 H₀(독립)은 기각되지 않습니다.

16.카이제곱 검정

답: χ²_crit = 9.488

자유도

df = 5 − 1 = 4

표

χ²_crit(df = 4, α = 0.05) = 9.488

답

χ²_crit = 9.488

계산한 χ²이 이 값보다 크면 H₀을 기각합니다.

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