심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

어떤 연구가 사전 등록(preregistered)되었습니다. 이것은 무엇을 뜻합니까?

A가설, 방법, 분석 계획이 자료 수집 전에 공개적으로 기록되었다
B연구가 이미 발표되었다
C결과가 출판 전에 독립된 두 번째 통계학자의 점검과 승인을 받았다
D참가자가 온라인으로 동의를 등록했다

2.심리학 연구 방법어려움

연구자가 새 교수법이 더 좋은 성적을 일으키는지 검정하려 하지만 학생을 무선화할 수 없습니다. 이 상황에서 가장 강한 인과적 증거를 주는 설계는 무엇입니까?

A수업 후 새 방법을 사용한 학급만 측정하는 것
B성적과 학생들이 교사를 얼마나 좋아하는지의 상관을 구하는 것
C비교집단과 함께 사전·사후에 측정한 짝지은 학급을 비교하는 것
D학생들에게 그 방법이 효과가 있었다고 생각하는지 묻는 것

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 38, 28, 24, 22, 59, 20, 58.

n = 7

s =

4.기술통계어려움

시험 점수는 평균 50, 표준편차 8인 정규분포를 따릅니다. 34점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 50σ = 8x = 34

z =

5.확률보통

공정한 주사위를 3번 던집니다. 6이 적어도 한 번 나올 확률 P는 얼마일까요?

n = 3

P =

6.확률어려움

부품 9개를 시험하며, 각 부품은 독립적으로 확률 0.1로 고장 납니다. 고장이 많아야 하나일 확률 P는 얼마일까요?

n = 9p = 0.1

P =

7.정규분포보통

성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 167.85에서 186.4 cm 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 178σ = 7x₁ = 167.85x₂ = 186.4

P =

8.정규분포어려움

주자 A의 한 바퀴 시간 X와 주자 B의 한 바퀴 시간 Y은(는) 독립이며 정규분포를 따릅니다. X는 평균 52 s, 표준편차 4 s이고 Y는 평균 48 s, 표준편차 3 s입니다. X가 Y보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.신뢰구간보통

두 휴대전화 모델의 배터리 수명을 비교한다. 모델 1: 휴대전화 60대, 평균 85 h, 알려진 표준 편차 17 h. 모델 2: 휴대전화 50대, 평균 90.5 h, 알려진 표준 편차 5 h. μ₁ − μ₂에 대한 90% 신뢰구간의 하한을 구하시오.

n₁ = 60x̄₁ = 85 hσ₁ = 17 hn₂ = 50x̄₂ = 90.5 hσ₂ = 5 h90%

하한 = h

10.신뢰구간어려움

두 비료를 시험한다. 구획 집단 1: 9개 구획, 평균 수확량 82.5 kg, 표준 편차 2.5 kg. 구획 집단 2: 12개 구획, 평균 85 kg, 표준 편차 2 kg. 분산이 같다고 가정한다(합동 t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂에 대한 95% 신뢰구간의 상한을 구하시오.

n₁ = 9x̄₁ = 82.5s₁ = 2.5n₂ = 12x̄₂ = 85s₂ = 295%t(19) = 2.093

상한 = kg

11.가설 검정과 신뢰구간보통

두 생산 라인이 같은 부품을 만든다. 라인 1: 부품 30개 표본의 평균 길이는 40 mm이고, 라인의 알려진 표준 편차는 15 mm이다. 라인 2: 부품 80개 표본의 평균은 48 mm, 알려진 표준 편차는 4 mm이다. 차이를 x̄₁ − x̄₂(라인 1 빼기 라인 2)로 하여 H₀: μ₁ = μ₂에 대한 검정 통계량 z을(를) 구하시오.

n₁ = 30x̄₁ = 40 mmσ₁ = 15 mmn₂ = 80x̄₂ = 48 mmσ₂ = 4 mm

z =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

H₀: μ = 80 대 H₁: μ < 80의 단측 z 검정을 표본 크기 100, α = 0.01에서 실시한다. 표준 편차는 10로 알려져 있다. 실제 평균은 76.2이다. 검정력 1 − β을(를) 퍼센트로 구하시오.

μ₀ = 80μ = 76.2σ = 10n = 100α = 0.01

1 − β = %

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6Σx = 135Σy = 635Σx² = 3195Σy² = 71599Σxy = 15111

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 9일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 6x = 9

ŷ =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1202 × 3

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.01에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 2203 × 2α = 0.01

χ² =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: A · 가설, 방법, 분석 계획이 자료 수집 전에 공개적으로 기록되었다

이것이 답인 이유

사전 등록은 확증적 분석과 탐색적 분석을 구분하고 p-해킹과 HARKing 같은 관행을 줄입니다.

답

A · 가설, 방법, 분석 계획이 자료 수집 전에 공개적으로 기록되었다

2.심리학 연구 방법

답: C · 비교집단과 함께 사전·사후에 측정한 짝지은 학급을 비교하는 것

이것이 답인 이유

비동등 집단 사전–사후 설계는 초기 차이와 시간에 따른 변화를 통제하지만, 무선화 실험보다는 약합니다.

답

C · 비교집단과 함께 사전·사후에 측정한 짝지은 학급을 비교하는 것

3.기술통계

답: s = 16.71

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 249/7 = 35.57

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 2.429² + (−7.571)² + (−11.57)² + (−13.57)² + 23.43² + (−15.57)² + 22.43² = 1676

표준편차

s = √(1676/6) = 16.71

답

s = 16.71

4.기술통계

답: z = −2

표준화하기

z = (34 − 50)/8 = −2

답

z = −2

5.확률

답: P = 0.4213

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

여사건

P(6이 안 나옴) = (5/6)³ = 0.5787

P = 1 − 0.5787 = 0.4213

답

P = 0.4213

6.확률

답: P = 0.7748

고장 0개와 1개

P(X = 0) = 0.9⁹ = 0.3874

P(X = 1) = 9·0.1·0.9⁸ = 0.3874

더하기

P = 0.3874 + 0.3874 = 0.7748

답

P = 0.7748

7.정규분포

답: P = 0.8114

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (167.85 − 178)/7 = −1.45

z₂ = (186.4 − 178)/7 = 1.2

사이의 넓이

P = Φ(1.2) − Φ(−1.45) = 0.8849 − 0.07353 = 0.8114

답

P = 0.8114

8.정규분포

답: P = 0.7881

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

차의 분포

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

표준화하기

z = (0 − 4)/5 = −0.8

확률

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

답

P = 0.7881

9.신뢰구간

답: 하한 = −9.293 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

점추정값

x̄₁ − x̄₂ = 85 − 90.5 = −5.5

표준오차

SE = √(17²/60 + 5²/50) = 2.306

오차 한계

E = 1.645·2.306 = 3.793

구간

−5.5 ± 3.793 → [−9.293, −1.707]

답

하한 = −9.293 h

구간이 0을 포함하지 않으므로 두 평균은 유의하게 다릅니다.

10.신뢰구간

답: 상한 = −0.4472 kg

합동 표준 편차

s_p² = (8·2.5² + 11·2²)/19 = 4.947

s_p = 2.224

오차 한계

E = 2.093·2.224·√(1/9 + 1/12) = 2.053

구간

−2.5 ± 2.053 → [−4.553, −0.4472]

답

상한 = −0.4472 kg

11.가설 검정과 신뢰구간

답: z = −2.883

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

차의 표준 오차

SE = √(15²/30 + 4²/80) = √7.7 = 2.775

검정통계량

z = (40 − 48)/2.775 = −2.883

답

z = −2.883

|z| > 1.96이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: 1 − β = 92.98 %

검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

임계 표본 평균

SE = 10/√100 = 1

x̄_c = 80 − 2.326·1 = 77.67

참 평균에서의 z

z = (77.67 − 76.2)/1 = 1.474

전력

검정력 = P(Z < 1.474) = 92.98%

1 − β = 92.98%

답

1 − β = 92.98%

13.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9898

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 15111 − 135·635/6 = 823.5

S_xx = 3195 − 135²/6 = 157.5

S_yy = 71599 − 635²/6 = 4395

상관계수

r = 823.5/√(157.5·4395) = 0.9898

답

r = 0.9898

14.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 59.12

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 328/6 = 54.67

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 156

회귀직선

b = 156/70 = 2.229

a = 54.67 − 2.229·7 = 39.07

ŷ = 39.07 + 2.229·x

예측

ŷ = 39.07 + 2.229·9 = 59.12

답

ŷ = 59.12

15.카이제곱 검정

답: χ² = 3.556

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

도시: 60·36/120 = 18, 60·36/120 = 18, 60·48/120 = 24

농촌: 60·36/120 = 18, 60·36/120 = 18, 60·48/120 = 24

카이제곱 통계량

χ² = (14 − 18)²/18 + (22 − 18)²/18 + (24 − 24)²/24 + (22 − 18)²/18 + (14 − 18)²/18 + (24 − 24)²/24

χ² = 3.556

답

χ² = 3.556

df = 2. α = 0.05에서 임곗값은 5.991이므로 H₀(독립)은 기각되지 않습니다.

16.카이제곱 검정

답: χ² = 21.09

기대 도수

1라인: 48, 32

2라인: 24, 16

3라인: 60, 40

카이제곱 통계량

χ² = (63 − 48)²/48 + (17 − 32)²/32 + (24 − 24)²/24 + (16 − 16)²/16 + (45 − 60)²/60 + (55 − 40)²/40

χ² = 21.09

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 9.210

21.09 > 9.210

답

χ² = 21.09

χ²이 임곗값보다 크므로 H₀을 기각합니다. 두 변수는 관련이 있는 것으로 보입니다.

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