심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

p값이 0.03이라는 것은 무엇을 뜻합니까?

A영가설이 참이라면 이만큼 극단적인 자료가 약 3%의 확률로 나타난다
B관찰된 자료가 주어졌을 때 영가설이 참일 확률이 3%에 불과하다
C효과가 크다
D결과가 97%의 확률로 재현된다

2.심리학 연구 방법어려움

"지능" 검사가 주로 사람들이 얼마나 빨리 타자를 치는지 측정합니다. 가장 분명히 부족한 타당도 유형은 무엇입니까?

A평정자 간 신뢰도
B구성 타당도
C내적 일관성
D검사–재검사 신뢰도

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 48, 17, 11, 49, 56, 46, 14.

n = 7

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 60, 표준편차 12인 정규분포를 따릅니다. 84보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 60σ = 12x = 84

P =

5.확률보통

공정한 주사위를 6번 던집니다. 6이 적어도 한 번 나올 확률 P는 얼마일까요?

n = 6

P =

6.확률어려움

X의 분포가 표와 같고 Y = 5X + 20입니다. Y의 표준편차 σ_Y을(를) 구하시오.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.35, 0.35, 0.05, 0.25Y = 5X + 20

σ_Y =

7.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 −z와 z 사이의 색칠한 넓이가 0.3473이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.3473

z =

8.정규분포어려움

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 상위 10%가 오른쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 100 점σ = 15 점10%

x = 점

9.신뢰구간보통

항목 10개의 표본 평균은 20, 표준편차는 s = 4.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 10x̄ = 20s = 4.599%t(9) = 3.25

하한 =

10.신뢰구간어려움

모표준편차는 10입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 1 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 10E = 190%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 16명 표본의 평균 점수는 97.25, 표본 표준편차는 5입니다. H₀: μ = 100에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 100x̄ = 97.25s = 5n = 16

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 16개의 표본 평균은 72.8입니다. 모표준편차는 5입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 상한 U를 구하세요.

x̄ = 72.8σ = 5n = 1695%

U =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6Σx = 21Σy = 109Σx² = 91Σy² = 2083Σxy = 341

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (24.5, 83)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 5(24.5, 83)

e =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1602 × 2

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

행 2개, 열 4개(합계 제외)인 분할표로 카이제곱 독립성 검정을 합니다. 표를 이용해 유의수준 α = 0.01에서 임곗값 χ²_crit을(를) 구하세요.

α = 0.01

χ²_crit =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: A · 영가설이 참이라면 이만큼 극단적인 자료가 약 3%의 확률로 나타난다

이것이 답인 이유

p값은 영가설이 참일 때 관찰된 것만큼 또는 그보다 극단적인 결과가 나올 확률입니다. 가설이 참일 확률이나 효과의 크기를 알려 주지 않습니다.

답

A · 영가설이 참이라면 이만큼 극단적인 자료가 약 3%의 확률로 나타난다

2.심리학 연구 방법

답: B · 구성 타당도

이것이 답인 이유

구성 타당도는 측정이 기저의 구성개념을 실제로 반영하는지입니다. 검사는 엉뚱한 것을 측정하면서도 신뢰로울 수 있습니다.

답

B · 구성 타당도

3.기술통계

답: s = 19.43

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 241/7 = 34.43

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 13.57² + (−17.43)² + (−23.43)² + 14.57² + 21.57² + 11.57² + (−20.43)² = 2266

표준편차

s = √(2266/6) = 19.43

답

s = 19.43

4.기술통계

답: P = 0.02275

표준화하기

z = 2

표준정규분포표

Φ(2) = 0.9772

P = 1 − 0.9772 = 0.02275

답

P = 0.02275

5.확률

답: P = 0.6651

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

여사건

P(6이 안 나옴) = (5/6)⁶ = 0.3349

P = 1 − 0.3349 = 0.6651

답

P = 0.6651

6.확률

답: σ_Y = 58.31

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

X의 퍼짐

μ = 22, Var(X) = 136, σ_X = 11.66

일차 변환

σ_Y = |5|·11.66 = 58.31

답

σ_Y = 58.31

평균은 실제로 이동합니다: E(Y) = 5·22 + 20 = 130.

7.정규분포

답: z = 0.45

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = (1 + 0.3473)/2 = 0.6736

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.6736을 찾아 z를 읽으세요.

z = 0.45

답

z = 0.45

8.정규분포

답: x = 119.2 점

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.9

표에서 구한 z

z ≈ 1.28

원래 단위로 되돌리기

x = 100 + 1.28·15 = 119.2 점

답

x = 119.2 점

9.신뢰구간

답: 하한 = 15.38

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 9, t = 3.25

오차 한계

E = 3.25·4.5/√10 = 4.625

구간

20 ± 4.625 → [15.38, 24.62]

답

하한 = 15.38

10.신뢰구간

답: n = 271

n에 대해 풀기

n = (1.645·10/1)² = 270.6

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 271

답

n = 271

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −2.2

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 5/√16 = 5/4 = 1.25

검정통계량

t = (97.25 − 100)/1.25 = −2.2

답

t = −2.2

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| > 2.131이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: U = 75.25

오차 한계

E = 1.96·5/√16 = 2.45

구간 끝값

U = 72.8 + 2.45 = 75.25

답

U = 75.25

13.선형 회귀와 상관

답: r = −0.9547

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 341 − 21·109/6 = −40.5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17.5

S_yy = 2083 − 109²/6 = 102.8

상관계수

r = −40.5/√(17.5·102.8) = −0.9547

답

r = −0.9547

14.선형 회귀와 상관

답: e = −1.9

평균

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 348/5 = 69.6

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 306

회귀직선

b = 306/90 = 3.4

a = 69.6 − 3.4·20 = 1.6

ŷ = 1.6 + 3.4·x

예측값

ŷ = 1.6 + 3.4·24.5 = 84.9

잔차

e = 83 − 84.9 = −1.9

답

e = −1.9

점이 직선 아래쪽에 있습니다.

15.카이제곱 검정

답: χ² = 3.175

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

남성: 60·48/160 = 18, 60·112/160 = 42

여성: 100·48/160 = 30, 100·112/160 = 70

카이제곱 통계량

χ² = (23 − 18)²/18 + (37 − 42)²/42 + (25 − 30)²/30 + (75 − 70)²/70

χ² = 3.175

답

χ² = 3.175

df = 1. α = 0.05에서 임곗값은 3.841이므로 H₀(독립)은 기각되지 않습니다.

16.카이제곱 검정

답: χ²_crit = 11.35

자유도

df = (2 − 1)·(4 − 1) = 3

표

χ²_crit(df = 3, α = 0.01) = 11.345

답

χ²_crit = 11.345

계산한 χ²이 이 값보다 크면 H₀을 기각합니다.

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