심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

관찰 연구에서 사건 표집이란 무엇입니까?

A참가자를 무작위로 선택하는 것
B지정된 행동이 일어날 때마다 기록하는 것
C참가자가 보고한 사건만 기록하는 것
D정해진 시간 간격에만 행동을 기록하는 것

2.심리학 연구 방법어려움

연구자가 아이스크림 판매량과 익사 사망이 정적 상관이 있음을 발견합니다. 가장 그럴듯한 설명은 무엇입니까?

A익사가 아이스크림 판매를 늘린다
B아이스크림이 익사를 일으킨다
C더운 날씨가 아이스크림 판매와 수영을 모두 늘린다
D그 상관은 틀림없이 계산 오류이다

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 53, 19, 54, 52, 28.

n = 5

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 60, 표준편차 20인 정규분포를 따릅니다. 50보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 60σ = 20x = 50

P =

5.확률보통

표의 분포에 대해 X의 분산 Var(X)을(를) 구하시오.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.35, 0.25, 0.05, 0.1, 0.25

Var(X) =

6.확률어려움

X의 분포가 표와 같고 Y = 2X + 4입니다. Y의 표준편차 σ_Y을(를) 구하시오.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.1, 0.35, 0.25, 0.3Y = 2X + 4

σ_Y =

7.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 z의 오른쪽 색칠한 넓이가 0.7995이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.7995

z =

8.정규분포어려움

배송 시간은(는) 평균 32 min, 표준편차 6 min인 정규분포를 따릅니다. 전체의 97.5%가 그 아래에 있는 값 x(97.5 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 32σ = 6P = 97.5%

x = min

9.신뢰구간보통

항목 8개의 표본 평균은 43, 표준편차는 s = 13.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하세요.

n = 8x̄ = 43s = 13.599%t(7) = 3.499

E =

10.신뢰구간어려움

모표준편차는 8입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 2 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 8E = 295%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

직원 7명이 교육 과정 전후에 타자 시험을 본다. 각 사람에 대해 차이 d = 후 − 전(분당 단어 수)을 기록한다. 평균 차이는 5.03, 차이의 표준 편차는 9.5이다. H₀: μ_d = 0에 대한 대응 검정 통계량 t을(를) 구하시오.

n = 7d̄ = 5.03s_d = 9.5

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

한 임상 시험에서 치료 A를 받은 환자 120명 중 72명, 치료 B를 받은 환자 100명 중 66명이 회복한다. 합동 비율을 써서 H₀: p₁ = p₂에 대한 검정 통계량 z을(를) 구하시오.

x₁ = 72n₁ = 120x₂ = 66n₂ = 100

z =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 14을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 5ŷ = 14

x =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1602 × 2

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

행 2개, 열 5개(합계 제외)인 분할표로 카이제곱 독립성 검정을 합니다. 이 검정의 자유도 df은(는) 얼마인가요?

2 × 5

df =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: B · 지정된 행동이 일어날 때마다 기록하는 것

이것이 답인 이유

사건 표집은 목표 행동의 발생을 하나하나 셉니다. 시간 표집은 예를 들어 30초마다처럼 정해진 간격에 일어나는 일을 기록합니다.

답

B · 지정된 행동이 일어날 때마다 기록하는 것

2.심리학 연구 방법

답: C · 더운 날씨가 아이스크림 판매와 수영을 모두 늘린다

이것이 답인 이유

제3의 변수인 기온이 둘 다를 일으킵니다. 이는 상관만으로는 인과를 보여 줄 수 없는 이유를 보여 줍니다.

답

C · 더운 날씨가 아이스크림 판매와 수영을 모두 늘린다

3.기술통계

답: s = 16.48

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 206/5 = 41.2

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 11.8² + (−22.2)² + 12.8² + 10.8² + (−13.2)² = 1087

표준편차

s = √(1087/4) = 16.48

답

s = 16.48

4.기술통계

답: P = 0.3085

표준화하기

z = −0.5

표준정규분포표

Φ(−0.5) = 0.3085

P = 0.3085

답

P = 0.3085

5.확률

답: Var(X) = 2.628

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 1·0.35 + 2·0.25 + 3·0.05 + 4·0.1 + 5·0.25 = 2.65

제곱의 평균

E(X²) = 1·0.35 + 4·0.25 + 9·0.05 + 16·0.1 + 25·0.25 = 9.65

분산

Var(X) = 9.65 − 2.65² = 2.628

답

Var(X) = 2.628

6.확률

답: σ_Y = 3.975

X의 퍼짐

μ = 3.5, Var(X) = 3.95, σ_X = 1.987

일차 변환

σ_Y = |2|·1.987 = 3.975

답

σ_Y = 3.975

평균은 실제로 이동합니다: E(Y) = 2·3.5 + 4 = 11.

7.정규분포

답: z = −0.84

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = 1 − 0.7995 = 0.2005

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.2005을 찾아 z를 읽으세요.

z = −0.84

답

z = −0.84

8.정규분포

답: x = 43.76 min

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

다시 x로

x = 32 + 1.96·6 = 43.76 min

답

x = 43.76 min

9.신뢰구간

답: E = 16.7

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 7, t = 3.499

오차 한계

E = 3.499·13.5/√8 = 16.7

답

E = 16.7

10.신뢰구간

답: n = 62

n에 대해 풀기

n = (1.96·8/2)² = 61.47

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 62

답

n = 62

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 1.401

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

평균 차이의 표준 오차

SE = 9.5/√7 = 3.591

검정통계량

t = 5.03/3.591 = 1.401

답

t = 1.401

df = 6에서 양측 5% 임곗값은 2.447입니다. |t|가 더 작으므로 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: z = −0.9164

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

표본 비율

p̂₁ = 72/120 = 0.6

p̂₂ = 66/100 = 0.66

p̂ = 138/220 = 0.6273

H₀에서의 표준 오차

SE = √(0.6273·0.3727·(1/120 + 1/100)) = 0.06547

검정통계량

z = (0.6 − 0.66)/0.06547 = −0.9164

답

z = −0.9164

|z| < 1.96이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

13.선형 회귀와 상관

답: r = −0.8944

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 132/6 = 22

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 56

상관계수

r = −28/√(17.5·56) = −0.8944

답

r = −0.8944

14.선형 회귀와 상관

답: x = 4.407

평균

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 89/5 = 17.8

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27

회귀직선

b = −27/10 = −2.7

a = 17.8 − (−2.7)·3 = 25.9

ŷ = 25.9 − 2.7·x

x 구하기

x = (14 − 25.9)/(−2.7) = 4.407

답

x = 4.407

15.카이제곱 검정

답: χ² = 31.76

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

신약: 80·104/160 = 52, 80·56/160 = 28

위약: 80·104/160 = 52, 80·56/160 = 28

카이제곱 통계량

χ² = (35 − 52)²/52 + (45 − 28)²/28 + (69 − 52)²/52 + (11 − 28)²/28

χ² = 31.76

답

χ² = 31.76

df = 1. α = 0.05에서 임곗값은 3.841이므로 H₀(독립)은 기각됩니다.

16.카이제곱 검정

답: df = 4

자유도

df = (2 − 1)·(5 − 1) = 4

답

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology