심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

한 학생이 평균 100, 표준편차 15인 검사에서 130점을 받았습니다. z점수는 얼마입니까?

A1.5
B2.0
C3.0
D0.5

2.심리학 연구 방법어려움

심리학의 '재현성 위기'는 무엇을 말합니까?

A실험 참가자가 부족한 것
B허락 없이 질문지를 복사하는 것
C발표된 많은 결과가 새로운 연구에서 재현되지 않는 것
D학술지가 제출된 모든 재현 연구를 거부하도록 법으로 요구받는 것

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 47, 60, 52, 26, 19, 22, 32.

n = 7

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 100, 표준편차 12인 정규분포를 따릅니다. 94보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 100σ = 12x = 94

P =

5.확률보통

표의 분포에 대해 X의 분산 Var(X)을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.35, 0.05, 0.25, 0.2

Var(X) =

6.확률어려움

게임 한 판을 하는 데 €3이 듭니다. 확률 0.3로 €15을, 확률 0.01로 €30을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €3€15: p = 0.3€30: p = 0.01

E(G) = €

7.정규분포보통

짐을 든 승객의 질량은 독립이며 평균 85 kg, 표준편차 12 kg인 정규분포를 따릅니다. 그중 5개의 총 질량이 465.2 kg을(를) 초과할 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 5> 465.2 kg

P =

8.정규분포어려움

주자 A의 한 바퀴 시간 X와 주자 B의 한 바퀴 시간 Y은(는) 독립이며 정규분포를 따릅니다. X는 평균 52 s, 표준편차 4 s이고 Y는 평균 48 s, 표준편차 3 s입니다. X가 Y보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.신뢰구간보통

두 휴대전화 모델의 배터리 수명을 비교한다. 모델 1: 휴대전화 100대, 평균 88.5 h, 알려진 표준 편차 3 h. 모델 2: 휴대전화 100대, 평균 98.5 h, 알려진 표준 편차 13 h. μ₁ − μ₂에 대한 99% 신뢰구간의 상한을 구하시오.

n₁ = 100x̄₁ = 88.5 hσ₁ = 3 hn₂ = 100x̄₂ = 98.5 hσ₂ = 13 h99%

상한 = h

10.신뢰구간어려움

두 비료를 시험한다. 구획 집단 1: 9개 구획, 평균 수확량 85 kg, 표준 편차 1.5 kg. 구획 집단 2: 7개 구획, 평균 90.5 kg, 표준 편차 2 kg. 분산이 같다고 가정한다(합동 t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂에 대한 95% 신뢰구간의 하한을 구하시오.

n₁ = 9x̄₁ = 85s₁ = 1.5n₂ = 7x̄₂ = 90.5s₂ = 295%t(14) = 2.145

하한 = kg

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 16명 표본의 평균 점수는 123.4, 표본 표준편차는 8입니다. H₀: μ = 120에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 120x̄ = 123.4s = 8n = 16

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 49개의 표본 평균은 494.9입니다. 모표준편차는 15입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 하한 L를 구하세요.

x̄ = 494.9σ = 15n = 4999%

L =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 35을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 5ŷ = 35

x =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “교직원, 자동차”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.

행 합계 = 61열 합계 = 45N = 128

E =

16.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.05에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 1603 × 2α = 0.05

χ² =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: B · 2.0

이것이 답인 이유

(130 − 100) / 15 = 2. 이 점수는 평균보다 2 표준편차 높으며, 약 97–98%의 사람보다 높습니다.

답

B · 2.0

2.심리학 연구 방법

답: C · 발표된 많은 결과가 새로운 연구에서 재현되지 않는 것

이것이 답인 이유

대규모 재현 프로젝트에서는 많은 효과가 더 작거나 나타나지 않았으며, 이는 출판 편향, 작은 표본, 유연한 분석과 관련이 있습니다. 사전 등록이 대응책 중 하나입니다.

답

C · 발표된 많은 결과가 새로운 연구에서 재현되지 않는 것

3.기술통계

답: s = 16.07

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 258/7 = 36.86

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 10.14² + 23.14² + 15.14² + (−10.86)² + (−17.86)² + (−14.86)² + (−4.857)² = 1549

표준편차

s = √(1549/6) = 16.07

답

s = 16.07

4.기술통계

답: P = 0.6915

표준화하기

z = −0.5

표준정규분포표

Φ(−0.5) = 0.3085

P = 1 − 0.3085 = 0.6915

답

P = 0.6915

5.확률

답: Var(X) = 2

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.15 + 1·0.35 + 2·0.05 + 3·0.25 + 4·0.2 = 2

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.15 + 1·0.35 + 4·0.05 + 9·0.25 + 16·0.2 = 6

분산

Var(X) = 6 − 2² = 2

답

Var(X) = 2

6.확률

답: E(G) = 1.8 €

순 결과

G: 12 (p = 0.3), 27 (p = 0.01), −3 (p = 0.69)

기댓값

E(G) = 12·0.3 + 27·0.01 − 3·0.69 = 1.8 €

답

E(G) = 1.8 €

양수는 평균적으로 돈을 딴다는 뜻입니다.

7.정규분포

답: P = 0.06681

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합계의 분포

μ_T = 425 kg, σ_T = 12·√5 = 26.83 kg

표준화하기

z = (465.2 − 425)/26.83 = 1.5

확률

P = 1 − Φ(1.5) = 0.06681

답

P = 0.06681

8.정규분포

답: P = 0.7881

차의 분포

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

표준화하기

z = (0 − 4)/5 = −0.8

확률

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

답

P = 0.7881

9.신뢰구간

답: 상한 = −6.563 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

점추정값

x̄₁ − x̄₂ = 88.5 − 98.5 = −10

표준오차

SE = √(3²/100 + 13²/100) = 1.334

오차 한계

E = 2.576·1.334 = 3.437

구간

−10 ± 3.437 → [−13.44, −6.563]

답

상한 = −6.563 h

구간이 0을 포함하지 않으므로 두 평균은 유의하게 다릅니다.

10.신뢰구간

답: 하한 = −7.372 kg

합동 표준 편차

s_p² = (8·1.5² + 6·2²)/14 = 3

s_p = 1.732

오차 한계

E = 2.145·1.732·√(1/9 + 1/7) = 1.872

구간

−5.5 ± 1.872 → [−7.372, −3.628]

답

하한 = −7.372 kg

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 1.7

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 8/√16 = 8/4 = 2

검정통계량

t = (123.4 − 120)/2 = 1.7

답

t = 1.7

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| < 2.131이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: L = 489.4

오차 한계

E = 2.576·15/√49 = 5.52

구간 끝값

L = 494.9 − 5.52 = 489.4

답

L = 489.4

13.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9023

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 317/6 = 52.83

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 70.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 348.8

상관계수

r = 70.5/√(17.5·348.8) = 0.9023

답

r = 0.9023

14.선형 회귀와 상관

답: x = 3.971

평균

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 193/5 = 38.6

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140

회귀직선

b = 140/40 = 3.5

a = 38.6 − 3.5·5 = 21.1

ŷ = 21.1 + 3.5·x

x 구하기

x = (35 − 21.1)/3.5 = 3.971

답

x = 3.971

15.카이제곱 검정

답: E = 21.45

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

E = 61·45/128 = 21.45

답

E = 21.45

16.카이제곱 검정

답: χ² = 7.674

기대 도수

18–30세: 24, 16

31–50세: 36, 24

51세 이상: 36, 24

카이제곱 통계량

χ² = (17 − 24)²/24 + (23 − 16)²/16 + (42 − 36)²/36 + (18 − 24)²/24 + (37 − 36)²/36 + (23 − 24)²/24

χ² = 7.674

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 5.991

7.674 > 5.991

답

χ² = 7.674

χ²이 임곗값보다 크므로 H₀을 기각합니다. 두 변수는 관련이 있는 것으로 보입니다.

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