심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

실험에서 표준화된 지시문을 사용하는 이유는 무엇입니까?

A참가자가 자신의 조건을 선택할 수 있도록 하기 위해
B모든 참가자가 같은 정보를 같은 방식으로 받도록 하기 위해
C연구자가 참가자마다 필요에 맞게 절차를 조정할 수 있도록 하기 위해
D결과가 통계적으로 유의해지도록 하기 위해

2.심리학 연구 방법어려움

연구자가 세 개 이상의 집단 평균을 비교합니다. 여러 번의 t검정 대신 일원분산분석을 쓰는 이유는 무엇입니까?

At검정에는 질적 자료가 필요하기 때문
Bt검정은 100보다 큰 수를 다루지 못하기 때문
C분산분석은 항상 같은 t검정 묶음보다 더 큰 효과를 찾기 때문
Dt검정을 여러 번 하면 전체 제1종 오류율이 부풀려지기 때문

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 10, 49, 49, 19, 52.

n = 5

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 70, 표준편차 20인 정규분포를 따릅니다. 54보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 70σ = 20x = 54

P =

5.확률보통

8명 중에서 5명으로 된 위원회를 뽑는 방법 N은 몇 가지일까요? 순서는 상관없습니다.

n = 8k = 5

N =

6.확률어려움

부품 6개를 시험하며, 각 부품은 독립적으로 확률 0.3로 고장 납니다. 고장이 많아야 하나일 확률 P는 얼마일까요?

n = 6p = 0.3

P =

7.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 −z와 z 사이의 색칠한 넓이가 0.6827이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.6827

z =

8.정규분포어려움

구멍 지름 D는 평균 25.02 mm, 표준편차 0.01 mm인 정규분포를 따릅니다. 축 지름 d는 독립이며 평균 25 mm, 표준편차 0.02 mm인 정규분포를 따릅니다. 무작위로 고른 축은 D − d > 0일 때 끼워집니다. 끼워질 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

구멍: μ = 25.02 mm, σ = 0.01 mm축: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

9.신뢰구간보통

항목 21개의 표본 평균은 52, 표준편차는 s = 19입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 21x̄ = 52s = 1995%t(20) = 2.086

상한 =

10.신뢰구간어려움

기계 가공한 축 25개의 지름의 표본 표준 편차는 3.6 µm이다. 지름이 정규 분포를 따른다고 가정하고, 모집단 표준 편차에 대한 95% 신뢰구간의 상한 σ을(를) 구하시오. df = 24에서 χ² 분포의 2.5%는 12.401 아래에, 2.5%는 39.364 위에 있다.

n = 25s = 3.6 µmχ² = 12.401, 39.364

σ = µm

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 36명 표본의 평균 점수는 202.4, 표본 표준편차는 12입니다. H₀: μ = 200에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 200x̄ = 202.4s = 12n = 36

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 64개의 표본 평균은 79입니다. 모표준편차는 20입니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 하한 L를 구하세요.

x̄ = 79σ = 20n = 6499%

L =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 75을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 5ŷ = 75

x =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1602 × 2

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

카이제곱 적합도 검정으로 7개 범주의 관측 도수를 완전히 지정된 기대 비율과 비교합니다(자료에서 추정한 모수 없음). 표를 이용해 유의수준 α = 0.05에서 임곗값 χ²_crit을(를) 구하세요.

α = 0.05

χ²_crit =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: B · 모든 참가자가 같은 정보를 같은 방식으로 받도록 하기 위해

이것이 답인 이유

표준화는 외재변수로서의 절차상 변동을 없애고 연구를 반복 가능하게 합니다.

답

B · 모든 참가자가 같은 정보를 같은 방식으로 받도록 하기 위해

2.심리학 연구 방법

답: D · t검정을 여러 번 하면 전체 제1종 오류율이 부풀려지기 때문

이것이 답인 이유

쌍별 검정을 많이 하면 거짓 양성의 가능성이 커집니다. 분산분석은 모든 집단을 한꺼번에 검정하고, 이어서 보정된 사후 검정을 합니다.

답

D · t검정을 여러 번 하면 전체 제1종 오류율이 부풀려지기 때문

3.기술통계

답: s = 19.74

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 179/5 = 35.8

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−25.8)² + 13.2² + 13.2² + (−16.8)² + 16.2² = 1559

표준편차

s = √(1559/4) = 19.74

답

s = 19.74

4.기술통계

답: P = 0.2119

표준화하기

z = −0.8

표준정규분포표

Φ(−0.8) = 0.2119

P = 0.2119

답

P = 0.2119

5.확률

답: N = 56

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

조합

C(8, 5) = (8·7·6·5·4)/(5·4·3·2·1) = 56

답

N = 56

6.확률

답: P = 0.4202

고장 0개와 1개

P(X = 0) = 0.7⁶ = 0.1176

P(X = 1) = 6·0.3·0.7⁵ = 0.3025

더하기

P = 0.1176 + 0.3025 = 0.4202

답

P = 0.4202

7.정규분포

답: z = 1

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = (1 + 0.6827)/2 = 0.8413

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.8413을 찾아 z를 읽으세요.

z = 1.00

답

z = 1.00

8.정규분포

답: P = 0.8133

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

차의 분포

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02236 mm

표준화하기

z = (0 − 0.02)/0.02236 = −0.89

확률

P = 1 − Φ(−0.89) = 0.8133

답

P = 0.8133

9.신뢰구간

답: 상한 = 60.65

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 20, t = 2.086

오차 한계

E = 2.086·19/√21 = 8.649

구간

52 ± 8.649 → [43.35, 60.65]

답

상한 = 60.65

10.신뢰구간

답: σ = 5.008 µm

분산의 구간: (n − 1)s²/σ²은 자유도 n − 1의 χ² 분포를 따릅니다. σ²의 95% 구간은 (n − 1)s²를 위쪽 χ² 값(그 위에 2.5%)으로 나눈 값에서 아래쪽 χ² 값(그 아래에 2.5%)으로 나눈 값까지이며, σ의 구간은 두 한계의 제곱근입니다. 이 구간은 s를 중심으로 대칭이 아닙니다.

제곱합

(n − 1)s² = 24·3.6² = 311

σ²의 한계

311/39.364 = 7.902

311/12.401 = 25.08

σ의 한계

σ = √25.08 = 5.008 µm

답

σ = 5.008 µm

σ의 95% 구간: [2.811, 5.008] µm.

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 1.2

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 12/√36 = 12/6 = 2

검정통계량

t = (202.4 − 200)/2 = 1.2

답

t = 1.2

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| < 2.03이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: L = 72.56

오차 한계

E = 2.576·20/√64 = 6.44

구간 끝값

L = 79 − 6.44 = 72.56

답

L = 72.56

13.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9862

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 98/5 = 19.6

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 124

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 395.2

상관계수

r = 124/√(40·395.2) = 0.9862

답

r = 0.9862

14.선형 회귀와 상관

답: x = 5.562

평균

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 318/5 = 63.6

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 73

회귀직선

b = 73/10 = 7.3

a = 63.6 − 7.3·4 = 34.4

ŷ = 34.4 + 7.3·x

x 구하기

x = (75 − 34.4)/7.3 = 5.562

답

x = 5.562

15.카이제곱 검정

답: χ² = 21.1

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

흡연자: 120·56/160 = 42, 120·104/160 = 78

비흡연자: 40·56/160 = 14, 40·104/160 = 26

카이제곱 통계량

χ² = (54 − 42)²/42 + (66 − 78)²/78 + (2 − 14)²/14 + (38 − 26)²/26

χ² = 21.1

답

χ² = 21.1

df = 1. α = 0.05에서 임곗값은 3.841이므로 H₀(독립)은 기각됩니다.

16.카이제곱 검정

답: χ²_crit = 12.59

자유도

df = 7 − 1 = 6

표

χ²_crit(df = 6, α = 0.05) = 12.592

답

χ²_crit = 12.592

계산한 χ²이 이 값보다 크면 H₀을 기각합니다.

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