심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

요구 특성(demand characteristics)이란 무엇입니까?

A검정의 통계적 전제 조건
B연구를 시작하기 전에 윤리위원회가 내리는 공식적 요구 사항
C참가자가 연구 목적을 추측하고 행동을 바꾸게 만드는 단서
D표본의 특성

2.심리학 연구 방법어려움

어떤 연구에서 한 질문지가 같은 구성개념을 측정하는 공인된 검사와 강한 상관을 보였습니다. 이것이 지지하는 것은 무엇입니까?

A공인 타당도(동시 타당도)
B검사-재검사 신뢰도
C안면 타당도
D생태학적 타당도

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 16, 56, 39, 20, 11.

n = 5

s =

4.기술통계어려움

시험 점수는 평균 500, 표준편차 60인 정규분포를 따릅니다. 428점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 500σ = 60x = 428

z =

5.확률보통

11명 중에서 2명으로 된 위원회를 뽑는 방법 N은 몇 가지일까요? 순서는 상관없습니다.

n = 11k = 2

N =

6.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 6개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.2로 맞힙니다. 정확히 4개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 6p = 0.2k = 4

P =

7.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 −z와 z 사이의 색칠한 넓이가 0.7415이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.7415

z =

8.정규분포어려움

한 집단에서 남성의 키 X와 여성의 키 Y은(는) 독립이며 정규분포를 따릅니다. X는 평균 180 cm, 표준편차 10 cm이고 Y는 평균 170 cm, 표준편차 12 cm입니다. X가 Y보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

9.신뢰구간보통

항목 11개의 표본 평균은 94.5, 표준편차는 s = 6.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 11x̄ = 94.5s = 6.599%t(10) = 3.169

상한 =

10.신뢰구간어려움

예비 연구에 따르면 제품의 약 0.8이(가) 불량이다. 비율에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 최대 0.01이(가) 되려면 제품을 몇 개 n 검사해야 하는가?

p ≈ 0.8E = 0.0195%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 25명 표본의 평균 점수는 79.08, 표본 표준편차는 12입니다. H₀: μ = 75에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 75x̄ = 79.08s = 12n = 25

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 0.5 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 4입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.

σ = 4E = 0.595%

n =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 4일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 6x = 4

ŷ =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “농촌, 중간”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.

행 합계 = 86열 합계 = 70N = 140

E =

16.카이제곱 검정어려움

카이제곱 적합도 검정으로 10개 범주의 관측 도수를 완전히 지정된 기대 비율과 비교합니다(자료에서 추정한 모수 없음). 이 검정의 자유도 df은(는) 얼마인가요?

k = 10

df =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: C · 참가자가 연구 목적을 추측하고 행동을 바꾸게 만드는 단서

이것이 답인 이유

참가자가 가설을 알아차리면 이를 확인하거나 방해하는 쪽으로 행동할 수 있어 타당도가 위협받습니다. 기만과 맹검 절차가 이를 줄여 줍니다.

답

C · 참가자가 연구 목적을 추측하고 행동을 바꾸게 만드는 단서

2.심리학 연구 방법

답: A · 공인 타당도(동시 타당도)

이것이 답인 이유

공인 타당도는 새로운 측정이 거의 같은 시점에 실시한 공인된 측정과 일치할 때 입증됩니다.

답

A · 공인 타당도(동시 타당도)

3.기술통계

답: s = 18.72

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 142/5 = 28.4

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−12.4)² + 27.6² + 10.6² + (−8.4)² + (−17.4)² = 1401

표준편차

s = √(1401/4) = 18.72

답

s = 18.72

4.기술통계

답: z = −1.2

표준화하기

z = (428 − 500)/60 = −1.2

답

z = −1.2

5.확률

답: N = 55

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

조합

C(11, 2) = (11·10)/(2·1) = 55

답

N = 55

6.확률

답: P = 0.01536

이항분포 공식

P(X = 4) = 15·0.2⁴·0.8² = 15·0.0016·0.64 = 0.01536

답

P = 0.01536

7.정규분포

답: z = 1.13

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = (1 + 0.7415)/2 = 0.8708

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.8708을 찾아 z를 읽으세요.

z = 1.13

답

z = 1.13

8.정규분포

답: P = 0.7389

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

차의 분포

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

표준화하기

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

확률

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

답

P = 0.7389

9.신뢰구간

답: 상한 = 100.7

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 10, t = 3.169

오차 한계

E = 3.169·6.5/√11 = 6.211

구간

94.5 ± 6.211 → [88.29, 100.7]

답

상한 = 100.7

10.신뢰구간

답: n = 6147

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n에 대해 풀기

n = 1.96²·0.8·0.2/0.01² = 6147

올림하기

n = 6147

답

n = 6147

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 1.7

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 12/√25 = 12/5 = 2.4

검정통계량

t = (79.08 − 75)/2.4 = 1.7

답

t = 1.7

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| < 2.064이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 246

n에 대해 풀기

n = (1.96·4/0.5)² = 245.9

올림하기

n = 246

답

n = 246

13.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9724

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 371/5 = 74.2

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 130

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 446.8

상관계수

r = 130/√(40·446.8) = 0.9724

답

r = 0.9724

14.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 49.71

평균

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 331/6 = 55.17

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 191

회귀직선

b = 191/70 = 2.729

a = 55.17 − 2.729·6 = 38.8

ŷ = 38.8 + 2.729·x

예측

ŷ = 38.8 + 2.729·4 = 49.71

답

ŷ = 49.71

15.카이제곱 검정

답: E = 43

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

E = 86·70/140 = 43

답

E = 43

16.카이제곱 검정

답: df = 9

자유도

df = 10 − 1 = 9

답

df = 9

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