심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

내용 분석에서 평정자 간 신뢰도는 어떻게 확인합니까?

A연구자가 한 자료 부호화가 맞는지 참가자에게 사후에 묻는다
B두 연구자가 같은 자료를 부호화하게 하고 결과를 비교한다
C하루에 같은 자료를 두 번 부호화한다
D더 큰 자료 표본을 사용한다

2.심리학 연구 방법어려움

연구자가 아홉 시점에서 자료를 모으고 보정 없이 매번 5% 수준에서 검정합니다. 무엇이 문제입니까?

A검정할 때마다 효과 크기가 줄어든다
B자료가 매번 더 신뢰할 만해지므로 마지막 검정이 가장 정확하다
C적어도 한 번 거짓 양성이 나올 확률이 5%를 크게 넘는다
D이 방법에는 아무 문제가 없다

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 10, 15, 19, 41, 14.

n = 5

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 500, 표준편차 25인 정규분포를 따릅니다. 525보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 500σ = 25x = 525

P =

5.확률보통

표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.3, 0.25, 0.1, 0.35

σ =

6.확률어려움

게임 한 판을 하는 데 €1이 듭니다. 확률 0.15로 €5을, 확률 0.02로 €10을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €1€5: p = 0.15€10: p = 0.02

E(G) = €

7.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 −z와 z 사이의 색칠한 넓이가 0.4108이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.4108

z =

8.정규분포어려움

구멍 지름 D는 평균 25.04 mm, 표준편차 0.015 mm인 정규분포를 따릅니다. 축 지름 d는 독립이며 평균 25 mm, 표준편차 0.015 mm인 정규분포를 따릅니다. 무작위로 고른 축은 D − d > 0일 때 끼워집니다. 끼워질 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

구멍: μ = 25.04 mm, σ = 0.015 mm축: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

9.신뢰구간보통

항목 8개의 표본 평균은 116.5, 표준편차는 s = 18입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 8x̄ = 116.5s = 1899%t(7) = 3.499

하한 =

10.신뢰구간어려움

두 비료를 시험한다. 구획 집단 1: 10개 구획, 평균 수확량 62.5 kg, 표준 편차 3 kg. 구획 집단 2: 16개 구획, 평균 73.5 kg, 표준 편차 1.5 kg. 분산이 같다고 가정한다(합동 t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂에 대한 95% 신뢰구간의 상한을 구하시오.

n₁ = 10x̄₁ = 62.5s₁ = 3n₂ = 16x̄₂ = 73.5s₂ = 1.595%t(24) = 2.064

상한 = kg

11.가설 검정과 신뢰구간보통

직원 7명이 교육 과정 전후에 타자 시험을 본다. 각 사람에 대해 차이 d = 후 − 전(분당 단어 수)을 기록한다. 평균 차이는 −4.97, 차이의 표준 편차는 7.3이다. H₀: μ_d = 0에 대한 대응 검정 통계량 t을(를) 구하시오.

n = 7d̄ = −4.97s_d = 7.3

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 1.5 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 4입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.

σ = 4E = 1.590%

n =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5Σx = 30Σy = 89Σx² = 220Σy² = 1875Σxy = 640

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 20일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 5x = 20

ŷ =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 2002 × 3

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.05에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 2403 × 2α = 0.05

χ² =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: B · 두 연구자가 같은 자료를 부호화하게 하고 결과를 비교한다

이것이 답인 이유

독립적인 부호화자들이 같은 자료에 비슷한 부호를 붙이면(일치도나 상관이 높으면) 부호화 체계는 신뢰할 만합니다.

답

B · 두 연구자가 같은 자료를 부호화하게 하고 결과를 비교한다

2.심리학 연구 방법

답: C · 적어도 한 번 거짓 양성이 나올 확률이 5%를 크게 넘는다

이것이 답인 이유

독립적인 검정을 아홉 번 하면 적어도 한 번 제1종 오류가 날 확률은 약 1 − 0.95⁹ ≈ 37%입니다. 본페로니 보정 같은 방법으로 이를 해결합니다.

답

C · 적어도 한 번 거짓 양성이 나올 확률이 5%를 크게 넘는다

3.기술통계

답: s = 12.28

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 99/5 = 19.8

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−9.8)² + (−4.8)² + (−0.8)² + 21.2² + (−5.8)² = 602.8

표준편차

s = √(602.8/4) = 12.28

답

s = 12.28

4.기술통계

답: P = 0.8413

표준화하기

z = 1

표준정규분포표

Φ(1) = 0.8413

P = 0.8413

답

P = 0.8413

5.확률

답: σ = 1.245

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.3 + 1·0.25 + 2·0.1 + 3·0.35 = 1.5

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.25 + 4·0.1 + 9·0.35 = 3.8

분산

Var(X) = 3.8 − 1.5² = 1.55

σ = √1.55 = 1.245

답

σ = 1.245

6.확률

답: E(G) = −0.05 €

순 결과

G: 4 (p = 0.15), 9 (p = 0.02), −1 (p = 0.83)

기댓값

E(G) = 4·0.15 + 9·0.02 − 1·0.83 = −0.05 €

답

E(G) = −0.05 €

음수는 평균적으로 돈을 잃는다는 뜻입니다.

7.정규분포

답: z = 0.54

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = (1 + 0.4108)/2 = 0.7054

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.7054을 찾아 z를 읽으세요.

z = 0.54

답

z = 0.54

8.정규분포

답: P = 0.9706

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

차의 분포

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02121 mm

표준화하기

z = (0 − 0.04)/0.02121 = −1.89

확률

P = 1 − Φ(−1.89) = 0.9706

답

P = 0.9706

9.신뢰구간

답: 하한 = 94.23

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 7, t = 3.499

오차 한계

E = 3.499·18/√8 = 22.27

구간

116.5 ± 22.27 → [94.23, 138.8]

답

하한 = 94.23

10.신뢰구간

답: 상한 = −9.181 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

합동 표준 편차

s_p² = (9·3² + 15·1.5²)/24 = 4.781

s_p = 2.187

오차 한계

E = 2.064·2.187·√(1/10 + 1/16) = 1.819

구간

−11 ± 1.819 → [−12.82, −9.181]

답

상한 = −9.181 kg

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −1.801

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

평균 차이의 표준 오차

SE = 7.3/√7 = 2.759

검정통계량

t = −4.97/2.759 = −1.801

답

t = −1.801

df = 6에서 양측 5% 임곗값은 2.447입니다. |t|가 더 작으므로 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 20

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

n에 대해 풀기

n = (1.645·4/1.5)² = 19.24

올림하기

n = 20

답

n = 20

13.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9828

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 640 − 30·89/5 = 106

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 1875 − 89²/5 = 290.8

상관계수

r = 106/√(40·290.8) = 0.9828

답

r = 0.9828

14.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 99.5

평균

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 474/5 = 94.8

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 188

회귀직선

b = 188/40 = 4.7

a = 94.8 − 4.7·19 = 5.5

ŷ = 5.5 + 4.7·x

예측

ŷ = 5.5 + 4.7·20 = 99.5

답

ŷ = 99.5

15.카이제곱 검정

답: χ² = 30.65

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

학생: 120·30/200 = 18, 120·80/200 = 48, 120·90/200 = 54

교직원: 80·30/200 = 12, 80·80/200 = 32, 80·90/200 = 36

카이제곱 통계량

χ² = (14 − 18)²/18 + (33 − 48)²/48 + (73 − 54)²/54 + (16 − 12)²/12 + (47 − 32)²/32 + (17 − 36)²/36

χ² = 30.65

답

χ² = 30.65

df = 2. α = 0.05에서 임곗값은 5.991이므로 H₀(독립)은 기각됩니다.

16.카이제곱 검정

답: χ² = 6.917

기대 도수

18–30세: 30, 30

31–50세: 50, 50

51세 이상: 40, 40

카이제곱 통계량

χ² = (25 − 30)²/30 + (35 − 30)²/30 + (60 − 50)²/50 + (40 − 50)²/50 + (35 − 40)²/40 + (45 − 40)²/40

χ² = 6.917

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 5.991

6.917 > 5.991

답

χ² = 6.917

χ²이 임곗값보다 크므로 H₀을 기각합니다. 두 변수는 관련이 있는 것으로 보입니다.

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