심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

횡단 연구가 같은 시점에 20세, 40세, 60세의 기술 사용을 비교합니다. 어떤 문제가 연령 비교를 혼입시킬 수 있습니까?

A바닥 효과
B코호트 효과
C순서 효과
D연습 효과

2.심리학 연구 방법어려움

공부 시간과 수면으로 시험 점수를 예측하는 다중회귀에서 R² = 0.36입니다. 이것은 무엇을 뜻합니까?

A공부 시간이 시험 성공의 36%를 일으킨다
B예측변수들이 함께 시험 점수 분산의 36%를 설명한다
C학생의 36%가 시험에 합격했다
D예측변수 간의 상관이 0.36이다

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 53, 46, 25, 31, 33, 23, 23.

n = 7

s =

4.기술통계어려움

시험 점수는 평균 50, 표준편차 15인 정규분포를 따릅니다. 65점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 50σ = 15x = 65

z =

5.확률보통

11명 중에서 3명으로 된 위원회를 뽑는 방법 N은 몇 가지일까요? 순서는 상관없습니다.

n = 11k = 3

N =

6.확률어려움

게임 한 판을 하는 데 €3이 듭니다. 확률 0.2로 €12을, 확률 0.02로 €60을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €3€12: p = 0.2€60: p = 0.02

E(G) = €

7.정규분포보통

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 96.25에서 103.75 점 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 100σ = 15x₁ = 96.25x₂ = 103.75

P =

8.정규분포어려움

배송 시간은(는) 평균 32 min, 표준편차 6 min인 정규분포를 따릅니다. 전체의 20%가 그 아래에 있는 값 x(20 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 32σ = 6P = 20%

x = min

9.신뢰구간보통

두 휴대전화 모델의 배터리 수명을 비교한다. 모델 1: 휴대전화 40대, 평균 69 h, 알려진 표준 편차 6 h. 모델 2: 휴대전화 30대, 평균 54.5 h, 알려진 표준 편차 10 h. μ₁ − μ₂에 대한 99% 신뢰구간의 하한을 구하시오.

n₁ = 40x̄₁ = 69 hσ₁ = 6 hn₂ = 30x̄₂ = 54.5 hσ₂ = 10 h99%

하한 = h

10.신뢰구간어려움

두 비료를 시험한다. 구획 집단 1: 8개 구획, 평균 수확량 79.5 kg, 표준 편차 10 kg. 구획 집단 2: 8개 구획, 평균 76 kg, 표준 편차 3 kg. 분산이 같다고 가정한다(합동 t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하시오.

n₁ = 8x̄₁ = 79.5s₁ = 10n₂ = 8x̄₂ = 76s₂ = 395%t(14) = 2.145

E = kg

11.가설 검정과 신뢰구간보통

두 교수법을 비교한다. 집단 1: 학생 8명, 평균 점수 58, 표준 편차 2. 집단 2: 학생 6명, 평균 점수 68.2, 표준 편차 8. 모집단 분산이 같다고 가정하고 합동 이표본 t 검정을 쓴다. 차이를 x̄₁ − x̄₂(집단 1 빼기 집단 2)로 하여 H₀: μ₁ = μ₂에 대한 검정 통계량 t을(를) 구하시오.

n₁ = 8x̄₁ = 58s₁ = 2n₂ = 6x̄₂ = 68.2s₂ = 8

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 100개의 표본 평균은 122.3입니다. 모표준편차는 10입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 하한 L를 구하세요.

x̄ = 122.3σ = 10n = 10095%

L =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 6

r² =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 1.5일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 6x = 1.5

ŷ =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “야간 근무, 경미한 결함”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.

행 합계 = 49열 합계 = 25N = 132

E =

16.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.01에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 1203 × 2α = 0.01

χ² =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: B · 코호트 효과

이것이 답인 이유

연령 집단마다 서로 다른 역사적 조건에서 자랐으므로, 차이가 노화 자체가 아니라 세대(코호트)를 반영할 수 있습니다.

답

B · 코호트 효과

2.심리학 연구 방법

답: B · 예측변수들이 함께 시험 점수 분산의 36%를 설명한다

이것이 답인 이유

R²는 결과의 변산 중 모든 예측변수가 함께 설명하는 양을 보여 줍니다. 인과관계를 확립하지는 않습니다.

답

B · 예측변수들이 함께 시험 점수 분산의 36%를 설명한다

3.기술통계

답: s = 11.8

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 234/7 = 33.43

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 19.57² + 12.57² + (−8.429)² + (−2.429)² + (−0.4286)² + (−10.43)² + (−10.43)² = 835.7

표준편차

s = √(835.7/6) = 11.8

답

s = 11.8

4.기술통계

답: z = 1

표준화하기

z = (65 − 50)/15 = 1

답

z = 1

5.확률

답: N = 165

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

조합

C(11, 3) = (11·10·9)/(3·2·1) = 165

답

N = 165

6.확률

답: E(G) = 0.6 €

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

순 결과

G: 9 (p = 0.2), 57 (p = 0.02), −3 (p = 0.78)

기댓값

E(G) = 9·0.2 + 57·0.02 − 3·0.78 = 0.6 €

답

E(G) = 0.6 €

양수는 평균적으로 돈을 딴다는 뜻입니다.

7.정규분포

답: P = 0.1974

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (96.25 − 100)/15 = −0.25

z₂ = (103.75 − 100)/15 = 0.25

사이의 넓이

P = Φ(0.25) − Φ(−0.25) = 0.5987 − 0.4013 = 0.1974

답

P = 0.1974

8.정규분포

답: x = 26.95 min

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

다시 x로

x = 32 + −0.8416·6 = 26.95 min

답

x = 26.95 min

9.신뢰구간

답: 하한 = 9.2 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

점추정값

x̄₁ − x̄₂ = 69 − 54.5 = 14.5

표준오차

SE = √(6²/40 + 10²/30) = 2.058

오차 한계

E = 2.576·2.058 = 5.3

구간

14.5 ± 5.3 → [9.2, 19.8]

답

하한 = 9.2 h

구간이 0을 포함하지 않으므로 두 평균은 유의하게 다릅니다.

10.신뢰구간

답: E = 7.918 kg

합동 표준 편차

s_p² = (7·10² + 7·3²)/14 = 54.5

s_p = 7.382

오차 한계

E = 2.145·7.382·√(1/8 + 1/8) = 7.918

답

E = 7.918 kg

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −3.507

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

합동 분산

s_p² = (7·2² + 5·8²)/12 = 29

s_p = 5.385

표준오차

SE = 5.385·√(1/8 + 1/6) = 2.908

검정통계량

t = (58 − 68.2)/2.908 = −3.507

답

t = −3.507

df = 12에서 양측 5% 임곗값은 2.179입니다. |t|가 더 크므로 H₀를 기각합니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: L = 120.3

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

오차 한계

E = 1.96·10/√100 = 1.96

구간 끝값

L = 122.3 − 1.96 = 120.3

답

L = 120.3

13.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.972

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 58/6 = 9.667

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 233.3

결정계수

r² = 126²/(70·233.3) = 0.972

답

r² = 0.972

y의 변동 중 약 97.2%가 직선으로 설명됩니다.

14.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 24

평균

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 120/6 = 20

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35

회귀직선

b = −35/17.5 = −2

a = 20 − (−2)·3.5 = 27

ŷ = 27 − 2·x

예측

ŷ = 27 + (−2)·1.5 = 24

답

ŷ = 24

15.카이제곱 검정

답: E = 9.28

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

E = 49·25/132 = 9.28

답

E = 9.28

16.카이제곱 검정

답: χ² = 5.833

기대 도수

18–30세: 16, 24

31–50세: 16, 24

51세 이상: 16, 24

카이제곱 통계량

χ² = (14 − 16)²/16 + (26 − 24)²/24 + (22 − 16)²/16 + (18 − 24)²/24 + (12 − 16)²/16 + (28 − 24)²/24

χ² = 5.833

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 9.210

5.833 < 9.210

답

χ² = 5.833

χ²이 임곗값보다 작으므로 H₀을 기각하지 않습니다. 관련성에 대한 유의한 증거가 없습니다.

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