기술통계
- 평균
- x̄ = Σx/n
- 표본 표준편차
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 중앙값
- 정렬한 데이터의 가운데 값
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- 정규분포
- ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%
심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
확률
- 여사건
- P(not A) = 1 − P(A)
- 덧셈 정리
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 독립 사건
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 조건부 확률
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 이항분포
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
정규분포
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- x 미만
- P(X < x) = Φ(z)
- x 초과
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 두 값 사이
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 백분위수
- x = μ + z·σ
방법
- 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
- z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
- 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
- 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.
신뢰구간
- σ를 알 때
- x̄ ± z·σ/√n
- σ를 모를 때
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 임계 z값
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 표본 크기
- n = (z·σ/E)², rounded up
방법
- z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
- 신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
- 오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
- 구간: x̄ ± E.
가설 검정과 신뢰구간
- 평균에 대한 z 검정
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 평균에 대한 t 검정
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 유의수준 5% 양측 검정
- |z| > 1.96이면 H0 기각
- 신뢰구간
- x̄ ± z·σ/√n
방법
- H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
- 검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
- 임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
- 통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.
선형 회귀와 상관
- 제곱합
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 기울기
- b = Sxy/Sxx
- 절편
- a = ȳ − b·x̄
- 상관계수
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 잔차
- e = y − ŷ
카이제곱 검정
- 검정통계량
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 적합도 검정
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 독립성 검정
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 임곗값(α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 의사 결정
- χ² > χ²crit이면 H0을 기각
2연습 문제
1.심리학 연구 방법보통
자료가 서열 척도이거나 분명히 정규분포가 아닐 때 두 독립 집단을 비교하는 검정은 무엇입니까?
- A독립표본 t검정
- B윌콕슨 부호순위 검정
- C맨–휘트니 U 검정
- D카이제곱 검정
2.심리학 연구 방법어려움
어떤 연구에서 잠을 더 많이 자는 학생이 성적이 더 높았습니다. 인과적 결론을 가장 잘 가능하게 하는 설계 변경은 무엇입니까?
- A더 많은 학생을 조사한다
- B성적을 더 정확하게 측정한다
- C학생들을 서로 다른 수면 일정에 무선 배정한다
- D학생들에게 수면을 두 번 보고하게 하여 두 보고의 평균을 낸다
3.기술통계보통
자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 22, 35, 50, 41, 35.
n = 5
s =
4.기술통계어려움
어떤 양은 평균 60, 표준편차 10인 정규분포를 따릅니다. 66보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?
μ = 60σ = 10x = 66
P =
5.확률보통
주머니에 빨간 공 8개와 파란 공 5개가 있습니다. 첫 공을 다시 넣지 않고 두 개를 꺼냅니다. 두 공이 모두 빨간 공일 확률 P는 얼마일까요?
8 / 5
P =
6.확률어려움
X의 분포가 표와 같고 Y = −2X + 1입니다. Y의 표준편차 σY을(를) 구하시오.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.25, 0.35, 0.1Y = −2X + 1
σY =
7.정규분포보통
X는 평균 120 mm, 표준편차 0.3 mm인 정규분포를 따르고, Y는 독립이며 평균 80 mm, 표준편차 0.4 mm인 정규분포를 따릅니다. X + Y가 199.3 mm보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.
μX = 120, σX = 0.3μY = 80, σY = 0.4X + Y > 199.3 mm
P =
8.정규분포어려움
한 집단에서 남성의 키 X와 여성의 키 Y은(는) 독립이며 정규분포를 따릅니다. X는 평균 180 cm, 표준편차 10 cm이고 Y는 평균 170 cm, 표준편차 12 cm입니다. X가 Y보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
9.신뢰구간보통
항목 9개의 표본 평균은 79, 표준편차는 s = 14입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하세요.
n = 9x̄ = 79s = 1490%t(8) = 1.86
E =
10.신뢰구간어려움
두 비료를 시험한다. 구획 집단 1: 16개 구획, 평균 수확량 83.5 kg, 표준 편차 3.5 kg. 구획 집단 2: 15개 구획, 평균 89 kg, 표준 편차 4.5 kg. 분산이 같다고 가정한다(합동 t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂에 대한 95% 신뢰구간의 상한을 구하시오.
n₁ = 16x̄₁ = 83.5s₁ = 3.5n₂ = 15x̄₂ = 89s₂ = 4.595%t(29) = 2.045
상한 = kg
11.가설 검정과 신뢰구간보통
두 교수법을 비교한다. 집단 1: 학생 9명, 평균 점수 23.5, 표준 편차 12. 집단 2: 학생 5명, 평균 점수 33.4, 표준 편차 2. 모집단 분산이 같다고 가정하고 합동 이표본 t 검정을 쓴다. 차이를 x̄₁ − x̄₂(집단 1 빼기 집단 2)로 하여 H₀: μ₁ = μ₂에 대한 검정 통계량 t을(를) 구하시오.
n₁ = 9x̄₁ = 23.5s₁ = 12n₂ = 5x̄₂ = 33.4s₂ = 2
t =
12.가설 검정과 신뢰구간어려움
평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 0.5 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 4입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.
σ = 4E = 0.599%
n =
13.선형 회귀와 상관보통
표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.
n = 5Σx = 35Σy = 433Σx² = 285Σy² = 39403Σxy = 3305
r =
14.선형 회귀와 상관어려움
표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (18.5, 102)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.
n = 6(18.5, 102)
e =
15.카이제곱 검정보통
분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “교직원, 버스”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.
행 합계 = 90열 합계 = 62N = 173
E =
16.카이제곱 검정어려움
카이제곱 적합도 검정으로 9개 범주의 도수가, 같은 자료에서 평균을 추정한 푸아송 분포를 따르는지 확인합니다. 표를 이용해 유의수준 α = 0.01에서 임곗값 χ²crit을(를) 구하세요.
α = 0.01
χ²crit =
3용액
1.심리학 연구 방법
답: C · 맨–휘트니 U 검정
이것이 답인 이유
맨–휘트니 U 검정은 서로 관련 없는 두 집단 간의 순위를 비교합니다. 윌콕슨 부호순위 검정은 관련 표본용입니다.
답
C · 맨–휘트니 U 검정
2.심리학 연구 방법
답: C · 학생들을 서로 다른 수면 일정에 무선 배정한다
이것이 답인 이유
무선 배정으로 수면을 조작해야만 제3의 변수를 통제하고, 윤리적 한계 안에서 인과 추론을 할 수 있습니다.
답
C · 학생들을 서로 다른 수면 일정에 무선 배정한다
3.기술통계
답: s = 10.21
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
평균
x̄ = 183/5 = 36.6
편차의 제곱
Σ(x − x̄)² = (−14.6)² + (−1.6)² + 13.4² + 4.4² + (−1.6)² = 417.2
표준편차
s = √(417.2/4) = 10.21
답
s = 10.21
4.기술통계
답: P = 0.2743
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
표준화하기
z = 0.6
표준정규분포표
Φ(0.6) = 0.7257
P = 1 − 0.7257 = 0.2743
답
P = 0.2743
5.확률
답: P = 0.359
확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
첫 번째와 두 번째 꺼내기
P = 8/13 · 7/12 = 56/156 = 0.359
답
P = 0.359
6.확률
답: σY = 1.987
이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.
X의 퍼짐
μ = 2.25, Var(X) = 0.9875, σX = 0.9937
일차 변환
σY = |−2|·0.9937 = 1.987
답
σY = 1.987
평균은 실제로 이동합니다: E(Y) = −2·2.25 + 1 = −3.5.
7.정규분포
답: P = 0.9192
정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μX ± μY. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σX² + σY²이므로 σ = √(σX² + σY²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.
합의 분포
μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm
표준화하기
z = (199.3 − 200)/0.5 = −1.4
위쪽 꼬리
P = 1 − Φ(−1.4) = 1 − 0.08076 = 0.9192
답
P = 0.9192
8.정규분포
답: P = 0.7389
정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μX ± μY. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σX² + σY²이므로 σ = √(σX² + σY²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.
차의 분포
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm
표준화하기
z = (0 − 10)/15.62 = −0.64
확률
P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389
답
P = 0.7389
9.신뢰구간
답: E = 8.68
평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.
임계값
df = n − 1 = 8, t = 1.86
오차 한계
E = 1.86·14/√9 = 8.68
답
E = 8.68
10.신뢰구간
답: 상한 = −2.55 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
합동 표준 편차
sp² = (15·3.5² + 14·4.5²)/29 = 16.11
sp = 4.014
오차 한계
E = 2.045·4.014·√(1/16 + 1/15) = 2.95
구간
−5.5 ± 2.95 → [−8.45, −2.55]
답
상한 = −2.55 kg
11.가설 검정과 신뢰구간
답: t = −1.799
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
합동 분산
sp² = (8·12² + 4·2²)/12 = 97.33
sp = 9.866
표준오차
SE = 9.866·√(1/9 + 1/5) = 5.503
검정통계량
t = (23.5 − 33.4)/5.503 = −1.799
답
t = −1.799
df = 12에서 양측 5% 임곗값은 2.179입니다. |t|가 더 작으므로 H₀를 기각하지 않습니다.
12.가설 검정과 신뢰구간
답: n = 425
평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.
n에 대해 풀기
n = (2.576·4/0.5)² = 424.7
올림하기
n = 425
답
n = 425
13.선형 회귀와 상관
답: r = 0.9925
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
중심화한 합
Sxy = 3305 − 35·433/5 = 274
Sxx = 285 − 35²/5 = 40
Syy = 39403 − 433²/5 = 1905
상관계수
r = 274/√(40·1905) = 0.9925
답
r = 0.9925
14.선형 회귀와 상관
답: e = −4.6
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 147/6 = 24.5
ȳ = 846/6 = 141
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 903
회귀직선
b = 903/157.5 = 5.733
a = 141 − 5.733·24.5 = 0.5333
ŷ = 0.5333 + 5.733·x
예측값
ŷ = 0.5333 + 5.733·18.5 = 106.6
잔차
e = 102 − 106.6 = −4.6
답
e = −4.6
점이 직선 아래쪽에 있습니다.
15.카이제곱 검정
답: E = 32.25
카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.
기대 도수
E = 90·62/173 = 32.25
답
E = 32.25
16.카이제곱 검정
답: χ²crit = 18.48
카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.
자유도
df = 9 − 1 − 1 = 7
표
χ²crit(df = 7, α = 0.01) = 18.475
답
χ²crit = 18.475
계산한 χ²이 이 값보다 크면 H₀을 기각합니다.
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