심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

전문가들이 수학 시험 문항이 교육과정의 모든 주제를 다루는지 확인합니다. 이것은 무엇을 평가합니까?

A검사–재검사 신뢰도
B예측 타당도
C내용 타당도
D생태학적 타당도

2.심리학 연구 방법어려움

어떤 연구에서 잠을 더 많이 자는 학생이 성적이 더 높았습니다. 인과적 결론을 가장 잘 가능하게 하는 설계 변경은 무엇입니까?

A성적을 더 정확하게 측정한다
B더 많은 학생을 조사한다
C학생들을 서로 다른 수면 일정에 무선 배정한다
D학생들에게 수면을 두 번 보고하게 하여 두 보고의 평균을 낸다

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 44, 35, 22, 16, 23, 24, 13.

n = 7

s =

4.기술통계어려움

시험 점수는 평균 100, 표준편차 15인 정규분포를 따릅니다. 92.5점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 100σ = 15x = 92.5

z =

5.확률보통

11명 중에서 5명으로 된 위원회를 뽑는 방법 N은 몇 가지일까요? 순서는 상관없습니다.

n = 11k = 5

N =

6.확률어려움

부품 11개를 시험하며, 각 부품은 독립적으로 확률 0.3로 고장 납니다. 고장이 많아야 하나일 확률 P는 얼마일까요?

n = 11p = 0.3

P =

7.정규분포보통

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 96.25에서 118.75 점 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 100σ = 15x₁ = 96.25x₂ = 118.75

P =

8.정규분포어려움

배송 시간은(는) 평균 32 min, 표준편차 6 min인 정규분포를 따릅니다. 전체의 95%가 그 아래에 있는 값 x(95 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 32σ = 6P = 95%

x = min

9.신뢰구간보통

두 휴대전화 모델의 배터리 수명을 비교한다. 모델 1: 휴대전화 40대, 평균 61 h, 알려진 표준 편차 18 h. 모델 2: 휴대전화 40대, 평균 47 h, 알려진 표준 편차 12 h. μ₁ − μ₂에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하시오.

n₁ = 40x̄₁ = 61 hσ₁ = 18 hn₂ = 40x̄₂ = 47 hσ₂ = 12 h90%

E = h

10.신뢰구간어려움

불량품 비율에 대해서는 사전에 알려진 것이 없다. 비율에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 최대 0.05이(가) 되려면 제품을 몇 개 n 검사해야 하는가?

p = 0.5E = 0.0595%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

직원 20명이 교육 과정 전후에 타자 시험을 본다. 각 사람에 대해 차이 d = 후 − 전(분당 단어 수)을 기록한다. 평균 차이는 −0.29, 차이의 표준 편차는 1.6이다. H₀: μ_d = 0에 대한 대응 검정 통계량 t을(를) 구하시오.

n = 20d̄ = −0.29s_d = 1.6

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 0.5 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 12입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.

σ = 12E = 0.599%

n =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 5

r² =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (23, 105)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 5(23, 105)

e =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1802 × 2

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.01에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 2203 × 2α = 0.01

χ² =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: C · 내용 타당도

이것이 답인 이유

내용 타당도는 측정이 구성개념의 모든 관련 측면을 다루는 정도이며, 보통 전문가가 판단합니다.

답

C · 내용 타당도

2.심리학 연구 방법

답: C · 학생들을 서로 다른 수면 일정에 무선 배정한다

이것이 답인 이유

무선 배정으로 수면을 조작해야만 제3의 변수를 통제하고, 윤리적 한계 안에서 인과 추론을 할 수 있습니다.

답

C · 학생들을 서로 다른 수면 일정에 무선 배정한다

3.기술통계

답: s = 10.8

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 177/7 = 25.29

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 18.71² + 9.714² + (−3.286)² + (−9.286)² + (−2.286)² + (−1.286)² + (−12.29)² = 699.4

표준편차

s = √(699.4/6) = 10.8

답

s = 10.8

4.기술통계

답: z = −0.5

표준화하기

z = (92.5 − 100)/15 = −0.5

답

z = −0.5

5.확률

답: N = 462

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

조합

C(11, 5) = (11·10·9·8·7)/(5·4·3·2·1) = 462

답

N = 462

6.확률

답: P = 0.113

고장 0개와 1개

P(X = 0) = 0.7¹¹ = 0.01977

P(X = 1) = 11·0.3·0.7¹⁰ = 0.09322

더하기

P = 0.01977 + 0.09322 = 0.113

답

P = 0.113

7.정규분포

답: P = 0.4931

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (96.25 − 100)/15 = −0.25

z₂ = (118.75 − 100)/15 = 1.25

사이의 넓이

P = Φ(1.25) − Φ(−0.25) = 0.8944 − 0.4013 = 0.4931

답

P = 0.4931

8.정규분포

답: x = 41.87 min

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.95 → z = 1.645

다시 x로

x = 32 + 1.645·6 = 41.87 min

답

x = 41.87 min

9.신뢰구간

답: E = 5.627 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

점추정값

x̄₁ − x̄₂ = 61 − 47 = 14

표준오차

SE = √(18²/40 + 12²/40) = 3.421

오차 한계

E = 1.645·3.421 = 5.627

답

E = 5.627 h

구간이 0을 포함하지 않으므로 두 평균은 유의하게 다릅니다.

10.신뢰구간

답: n = 385

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n에 대해 풀기

n = 1.96²·0.5·0.5/0.05² = 384.2

올림하기

n = 385

답

n = 385

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −0.8106

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

평균 차이의 표준 오차

SE = 1.6/√20 = 0.3578

검정통계량

t = −0.29/0.3578 = −0.8106

답

t = −0.8106

df = 19에서 양측 5% 임곗값은 2.093입니다. |t|가 더 작으므로 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 3823

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

n에 대해 풀기

n = (2.576·12/0.5)² = 3822

올림하기

n = 3823

답

n = 3823

13.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.885

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 112/5 = 22.4

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 45.2

결정계수

r² = −20²/(10·45.2) = 0.885

답

r² = 0.885

y의 변동 중 약 88.5%가 직선으로 설명됩니다.

14.선형 회귀와 상관

답: e = 5.15

평균

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 446/5 = 89.2

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 142

회귀직선

b = 142/40 = 3.55

a = 89.2 − 3.55·20 = 18.2

ŷ = 18.2 + 3.55·x

예측값

ŷ = 18.2 + 3.55·23 = 99.85

잔차

e = 105 − 99.85 = 5.15

답

e = 5.15

점이 직선 위쪽에 있습니다.

15.카이제곱 검정

답: χ² = 55.1

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

남성: 120·108/180 = 72, 120·72/180 = 48

여성: 60·108/180 = 36, 60·72/180 = 24

카이제곱 통계량

χ² = (95 − 72)²/72 + (25 − 48)²/48 + (13 − 36)²/36 + (47 − 24)²/24

χ² = 55.1

답

χ² = 55.1

df = 1. α = 0.05에서 임곗값은 3.841이므로 H₀(독립)은 기각됩니다.

16.카이제곱 검정

답: χ² = 39.94

기대 도수

공장 A: 64, 16

공장 B: 32, 8

공장 C: 80, 20

카이제곱 통계량

χ² = (46 − 64)²/64 + (34 − 16)²/16 + (38 − 32)²/32 + (2 − 8)²/8 + (92 − 80)²/80 + (8 − 20)²/20

χ² = 39.94

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 9.210

39.94 > 9.210

답

χ² = 39.94

χ²이 임곗값보다 크므로 H₀을 기각합니다. 두 변수는 관련이 있는 것으로 보입니다.

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