심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

연구자가 성별이 기억 점수에 미치는 영향을 연구합니다. 이것이 진실험이 아니라 준실험인 이유는 무엇입니까?

A종속변수를 측정하지 않는다
B연구가 실험실에서 이루어진다
C독립변수가 이미 존재하는 특성이므로 참가자를 무선 배정할 수 없다
D조건이 두 개뿐인데 진실험에는 독립변수의 수준이 최소 세 개 필요하기 때문이다

2.심리학 연구 방법어려움

연구자가 아홉 시점에서 자료를 모으고 보정 없이 매번 5% 수준에서 검정합니다. 무엇이 문제입니까?

A적어도 한 번 거짓 양성이 나올 확률이 5%를 크게 넘는다
B자료가 매번 더 신뢰할 만해지므로 마지막 검정이 가장 정확하다
C검정할 때마다 효과 크기가 줄어든다
D이 방법에는 아무 문제가 없다

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 11, 10, 18, 23, 49, 53.

n = 6

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 500, 표준편차 50인 정규분포를 따릅니다. 400보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 500σ = 50x = 400

P =

5.확률보통

표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.15, 0.3, 0.2, 0.35

σ =

6.확률어려움

부품 9개를 시험하며, 각 부품은 독립적으로 확률 0.1로 고장 납니다. 고장이 많아야 하나일 확률 P는 얼마일까요?

n = 9p = 0.1

P =

7.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 z의 오른쪽 색칠한 넓이가 0.7054이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.7054

z =

8.정규분포어려움

배송 시간은(는) 평균 32 min, 표준편차 6 min인 정규분포를 따릅니다. 전체의 80%가 그 아래에 있는 값 x(80 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 32σ = 6P = 80%

x = min

9.신뢰구간보통

항목 12개의 표본 평균은 63.5, 표준편차는 s = 5.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 12x̄ = 63.5s = 5.599%t(11) = 3.106

상한 =

10.신뢰구간어려움

모표준편차는 34입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 34E = 590%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

두 교수법을 비교한다. 집단 1: 학생 5명, 평균 점수 26, 표준 편차 7.5. 집단 2: 학생 7명, 평균 점수 30.6, 표준 편차 4. 모집단 분산이 같다고 가정하고 합동 이표본 t 검정을 쓴다. 차이를 x̄₁ − x̄₂(집단 1 빼기 집단 2)로 하여 H₀: μ₁ = μ₂에 대한 검정 통계량 t을(를) 구하시오.

n₁ = 5x̄₁ = 26s₁ = 7.5n₂ = 7x̄₂ = 30.6s₂ = 4

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 64개의 표본 평균은 198.2입니다. 모표준편차는 8입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 하한 L를 구하세요.

x̄ = 198.2σ = 8n = 6495%

L =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 5

r² =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 3일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 5x = 3

ŷ =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1602 × 2

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

카이제곱 적합도 검정으로 8개 범주의 관측 도수를 완전히 지정된 기대 비율과 비교합니다(자료에서 추정한 모수 없음). 이 검정의 자유도 df은(는) 얼마인가요?

k = 8

df =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: C · 독립변수가 이미 존재하는 특성이므로 참가자를 무선 배정할 수 없다

이것이 답인 이유

준실험에서 독립변수는 사람들 사이에 자연적으로 존재하는 차이입니다. 무선 배정이 없으므로 집단 간 다른 차이가 결과를 혼입시킬 수 있습니다.

답

C · 독립변수가 이미 존재하는 특성이므로 참가자를 무선 배정할 수 없다

2.심리학 연구 방법

답: A · 적어도 한 번 거짓 양성이 나올 확률이 5%를 크게 넘는다

이것이 답인 이유

독립적인 검정을 아홉 번 하면 적어도 한 번 제1종 오류가 날 확률은 약 1 − 0.95⁹ ≈ 37%입니다. 본페로니 보정 같은 방법으로 이를 해결합니다.

답

A · 적어도 한 번 거짓 양성이 나올 확률이 5%를 크게 넘는다

3.기술통계

답: s = 18.98

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 164/6 = 27.33

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−16.33)² + (−17.33)² + (−9.333)² + (−4.333)² + 21.67² + 25.67² = 1801

표준편차

s = √(1801/5) = 18.98

답

s = 18.98

4.기술통계

답: P = 0.9772

표준화하기

z = −2

표준정규분포표

Φ(−2) = 0.02275

P = 1 − 0.02275 = 0.9772

답

P = 0.9772

5.확률

답: σ = 1.09

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.15 + 1·0.3 + 2·0.2 + 3·0.35 = 1.75

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.15 + 1·0.3 + 4·0.2 + 9·0.35 = 4.25

분산

Var(X) = 4.25 − 1.75² = 1.188

σ = √1.188 = 1.09

답

σ = 1.09

6.확률

답: P = 0.7748

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

고장 0개와 1개

P(X = 0) = 0.9⁹ = 0.3874

P(X = 1) = 9·0.1·0.9⁸ = 0.3874

더하기

P = 0.3874 + 0.3874 = 0.7748

답

P = 0.7748

7.정규분포

답: z = −0.54

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = 1 − 0.7054 = 0.2946

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.2946을 찾아 z를 읽으세요.

z = −0.54

답

z = −0.54

8.정규분포

답: x = 37.05 min

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

다시 x로

x = 32 + 0.8416·6 = 37.05 min

답

x = 37.05 min

9.신뢰구간

답: 상한 = 68.43

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 11, t = 3.106

오차 한계

E = 3.106·5.5/√12 = 4.931

구간

63.5 ± 4.931 → [58.57, 68.43]

답

상한 = 68.43

10.신뢰구간

답: n = 126

n에 대해 풀기

n = (1.645·34/5)² = 125.1

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 126

답

n = 126

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −1.387

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

합동 분산

s_p² = (4·7.5² + 6·4²)/10 = 32.1

s_p = 5.666

표준오차

SE = 5.666·√(1/5 + 1/7) = 3.317

검정통계량

t = (26 − 30.6)/3.317 = −1.387

답

t = −1.387

df = 10에서 양측 5% 임곗값은 2.228입니다. |t|가 더 작으므로 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: L = 196.2

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

오차 한계

E = 1.96·8/√64 = 1.96

구간 끝값

L = 198.2 − 1.96 = 196.2

답

L = 196.2

13.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9396

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 198/5 = 39.6

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 96

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 245.2

결정계수

r² = 96²/(40·245.2) = 0.9396

답

r² = 0.9396

y의 변동 중 약 93.96%가 직선으로 설명됩니다.

14.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 8.95

평균

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 89/5 = 17.8

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118

회귀직선

b = 118/40 = 2.95

a = 17.8 − 2.95·6 = 0.1

ŷ = 0.1 + 2.95·x

예측

ŷ = 0.1 + 2.95·3 = 8.95

답

ŷ = 8.95

15.카이제곱 검정

답: χ² = 2.54

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

신약: 40·48/160 = 12, 40·112/160 = 28

위약: 120·48/160 = 36, 120·112/160 = 84

카이제곱 통계량

χ² = (8 − 12)²/12 + (32 − 28)²/28 + (40 − 36)²/36 + (80 − 84)²/84

χ² = 2.54

답

χ² = 2.54

df = 1. α = 0.05에서 임곗값은 3.841이므로 H₀(독립)은 기각되지 않습니다.

16.카이제곱 검정

답: df = 7

자유도

df = 8 − 1 = 7

답

df = 7

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