심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

연구자가 성별이 기억 점수에 미치는 영향을 연구합니다. 이것이 진실험이 아니라 준실험인 이유는 무엇입니까?

A조건이 두 개뿐인데 진실험에는 독립변수의 수준이 최소 세 개 필요하기 때문이다
B독립변수가 이미 존재하는 특성이므로 참가자를 무선 배정할 수 없다
C종속변수를 측정하지 않는다
D연구가 실험실에서 이루어진다

2.심리학 연구 방법어려움

연구자가 아홉 시점에서 자료를 모으고 보정 없이 매번 5% 수준에서 검정합니다. 무엇이 문제입니까?

A적어도 한 번 거짓 양성이 나올 확률이 5%를 크게 넘는다
B검정할 때마다 효과 크기가 줄어든다
C이 방법에는 아무 문제가 없다
D자료가 매번 더 신뢰할 만해지므로 마지막 검정이 가장 정확하다

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 57, 55, 12, 45, 36, 10, 41.

n = 7

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 500, 표준편차 100인 정규분포를 따릅니다. 450보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 500σ = 100x = 450

P =

5.확률보통

표의 분포에 대해 X의 분산 Var(X)을(를) 구하시오.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.1, 0.3, 0.25

Var(X) =

6.확률어려움

부품 10개를 시험하며, 각 부품은 독립적으로 확률 0.4로 고장 납니다. 고장이 많아야 하나일 확률 P는 얼마일까요?

n = 10p = 0.4

P =

7.정규분포보통

X는 평균 60 s, 표준편차 5 s인 정규분포를 따르고, Y는 독립이며 평균 45 s, 표준편차 4 s인 정규분포를 따릅니다. X + Y가 114.6 s보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 114.6 s

P =

8.정규분포어려움

구멍 지름 D는 평균 25.02 mm, 표준편차 0.02 mm인 정규분포를 따릅니다. 축 지름 d는 독립이며 평균 25 mm, 표준편차 0.015 mm인 정규분포를 따릅니다. 무작위로 고른 축은 D − d > 0일 때 끼워집니다. 끼워질 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

구멍: μ = 25.02 mm, σ = 0.02 mm축: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

9.신뢰구간보통

환자 9명의 혈압을 치료 전후에 측정한다. 차이 d = 전 − 후(mmHg)의 평균은 5.9, 표준 편차는 1이다. 평균 차이에 대한 90% 신뢰구간의 상한을 구하시오.

n = 9d̄ = 5.9s_d = 190%t(8) = 1.86

상한 = mmHg

10.신뢰구간어려움

기계 가공한 축 16개의 지름의 표본 표준 편차는 11.9 µm이다. 지름이 정규 분포를 따른다고 가정하고, 모집단 표준 편차에 대한 95% 신뢰구간의 하한 σ을(를) 구하시오. df = 15에서 χ² 분포의 2.5%는 6.262 아래에, 2.5%는 27.488 위에 있다.

n = 16s = 11.9 µmχ² = 6.262, 27.488

σ = µm

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 100명 표본의 평균 점수는 103.5, 표본 표준편차는 12입니다. H₀: μ = 100에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 100x̄ = 103.5s = 12n = 100

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 36개의 표본 평균은 502.5입니다. 모표준편차는 5입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 상한 U를 구하세요.

x̄ = 502.5σ = 5n = 3695%

U =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 6

r² =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (7, 30)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 5(7, 30)

e =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “농촌, 낮음”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.

행 합계 = 71열 합계 = 45N = 141

E =

16.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.05에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 1803 × 2α = 0.05

χ² =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: B · 독립변수가 이미 존재하는 특성이므로 참가자를 무선 배정할 수 없다

이것이 답인 이유

준실험에서 독립변수는 사람들 사이에 자연적으로 존재하는 차이입니다. 무선 배정이 없으므로 집단 간 다른 차이가 결과를 혼입시킬 수 있습니다.

답

B · 독립변수가 이미 존재하는 특성이므로 참가자를 무선 배정할 수 없다

2.심리학 연구 방법

답: A · 적어도 한 번 거짓 양성이 나올 확률이 5%를 크게 넘는다

이것이 답인 이유

독립적인 검정을 아홉 번 하면 적어도 한 번 제1종 오류가 날 확률은 약 1 − 0.95⁹ ≈ 37%입니다. 본페로니 보정 같은 방법으로 이를 해결합니다.

답

A · 적어도 한 번 거짓 양성이 나올 확률이 5%를 크게 넘는다

3.기술통계

답: s = 18.96

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 256/7 = 36.57

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 20.43² + 18.43² + (−24.57)² + 8.429² + (−0.5714)² + (−26.57)² + 4.429² = 2158

표준편차

s = √(2158/6) = 18.96

답

s = 18.96

4.기술통계

답: P = 0.3085

표준화하기

z = −0.5

표준정규분포표

Φ(−0.5) = 0.3085

P = 0.3085

답

P = 0.3085

5.확률

답: Var(X) = 5.79

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.35 + 2·0.1 + 4·0.3 + 6·0.25 = 2.9

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.35 + 4·0.1 + 16·0.3 + 36·0.25 = 14.2

분산

Var(X) = 14.2 − 2.9² = 5.79

답

Var(X) = 5.79

6.확률

답: P = 0.04636

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

고장 0개와 1개

P(X = 0) = 0.6¹⁰ = 0.006047

P(X = 1) = 10·0.4·0.6⁹ = 0.04031

더하기

P = 0.006047 + 0.04031 = 0.04636

답

P = 0.04636

7.정규분포

답: P = 0.06681

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합의 분포

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

표준화하기

z = (114.6 − 105)/6.403 = 1.5

위쪽 꼬리

P = 1 − Φ(1.5) = 1 − 0.9332 = 0.06681

답

P = 0.06681

8.정규분포

답: P = 0.7881

차의 분포

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.025 mm

표준화하기

z = (0 − 0.02)/0.025 = −0.8

확률

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

답

P = 0.7881

9.신뢰구간

답: 상한 = 6.52 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

임계값

df = 8, t = 1.86

오차 한계

E = 1.86·1/√9 = 0.62

구간

5.9 ± 0.62 → [5.28, 6.52]

답

상한 = 6.52 mmHg

10.신뢰구간

답: σ = 8.791 µm

분산의 구간: (n − 1)s²/σ²은 자유도 n − 1의 χ² 분포를 따릅니다. σ²의 95% 구간은 (n − 1)s²를 위쪽 χ² 값(그 위에 2.5%)으로 나눈 값에서 아래쪽 χ² 값(그 아래에 2.5%)으로 나눈 값까지이며, σ의 구간은 두 한계의 제곱근입니다. 이 구간은 s를 중심으로 대칭이 아닙니다.

제곱합

(n − 1)s² = 15·11.9² = 2124

σ²의 한계

2124/27.488 = 77.28

2124/6.262 = 339.2

σ의 한계

σ = √77.28 = 8.791 µm

답

σ = 8.791 µm

σ의 95% 구간: [8.791, 18.42] µm.

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 2.917

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 12/√100 = 12/10 = 1.2

검정통계량

t = (103.5 − 100)/1.2 = 2.917

답

t = 2.917

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| > 1.984이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: U = 504.1

오차 한계

E = 1.96·5/√36 = 1.633

구간 끝값

U = 502.5 + 1.633 = 504.1

답

U = 504.1

13.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.91

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 100/6 = 16.67

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −51

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 163.3

결정계수

r² = −51²/(17.5·163.3) = 0.91

답

r² = 0.91

y의 변동 중 약 91%가 직선으로 설명됩니다.

14.선형 회귀와 상관

답: e = 4.1

평균

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 112/5 = 22.4

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140

회귀직선

b = 140/40 = 3.5

a = 22.4 − 3.5·6 = 1.4

ŷ = 1.4 + 3.5·x

예측값

ŷ = 1.4 + 3.5·7 = 25.9

잔차

e = 30 − 25.9 = 4.1

답

e = 4.1

점이 직선 위쪽에 있습니다.

15.카이제곱 검정

답: E = 22.66

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

E = 71·45/141 = 22.66

답

E = 22.66

16.카이제곱 검정

답: χ² = 0.8

기대 도수

18–30세: 30, 10

31–50세: 45, 15

51세 이상: 60, 20

카이제곱 통계량

χ² = (28 − 30)²/30 + (12 − 10)²/10 + (45 − 45)²/45 + (15 − 15)²/15 + (62 − 60)²/60 + (18 − 20)²/20

χ² = 0.8

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 5.991

0.8 < 5.991

답

χ² = 0.8

χ²이 임곗값보다 작으므로 H₀을 기각하지 않습니다. 관련성에 대한 유의한 증거가 없습니다.

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