기술통계
- 평균
- x̄ = Σx/n
- 표본 표준편차
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 중앙값
- 정렬한 데이터의 가운데 값
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- 정규분포
- ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%
심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
확률
- 여사건
- P(not A) = 1 − P(A)
- 덧셈 정리
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 독립 사건
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 조건부 확률
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 이항분포
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
정규분포
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- x 미만
- P(X < x) = Φ(z)
- x 초과
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 두 값 사이
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 백분위수
- x = μ + z·σ
방법
- 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
- z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
- 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
- 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.
신뢰구간
- σ를 알 때
- x̄ ± z·σ/√n
- σ를 모를 때
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 임계 z값
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 표본 크기
- n = (z·σ/E)², rounded up
방법
- z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
- 신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
- 오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
- 구간: x̄ ± E.
가설 검정과 신뢰구간
- 평균에 대한 z 검정
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 평균에 대한 t 검정
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 유의수준 5% 양측 검정
- |z| > 1.96이면 H0 기각
- 신뢰구간
- x̄ ± z·σ/√n
방법
- H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
- 검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
- 임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
- 통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.
선형 회귀와 상관
- 제곱합
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 기울기
- b = Sxy/Sxx
- 절편
- a = ȳ − b·x̄
- 상관계수
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 잔차
- e = y − ŷ
카이제곱 검정
- 검정통계량
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 적합도 검정
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 독립성 검정
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 임곗값(α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 의사 결정
- χ² > χ²crit이면 H0을 기각
2연습 문제
1.심리학 연구 방법보통
상관에서 r = 0.40입니다. 한 변수의 분산 중 다른 변수와 공유되는 비율은 얼마입니까?
- A4%
- B40%
- C60%
- D16%
2.심리학 연구 방법어려움
연구자가 아이스크림 판매량과 익사 사망이 정적 상관이 있음을 발견합니다. 가장 그럴듯한 설명은 무엇입니까?
- A그 상관은 틀림없이 계산 오류이다
- B더운 날씨가 아이스크림 판매와 수영을 모두 늘린다
- C아이스크림이 익사를 일으킨다
- D익사가 아이스크림 판매를 늘린다
3.기술통계보통
자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 27, 53, 45, 57, 30.
n = 5
s =
4.기술통계어려움
시험 점수는 평균 500, 표준편차 60인 정규분포를 따릅니다. 536점의 z점수 z를 구하세요.
μ = 500σ = 60x = 536
z =
5.확률보통
공정한 주사위를 6번 던집니다. 6이 적어도 한 번 나올 확률 P는 얼마일까요?
n = 6
P =
6.확률어려움
게임 한 판을 하는 데 €1이 듭니다. 확률 0.2로 €5을, 확률 0.01로 €10을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.
건 돈 = €1€5: p = 0.2€10: p = 0.01
E(G) = €
7.정규분포보통
성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 174.85에서 183.6 cm 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.
μ = 178σ = 7x1 = 174.85x2 = 183.6
P =
8.정규분포어려움
한 집단에서 남성의 키 X와 여성의 키 Y은(는) 독립이며 정규분포를 따릅니다. X는 평균 180 cm, 표준편차 10 cm이고 Y는 평균 170 cm, 표준편차 12 cm입니다. X가 Y보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
9.신뢰구간보통
항목 13개의 표본 평균은 55, 표준편차는 s = 8.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 상한을 구하세요.
n = 13x̄ = 55s = 8.599%t(12) = 3.055
상한 =
10.신뢰구간어려움
예비 연구에 따르면 제품의 약 0.7이(가) 불량이다. 비율에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 최대 0.04이(가) 되려면 제품을 몇 개 n 검사해야 하는가?
p ≈ 0.7E = 0.0499%
n =
11.가설 검정과 신뢰구간보통
학생 81명 표본의 평균 점수는 120.9, 표본 표준편차는 4입니다. H₀: μ = 120에 대한 검정통계량 t를 구하세요.
μ₀ = 120x̄ = 120.9s = 4n = 81
t =
12.가설 검정과 신뢰구간어려움
측정값 36개의 표본 평균은 498.4입니다. 모표준편차는 8입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 하한 L를 구하세요.
x̄ = 498.4σ = 8n = 3695%
L =
13.선형 회귀와 상관보통
표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.
n = 5
r =
14.선형 회귀와 상관어려움
표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (3.5, 62)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.
n = 6(3.5, 62)
e =
15.카이제곱 검정보통
분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.
N = 2002 × 2
χ² =
16.카이제곱 검정어려움
카이제곱 적합도 검정으로 4개 범주의 관측 도수를 완전히 지정된 기대 비율과 비교합니다(자료에서 추정한 모수 없음). 표를 이용해 유의수준 α = 0.01에서 임곗값 χ²crit을(를) 구하세요.
α = 0.01
χ²crit =
3용액
1.심리학 연구 방법
답: D · 16%
이것이 답인 이유
결정계수는 r²이며 여기서는 0.40² = 0.16이므로 분산의 16%가 공유됩니다.
답
D · 16%
2.심리학 연구 방법
답: B · 더운 날씨가 아이스크림 판매와 수영을 모두 늘린다
이것이 답인 이유
제3의 변수인 기온이 둘 다를 일으킵니다. 이는 상관만으로는 인과를 보여 줄 수 없는 이유를 보여 줍니다.
답
B · 더운 날씨가 아이스크림 판매와 수영을 모두 늘린다
3.기술통계
답: s = 13.45
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
평균
x̄ = 212/5 = 42.4
편차의 제곱
Σ(x − x̄)² = (−15.4)² + 10.6² + 2.6² + 14.6² + (−12.4)² = 723.2
표준편차
s = √(723.2/4) = 13.45
답
s = 13.45
4.기술통계
답: z = 0.6
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
표준화하기
z = (536 − 500)/60 = 0.6
답
z = 0.6
5.확률
답: P = 0.6651
확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
여사건
P(6이 안 나옴) = (5/6)6 = 0.3349
P = 1 − 0.3349 = 0.6651
답
P = 0.6651
6.확률
답: E(G) = 0.1 €
이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.
순 결과
G: 4 (p = 0.2), 9 (p = 0.01), −1 (p = 0.79)
기댓값
E(G) = 4·0.2 + 9·0.01 − 1·0.79 = 0.1 €
답
E(G) = 0.1 €
양수는 평균적으로 돈을 딴다는 뜻입니다.
7.정규분포
답: P = 0.4618
정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.
z점수
z₁ = (174.85 − 178)/7 = −0.45
z₂ = (183.6 − 178)/7 = 0.8
사이의 넓이
P = Φ(0.8) − Φ(−0.45) = 0.7881 − 0.3264 = 0.4618
답
P = 0.4618
8.정규분포
답: P = 0.7389
정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μX ± μY. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σX² + σY²이므로 σ = √(σX² + σY²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.
차의 분포
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm
표준화하기
z = (0 − 10)/15.62 = −0.64
확률
P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389
답
P = 0.7389
9.신뢰구간
답: 상한 = 62.2
평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.
임계값
df = n − 1 = 12, t = 3.055
오차 한계
E = 3.055·8.5/√13 = 7.202
구간
55 ± 7.202 → [47.8, 62.2]
답
상한 = 62.2
10.신뢰구간
답: n = 871
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
n에 대해 풀기
n = 2.576²·0.7·0.3/0.04² = 870.9
올림하기
n = 871
답
n = 871
11.가설 검정과 신뢰구간
답: t = 2.025
평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.
표준오차
SE = 4/√81 = 4/9 = 0.4444
검정통계량
t = (120.9 − 120)/0.4444 = 2.025
답
t = 2.025
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| > 1.99이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.
12.가설 검정과 신뢰구간
답: L = 495.8
평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.
오차 한계
E = 1.96·8/√36 = 2.613
구간 끝값
L = 498.4 − 2.613 = 495.8
답
L = 495.8
13.선형 회귀와 상관
답: r = −0.9623
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 87/5 = 17.4
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30
Syy = Σ(y − ȳ)² = 97.2
상관계수
r = −30/√(10·97.2) = −0.9623
답
r = −0.9623
14.선형 회귀와 상관
답: e = −3.943
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 33/6 = 5.5
ȳ = 456/6 = 76
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 88
회귀직선
b = 88/17.5 = 5.029
a = 76 − 5.029·5.5 = 48.34
ŷ = 48.34 + 5.029·x
예측값
ŷ = 48.34 + 5.029·3.5 = 65.94
잔차
e = 62 − 65.94 = −3.943
답
e = −3.943
점이 직선 아래쪽에 있습니다.
15.카이제곱 검정
답: χ² = 27.27
카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.
기대 도수
흡연자: 120·90/200 = 54, 120·110/200 = 66
비흡연자: 80·90/200 = 36, 80·110/200 = 44
카이제곱 통계량
χ² = (36 − 54)²/54 + (84 − 66)²/66 + (54 − 36)²/36 + (26 − 44)²/44
χ² = 27.27
답
χ² = 27.27
df = 1. α = 0.05에서 임곗값은 3.841이므로 H₀(독립)은 기각됩니다.
16.카이제곱 검정
답: χ²crit = 11.35
카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.
자유도
df = 4 − 1 = 3
표
χ²crit(df = 3, α = 0.01) = 11.345
답
χ²crit = 11.345
계산한 χ²이 이 값보다 크면 H₀을 기각합니다.
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