심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

평균 50에 대한 95% 신뢰구간이 46에서 54입니다. 가장 정확한 해석은 무엇입니까?

A결과가 유의하지 않다
B사용된 절차는 95%의 경우 참 평균을 포함하는 구간을 만든다
C표본 평균이 50일 확률이 95%이다
D표본 참가자의 95%가 그 측정에서 46에서 54 사이의 점수를 받았다

2.심리학 연구 방법어려움

서열척도의 사전·사후 점수처럼 대응되는 두 표본을 비교하는 비모수 검정은 무엇입니까?

A맨-휘트니 U 검정
B카이제곱 독립성 검정
C윌콕슨 부호순위 검정
D독립표본 t검정

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 11, 26, 52, 20, 26, 55.

n = 6

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 60, 표준편차 5인 정규분포를 따릅니다. 55보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 60σ = 5x = 55

P =

5.확률보통

공정한 주사위를 2번 던집니다. 6이 적어도 한 번 나올 확률 P는 얼마일까요?

n = 2

P =

6.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 7개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.7로 맞힙니다. 정확히 1개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 7p = 0.7k = 1

P =

7.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 −z와 z 사이의 색칠한 넓이가 0.6778이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.6778

z =

8.정규분포어려움

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 상위 90%가 오른쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.

μ = 100 점σ = 15 점90%

x = 점

9.신뢰구간보통

관측값 50개와 알려진 σ에 근거한 평균의 95% 신뢰구간의 오차 한계는 9.2이다. 같은 자료로 99% 구간을 만들면 오차 한계 E₂은(는) 얼마인가?

95%n₁ = 50E₁ = 9.299%

E₂ =

10.신뢰구간어려움

모표준편차는 29입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 3 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 29E = 390%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 64명 표본의 평균 점수는 101.8, 표본 표준편차는 5입니다. H₀: μ = 100에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 100x̄ = 101.8s = 5n = 64

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 36개의 표본 평균은 118.7입니다. 모표준편차는 4입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 상한 U를 구하세요.

x̄ = 118.7σ = 4n = 3695%

U =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 21을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 6ŷ = 21

x =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “농촌, 낮음”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.

행 합계 = 54열 합계 = 60N = 159

E =

16.카이제곱 검정어려움

행 2개, 열 5개(합계 제외)인 분할표로 카이제곱 독립성 검정을 합니다. 표를 이용해 유의수준 α = 0.01에서 임곗값 χ²_crit을(를) 구하세요.

α = 0.01

χ²_crit =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: B · 사용된 절차는 95%의 경우 참 평균을 포함하는 구간을 만든다

이것이 답인 이유

95% 신뢰구간은 모집단 모수에 대해 그럴듯한 값의 범위를 제시합니다. 더 큰 표본에서 얻은 더 좁은 구간은 더 정밀한 추정을 뜻합니다.

답

B · 사용된 절차는 95%의 경우 참 평균을 포함하는 구간을 만든다

2.심리학 연구 방법

답: C · 윌콕슨 부호순위 검정

이것이 답인 이유

윌콕슨 부호순위 검정은 짝지어진 서열 자료에 쓰이며, 맨-휘트니 U 검정은 독립 집단에 대한 대응 검정입니다.

답

C · 윌콕슨 부호순위 검정

3.기술통계

답: s = 17.81

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 190/6 = 31.67

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−20.67)² + (−5.667)² + 20.33² + (−11.67)² + (−5.667)² + 23.33² = 1585

표준편차

s = √(1585/5) = 17.81

답

s = 17.81

4.기술통계

답: P = 0.8413

표준화하기

z = −1

표준정규분포표

Φ(−1) = 0.1587

P = 1 − 0.1587 = 0.8413

답

P = 0.8413

5.확률

답: P = 0.3056

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

여사건

P(6이 안 나옴) = (5/6)² = 0.6944

P = 1 − 0.6944 = 0.3056

답

P = 0.3056

6.확률

답: P = 0.003572

이항분포 공식

P(X = 1) = 7·0.7¹·0.3⁶ = 7·0.7·0.000729 = 0.003572

답

P = 0.003572

7.정규분포

답: z = 0.99

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = (1 + 0.6778)/2 = 0.8389

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.8389을 찾아 z를 읽으세요.

z = 0.99

답

z = 0.99

8.정규분포

답: x = 80.8 점

왼쪽 넓이

Φ(z) = 0.1

표에서 구한 z

z ≈ −1.28

원래 단위로 되돌리기

x = 100 − 1.28·15 = 80.8 점

답

x = 80.8 점

9.신뢰구간

답: E₂ = 12.09

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

오차 한계의 비

E₂/E₁ = (2.576/1.96)·√(50/50) = 1.314

새 오차 한계

E₂ = 9.2·1.314 = 12.09

답

E₂ = 12.09

10.신뢰구간

답: n = 253

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = (1.645·29/3)² = 252.9

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 253

답

n = 253

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 2.88

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 5/√64 = 5/8 = 0.625

검정통계량

t = (101.8 − 100)/0.625 = 2.88

답

t = 2.88

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| > 1.998이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: U = 120

오차 한계

E = 1.96·4/√36 = 1.307

구간 끝값

U = 118.7 + 1.307 = 120

답

U = 120

13.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9789

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 153/6 = 25.5

ȳ = 420/6 = 70

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 471

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1470

상관계수

r = 471/√(157.5·1470) = 0.9789

답

r = 0.9789

14.선형 회귀와 상관

답: x = 4.728

평균

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 134/6 = 22.33

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19

회귀직선

b = −19/17.5 = −1.086

a = 22.33 − (−1.086)·3.5 = 26.13

ŷ = 26.13 − 1.086·x

x 구하기

x = (21 − 26.13)/(−1.086) = 4.728

답

x = 4.728

15.카이제곱 검정

답: E = 20.38

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

E = 54·60/159 = 20.38

답

E = 20.38

16.카이제곱 검정

답: χ²_crit = 13.28

자유도

df = (2 − 1)·(5 − 1) = 4

표

χ²_crit(df = 4, α = 0.01) = 13.277

답

χ²_crit = 13.277

계산한 χ²이 이 값보다 크면 H₀을 기각합니다.

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