심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

어떤 연구가 사전 등록(preregistered)되었습니다. 이것은 무엇을 뜻합니까?

A결과가 출판 전에 독립된 두 번째 통계학자의 점검과 승인을 받았다
B가설, 방법, 분석 계획이 자료 수집 전에 공개적으로 기록되었다
C참가자가 온라인으로 동의를 등록했다
D연구가 이미 발표되었다

2.심리학 연구 방법어려움

연구자가 설문지, 면담, 관찰을 사용하여 직장 스트레스를 연구하고 그 결과가 일치합니다. 이러한 접근을 무엇이라고 합니까?

A역균형화
B층화
C삼각검증
D반복 연구

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 17, 33, 57, 51, 15, 39, 42.

n = 7

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 170, 표준편차 15인 정규분포를 따릅니다. 147.5보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 170σ = 15x = 147.5

P =

5.확률보통

주머니에 빨간 공 5개와 파란 공 8개가 있습니다. 첫 공을 다시 넣지 않고 두 개를 꺼냅니다. 두 공이 모두 빨간 공일 확률 P는 얼마일까요?

5 / 8

P =

6.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 6개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.4로 맞힙니다. 정확히 2개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 6p = 0.4k = 2

P =

7.정규분포보통

성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 171에서 188.85 cm 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 178σ = 7x₁ = 171x₂ = 188.85

P =

8.정규분포어려움

배송 시간은(는) 평균 32 min, 표준편차 6 min인 정규분포를 따릅니다. 전체의 75%가 그 아래에 있는 값 x(75 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 32σ = 6P = 75%

x = min

9.신뢰구간보통

관측값 50개와 알려진 σ에 근거한 평균의 95% 신뢰구간의 오차 한계는 7.2이다. 관측값 200개에 근거한 99% 구간의 오차 한계 E₂은(는) 얼마인가?

95%n₁ = 50E₁ = 7.299%n₂ = 200

E₂ =

10.신뢰구간어려움

기계 가공한 축 21개의 지름의 표본 표준 편차는 11.5 µm이다. 지름이 정규 분포를 따른다고 가정하고, 모집단 표준 편차에 대한 95% 신뢰구간의 상한 σ을(를) 구하시오. df = 20에서 χ² 분포의 2.5%는 9.591 아래에, 2.5%는 34.17 위에 있다.

n = 21s = 11.5 µmχ² = 9.591, 34.17

σ = µm

11.가설 검정과 신뢰구간보통

두 교수법을 비교한다. 집단 1: 학생 8명, 평균 점수 37.5, 표준 편차 3.5. 집단 2: 학생 13명, 평균 점수 34.9, 표준 편차 6. 모집단 분산이 같다고 가정하고 합동 이표본 t 검정을 쓴다. 차이를 x̄₁ − x̄₂(집단 1 빼기 집단 2)로 하여 H₀: μ₁ = μ₂에 대한 검정 통계량 t을(를) 구하시오.

n₁ = 8x̄₁ = 37.5s₁ = 3.5n₂ = 13x̄₂ = 34.9s₂ = 6

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

H₀: μ = 200 대 H₁: μ < 200의 단측 z 검정을 표본 크기 100, α = 0.10에서 실시한다. 표준 편차는 15로 알려져 있다. 실제 평균은 197.3이다. 제2종 오류의 확률 β을(를) 퍼센트로 구하시오.

μ₀ = 200μ = 197.3σ = 15n = 100α = 0.10

β = %

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 6

r² =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (16, 79)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 6(16, 79)

e =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1802 × 2

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

카이제곱 적합도 검정으로 8개 범주의 도수가, 같은 자료에서 평균을 추정한 푸아송 분포를 따르는지 확인합니다. 표를 이용해 유의수준 α = 0.01에서 임곗값 χ²_crit을(를) 구하세요.

α = 0.01

χ²_crit =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: B · 가설, 방법, 분석 계획이 자료 수집 전에 공개적으로 기록되었다

이것이 답인 이유

사전 등록은 확증적 분석과 탐색적 분석을 구분하고 p-해킹과 HARKing 같은 관행을 줄입니다.

답

B · 가설, 방법, 분석 계획이 자료 수집 전에 공개적으로 기록되었다

2.심리학 연구 방법

답: C · 삼각검증

이것이 답인 이유

삼각검증은 여러 방법, 자료원 또는 연구자를 사용합니다. 그들 간의 일치는 결과의 타당도에 대한 확신을 높입니다.

답

C · 삼각검증

3.기술통계

답: s = 15.92

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 254/7 = 36.29

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−19.29)² + (−3.286)² + 20.71² + 14.71² + (−21.29)² + 2.714² + 5.714² = 1521

표준편차

s = √(1521/6) = 15.92

답

s = 15.92

4.기술통계

답: P = 0.9332

표준화하기

z = −1.5

표준정규분포표

Φ(−1.5) = 0.06681

P = 1 − 0.06681 = 0.9332

답

P = 0.9332

5.확률

답: P = 0.1282

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

첫 번째와 두 번째 꺼내기

P = 5/13 · 4/12 = 20/156 = 0.1282

답

P = 0.1282

6.확률

답: P = 0.311

이항분포 공식

P(X = 2) = 15·0.4²·0.6⁴ = 15·0.16·0.1296 = 0.311

답

P = 0.311

7.정규분포

답: P = 0.7808

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (171 − 178)/7 = −1

z₂ = (188.85 − 178)/7 = 1.55

사이의 넓이

P = Φ(1.55) − Φ(−1) = 0.9394 − 0.1587 = 0.7808

답

P = 0.7808

8.정규분포

답: x = 36.05 min

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745

다시 x로

x = 32 + 0.6745·6 = 36.05 min

답

x = 36.05 min

9.신뢰구간

답: E₂ = 4.731

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

오차 한계의 비

E₂/E₁ = (2.576/1.96)·√(50/200) = 0.6571

새 오차 한계

E₂ = 7.2·0.6571 = 4.731

답

E₂ = 4.731

10.신뢰구간

답: σ = 16.61 µm

분산의 구간: (n − 1)s²/σ²은 자유도 n − 1의 χ² 분포를 따릅니다. σ²의 95% 구간은 (n − 1)s²를 위쪽 χ² 값(그 위에 2.5%)으로 나눈 값에서 아래쪽 χ² 값(그 아래에 2.5%)으로 나눈 값까지이며, σ의 구간은 두 한계의 제곱근입니다. 이 구간은 s를 중심으로 대칭이 아닙니다.

제곱합

(n − 1)s² = 20·11.5² = 2645

σ²의 한계

2645/34.17 = 77.41

2645/9.591 = 275.8

σ의 한계

σ = √275.8 = 16.61 µm

답

σ = 16.61 µm

σ의 95% 구간: [8.798, 16.61] µm.

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 1.108

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

합동 분산

s_p² = (7·3.5² + 12·6²)/19 = 27.25

s_p = 5.22

표준오차

SE = 5.22·√(1/8 + 1/13) = 2.346

검정통계량

t = (37.5 − 34.9)/2.346 = 1.108

답

t = 1.108

df = 19에서 양측 5% 임곗값은 2.093입니다. |t|가 더 작으므로 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: β = 30.22 %

검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

임계 표본 평균

SE = 15/√100 = 1.5

x̄_c = 200 − 1.282·1.5 = 198.1

참 평균에서의 z

z = (198.1 − 197.3)/1.5 = 0.518

제2종 오류

검정력 = P(Z < 0.518) = 69.78%

β = 100% − 69.78% = 30.22%

답

β = 30.22%

13.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9667

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 405/6 = 67.5

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 133.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1054

결정계수

r² = 133.5²/(17.5·1054) = 0.9667

답

r² = 0.9667

y의 변동 중 약 96.67%가 직선으로 설명됩니다.

14.선형 회귀와 상관

답: e = −4.533

평균

x̄ = 120/6 = 20

ȳ = 626/6 = 104.3

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 364

회귀직선

b = 364/70 = 5.2

a = 104.3 − 5.2·20 = 0.3333

ŷ = 0.3333 + 5.2·x

예측값

ŷ = 0.3333 + 5.2·16 = 83.53

잔차

e = 79 − 83.53 = −4.533

답

e = −4.533

점이 직선 아래쪽에 있습니다.

15.카이제곱 검정

답: χ² = 5.76

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

흡연자: 80·90/180 = 40, 80·90/180 = 40

비흡연자: 100·90/180 = 50, 100·90/180 = 50

카이제곱 통계량

χ² = (48 − 40)²/40 + (32 − 40)²/40 + (42 − 50)²/50 + (58 − 50)²/50

χ² = 5.76

답

χ² = 5.76

df = 1. α = 0.05에서 임곗값은 3.841이므로 H₀(독립)은 기각됩니다.

16.카이제곱 검정

답: χ²_crit = 16.81

자유도

df = 8 − 1 − 1 = 6

표

χ²_crit(df = 6, α = 0.01) = 16.812

답

χ²_crit = 16.812

계산한 χ²이 이 값보다 크면 H₀을 기각합니다.

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