심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

연구자가 모든 학생에게 설문지를 보낸 뒤, 응답자에게 드문 수면 앱을 사용하는 친구를 모집해 달라고 요청합니다. 두 번째 단계에서 사용된 표집 방법은 무엇입니까?

A체계적 표집
B눈덩이 표집
C무선 표집
D층화 표집

2.심리학 연구 방법어려움

심리학의 '재현성 위기'는 무엇을 말합니까?

A발표된 많은 결과가 새로운 연구에서 재현되지 않는 것
B학술지가 제출된 모든 재현 연구를 거부하도록 법으로 요구받는 것
C실험 참가자가 부족한 것
D허락 없이 질문지를 복사하는 것

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 60, 10, 50, 25, 18, 15.

n = 6

s =

4.기술통계어려움

시험 점수는 평균 500, 표준편차 100인 정규분포를 따릅니다. 380점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 500σ = 100x = 380

z =

5.확률보통

주머니에 빨간 공 6개와 파란 공 8개가 있습니다. 첫 공을 다시 넣지 않고 두 개를 꺼냅니다. 두 공이 모두 빨간 공일 확률 P는 얼마일까요?

6 / 8

P =

6.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 11개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.5로 맞힙니다. 정확히 4개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 11p = 0.5k = 4

P =

7.정규분포보통

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 88.75에서 103.75 점 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 100σ = 15x₁ = 88.75x₂ = 103.75

P =

8.정규분포어려움

한 집단에서 남성의 키 X와 여성의 키 Y은(는) 독립이며 정규분포를 따릅니다. X는 평균 180 cm, 표준편차 10 cm이고 Y는 평균 170 cm, 표준편차 12 cm입니다. X가 Y보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

9.신뢰구간보통

항목 8개의 표본 평균은 29, 표준편차는 s = 16.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하세요.

n = 8x̄ = 29s = 16.590%t(7) = 1.895

E =

10.신뢰구간어려움

두 비료를 시험한다. 구획 집단 1: 5개 구획, 평균 수확량 98 kg, 표준 편차 5.5 kg. 구획 집단 2: 7개 구획, 평균 90.5 kg, 표준 편차 5.5 kg. 분산이 같다고 가정한다(합동 t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂에 대한 95% 신뢰구간의 하한을 구하시오.

n₁ = 5x̄₁ = 98s₁ = 5.5n₂ = 7x̄₂ = 90.5s₂ = 5.595%t(10) = 2.228

하한 = kg

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 100명 표본의 평균 점수는 119.6, 표본 표준편차는 4입니다. H₀: μ = 120에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 120x̄ = 119.6s = 4n = 100

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 2.5 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 10입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.

σ = 10E = 2.599%

n =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6Σx = 36Σy = 412Σx² = 286Σy² = 29108Σxy = 2710

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 41을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 6ŷ = 41

x =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1002 × 3

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

행 3개, 열 6개(합계 제외)인 분할표로 카이제곱 독립성 검정을 합니다. 이 검정의 자유도 df은(는) 얼마인가요?

3 × 6

df =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: B · 눈덩이 표집

이것이 답인 이유

눈덩이 표집은 접근하기 어려운 집단에 유용하지만, 표본이 특성을 공유할 가능성이 크고 대표성이 없습니다.

답

B · 눈덩이 표집

2.심리학 연구 방법

답: A · 발표된 많은 결과가 새로운 연구에서 재현되지 않는 것

이것이 답인 이유

대규모 재현 프로젝트에서는 많은 효과가 더 작거나 나타나지 않았으며, 이는 출판 편향, 작은 표본, 유연한 분석과 관련이 있습니다. 사전 등록이 대응책 중 하나입니다.

답

A · 발표된 많은 결과가 새로운 연구에서 재현되지 않는 것

3.기술통계

답: s = 20.46

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 178/6 = 29.67

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 30.33² + (−19.67)² + 20.33² + (−4.667)² + (−11.67)² + (−14.67)² = 2093

표준편차

s = √(2093/5) = 20.46

답

s = 20.46

4.기술통계

답: z = −1.2

표준화하기

z = (380 − 500)/100 = −1.2

답

z = −1.2

5.확률

답: P = 0.1648

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

첫 번째와 두 번째 꺼내기

P = 6/14 · 5/13 = 30/182 = 0.1648

답

P = 0.1648

6.확률

답: P = 0.1611

이항분포 공식

P(X = 4) = 330·0.5⁴·0.5⁷ = 330·0.0625·0.007813 = 0.1611

답

P = 0.1611

7.정규분포

답: P = 0.3721

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (88.75 − 100)/15 = −0.75

z₂ = (103.75 − 100)/15 = 0.25

사이의 넓이

P = Φ(0.25) − Φ(−0.75) = 0.5987 − 0.2266 = 0.3721

답

P = 0.3721

8.정규분포

답: P = 0.7389

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

차의 분포

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

표준화하기

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

확률

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

답

P = 0.7389

9.신뢰구간

답: E = 11.05

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 7, t = 1.895

오차 한계

E = 1.895·16.5/√8 = 11.05

답

E = 11.05

10.신뢰구간

답: 하한 = 0.3248 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

합동 표준 편차

s_p² = (4·5.5² + 6·5.5²)/10 = 30.25

s_p = 5.5

오차 한계

E = 2.228·5.5·√(1/5 + 1/7) = 7.175

구간

7.5 ± 7.175 → [0.3248, 14.68]

답

하한 = 0.3248 kg

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −1

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 4/√100 = 4/10 = 0.4

검정통계량

t = (119.6 − 120)/0.4 = −1

답

t = −1

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| < 1.984이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 107

n에 대해 풀기

n = (2.576·10/2.5)² = 106.2

올림하기

n = 107

답

n = 107

13.선형 회귀와 상관

답: r = 0.995

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 2710 − 36·412/6 = 238

S_xx = 286 − 36²/6 = 70

S_yy = 29108 − 412²/6 = 817.3

상관계수

r = 238/√(70·817.3) = 0.995

답

r = 0.995

14.선형 회귀와 상관

답: x = 10.98

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 162/6 = 27

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 246

회귀직선

b = 246/70 = 3.514

a = 27 − 3.514·7 = 2.4

ŷ = 2.4 + 3.514·x

x 구하기

x = (41 − 2.4)/3.514 = 10.98

답

x = 10.98

15.카이제곱 검정

답: χ² = 2.5

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

주간 근무: 40·30/100 = 12, 40·30/100 = 12, 40·40/100 = 16

야간 근무: 60·30/100 = 18, 60·30/100 = 18, 60·40/100 = 24

카이제곱 통계량

χ² = (9 − 12)²/12 + (15 − 12)²/12 + (16 − 16)²/16 + (21 − 18)²/18 + (15 − 18)²/18 + (24 − 24)²/24

χ² = 2.5

답

χ² = 2.5

df = 2. α = 0.05에서 임곗값은 5.991이므로 H₀(독립)은 기각되지 않습니다.

16.카이제곱 검정

답: df = 10

자유도

df = (3 − 1)·(6 − 1) = 10

답

df = 10

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