심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

연구자가 모든 학생에게 설문지를 보낸 뒤, 응답자에게 드문 수면 앱을 사용하는 친구를 모집해 달라고 요청합니다. 두 번째 단계에서 사용된 표집 방법은 무엇입니까?

A층화 표집
B눈덩이 표집
C무선 표집
D체계적 표집

2.심리학 연구 방법어려움

주제 분석에서 분석자가 주로 하는 일은 무엇입니까?

A단어 빈도만 센다
B수치적 가설을 검정한다
C질적 자료 전반에서 반복되는 의미 패턴을 찾아낸다
D각 주제의 평균 점수를 계산하여 통계적으로 비교한다

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 27, 21, 38, 55, 13, 52, 37.

n = 7

s =

4.기술통계어려움

시험 점수는 평균 170, 표준편차 8인 정규분포를 따릅니다. 154점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 170σ = 8x = 154

z =

5.확률보통

표의 분포에 대해 X의 분산 Var(X)을(를) 구하시오.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.25, 0.35, 0.1, 0.3

Var(X) =

6.확률어려움

게임 한 판을 하는 데 €1이 듭니다. 확률 0.25로 €3을, 확률 0.01로 €20을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €1€3: p = 0.25€20: p = 0.01

E(G) = €

7.정규분포보통

X는 평균 60 s, 표준편차 5 s인 정규분포를 따르고, Y는 독립이며 평균 45 s, 표준편차 4 s인 정규분포를 따릅니다. X + Y가 101.8 s보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 101.8 s

P =

8.정규분포어려움

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 전체의 90%가 그 아래에 있는 값 x(90 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 100σ = 15P = 90%

x = 점

9.신뢰구간보통

관측값 100개와 알려진 σ에 근거한 평균의 90% 신뢰구간의 오차 한계는 6.3이다. 같은 연구에서 관측값을 400개로 하면 오차 한계 E₂은(는) 얼마인가?

90%n₁ = 100E₁ = 6.3n₂ = 400

E₂ =

10.신뢰구간어려움

모표준편차는 31입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 2 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 31E = 290%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

두 생산 라인이 같은 부품을 만든다. 라인 1: 부품 40개 표본의 평균 길이는 56 mm이고, 라인의 알려진 표준 편차는 19 mm이다. 라인 2: 부품 80개 표본의 평균은 44.8 mm, 알려진 표준 편차는 18 mm이다. 차이를 x̄₁ − x̄₂(라인 1 빼기 라인 2)로 하여 H₀: μ₁ = μ₂에 대한 검정 통계량 z을(를) 구하시오.

n₁ = 40x̄₁ = 56 mmσ₁ = 19 mmn₂ = 80x̄₂ = 44.8 mmσ₂ = 18 mm

z =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

α = 0.05의 단측 z 검정이 평균의 2.5단위 이동을 검정력 80%로 검출해야 한다. 표준 편차는 16이다. 최소 표본 크기 n을(를) 구하시오.

α = 0.05검정력 = 80%δ = 2.5σ = 16z_α = 1.645z_β = 0.842

n =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6Σx = 48Σy = 530Σx² = 454Σy² = 50534Σxy = 4750

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (3.5, 15)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 6(3.5, 15)

e =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “주간 근무, 중대한 결함”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.

행 합계 = 78열 합계 = 23N = 122

E =

16.카이제곱 검정어려움

행 4개, 열 4개(합계 제외)인 분할표로 카이제곱 독립성 검정을 합니다. 이 검정의 자유도 df은(는) 얼마인가요?

4 × 4

df =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: B · 눈덩이 표집

이것이 답인 이유

눈덩이 표집은 접근하기 어려운 집단에 유용하지만, 표본이 특성을 공유할 가능성이 크고 대표성이 없습니다.

답

B · 눈덩이 표집

2.심리학 연구 방법

답: C · 질적 자료 전반에서 반복되는 의미 패턴을 찾아낸다

이것이 답인 이유

주제 분석은 자료에 익숙해지기, 부호화, 주제 생성·검토·명명, 보고서 작성으로 이루어지며 통계보다 의미에 초점을 둡니다.

답

C · 질적 자료 전반에서 반복되는 의미 패턴을 찾아낸다

3.기술통계

답: s = 15.52

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 243/7 = 34.71

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−7.714)² + (−13.71)² + 3.286² + 20.29² + (−21.71)² + 17.29² + 2.286² = 1445

표준편차

s = √(1445/6) = 15.52

답

s = 15.52

4.기술통계

답: z = −2

표준화하기

z = (154 − 170)/8 = −2

답

z = −2

5.확률

답: Var(X) = 134.8

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 10·0.25 + 20·0.35 + 30·0.1 + 40·0.3 = 24.5

제곱의 평균

E(X²) = 100·0.25 + 400·0.35 + 900·0.1 + 1600·0.3 = 735

분산

Var(X) = 735 − 24.5² = 134.8

답

Var(X) = 134.8

6.확률

답: E(G) = −0.05 €

순 결과

G: 2 (p = 0.25), 19 (p = 0.01), −1 (p = 0.74)

기댓값

E(G) = 2·0.25 + 19·0.01 − 1·0.74 = −0.05 €

답

E(G) = −0.05 €

음수는 평균적으로 돈을 잃는다는 뜻입니다.

7.정규분포

답: P = 0.6915

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합의 분포

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

표준화하기

z = (101.8 − 105)/6.403 = −0.5

위쪽 꼬리

P = 1 − Φ(−0.5) = 1 − 0.3085 = 0.6915

답

P = 0.6915

8.정규분포

답: x = 119.2 점

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

다시 x로

x = 100 + 1.282·15 = 119.22 점

답

x = 119.22 점

9.신뢰구간

답: E₂ = 3.15

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

오차 한계의 비

E₂/E₁ = (1.645/1.645)·√(100/400) = 0.5

새 오차 한계

E₂ = 6.3·0.5 = 3.15

답

E₂ = 3.15

10.신뢰구간

답: n = 651

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = (1.645·31/2)² = 650.1

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 651

답

n = 651

11.가설 검정과 신뢰구간

답: z = 3.097

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

차의 표준 오차

SE = √(19²/40 + 18²/80) = √13.07 = 3.616

검정통계량

z = (56 − 44.8)/3.616 = 3.097

답

z = 3.097

|z| > 1.96이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 254

검정의 표본 크기: 수준 α의 단측 z 검정에서 참 이동 δ를 검정력 1 − β로 검출하려면 표준 오차가 δ = (z_α + z_β)·σ/√n을 만족해야 하므로 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²이고, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = ((1.645 + 0.842)·16/2.5)² = 253.3

올림하기

n = 254

답

n = 254

13.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9998

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 4750 − 48·530/6 = 510

S_xx = 454 − 48²/6 = 70

S_yy = 50534 − 530²/6 = 3717

상관계수

r = 510/√(70·3717) = 0.9998

답

r = 0.9998

14.선형 회귀와 상관

답: e = −5

평균

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 120/6 = 20

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36

회귀직선

b = −36/17.5 = −2.057

a = 20 − (−2.057)·3.5 = 27.2

ŷ = 27.2 − 2.057·x

예측값

ŷ = 27.2 + (−2.057)·3.5 = 20

잔차

e = 15 − 20 = −5

답

e = −5

점이 직선 아래쪽에 있습니다.

15.카이제곱 검정

답: E = 14.7

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

E = 78·23/122 = 14.7

답

E = 14.7

16.카이제곱 검정

답: df = 9

자유도

df = (4 − 1)·(4 − 1) = 9

답

df = 9

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