심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

소득처럼 정적으로 편포된 분포에서는 어떻습니까?

A평균이 중앙값보다 작다
B평균이 중앙값보다 크다
C극단 점수가 없다
D평균과 중앙값이 항상 같다

2.심리학 연구 방법어려움

코헨의 d 같은 효과 크기를 보고하는 이유는 무엇입니까?

A표본 크기와 관계없이 효과가 얼마나 큰지 보여 주기 때문
B어떤 가설도 필요 없게 만들기 때문
C몇 명의 참가자가 탈락했는지 알려 주기 때문
D선택한 알파 수준에서 결과가 통계적으로 유의한지 보여 주기 때문

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 45, 26, 14, 57, 14, 21, 44.

n = 7

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 100, 표준편차 10인 정규분포를 따릅니다. 110보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 100σ = 10x = 110

P =

5.확률보통

표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.3, 0.25, 0.3, 0.15

σ =

6.확률어려움

게임 한 판을 하는 데 €10이 듭니다. 확률 0.15로 €50을, 확률 0.02로 €200을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €10€50: p = 0.15€200: p = 0.02

E(G) = €

7.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 z의 오른쪽 색칠한 넓이가 0.6255이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.6255

z =

8.정규분포어려움

배송 시간은(는) 평균 32 min, 표준편차 6 min인 정규분포를 따릅니다. 전체의 5%가 그 아래에 있는 값 x(5 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 32σ = 6P = 5%

x = min

9.신뢰구간보통

항목 13개의 표본 평균은 71.5, 표준편차는 s = 11.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 13x̄ = 71.5s = 11.599%t(12) = 3.055

하한 =

10.신뢰구간어려움

두 비료를 시험한다. 구획 집단 1: 6개 구획, 평균 수확량 63.5 kg, 표준 편차 2.5 kg. 구획 집단 2: 6개 구획, 평균 60.5 kg, 표준 편차 1.5 kg. 분산이 같다고 가정한다(합동 t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂에 대한 90% 신뢰구간의 상한을 구하시오.

n₁ = 6x̄₁ = 63.5s₁ = 2.5n₂ = 6x̄₂ = 60.5s₂ = 1.590%t(10) = 1.812

상한 = kg

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 36명 표본의 평균 점수는 73.83, 표본 표준편차는 5입니다. H₀: μ = 75에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 75x̄ = 73.83s = 5n = 36

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

α = 0.01의 단측 z 검정이 평균의 2.5단위 이동을 검정력 80%로 검출해야 한다. 표준 편차는 13이다. 최소 표본 크기 n을(를) 구하시오.

α = 0.01검정력 = 80%δ = 2.5σ = 13z_α = 2.326z_β = 0.842

n =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 6

r² =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 29.5일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 6x = 29.5

ŷ =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1202 × 3

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.01에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 2003 × 2α = 0.01

χ² =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: B · 평균이 중앙값보다 크다

이것이 답인 이유

오른쪽 꼬리의 매우 높은 값 몇 개가 평균을 중앙값보다 높이므로, 편포된 자료에서는 흔히 중앙값을 보고합니다.

답

B · 평균이 중앙값보다 크다

2.심리학 연구 방법

답: A · 표본 크기와 관계없이 효과가 얼마나 큰지 보여 주기 때문

이것이 답인 이유

표본이 크면 아주 작은 효과도 유의할 수 있습니다. 효과 크기는 차이의 크기를 나타내며, 예를 들어 d = 0.2는 작음, 0.5는 중간, 0.8은 큼입니다.

답

A · 표본 크기와 관계없이 효과가 얼마나 큰지 보여 주기 때문

3.기술통계

답: s = 17.04

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 221/7 = 31.57

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 13.43² + (−5.571)² + (−17.57)² + 25.43² + (−17.57)² + (−10.57)² + 12.43² = 1742

표준편차

s = √(1742/6) = 17.04

답

s = 17.04

4.기술통계

답: P = 0.8413

표준화하기

z = 1

표준정규분포표

Φ(1) = 0.8413

P = 0.8413

답

P = 0.8413

5.확률

답: σ = 10.54

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 10·0.3 + 20·0.25 + 30·0.3 + 40·0.15 = 23

제곱의 평균

E(X²) = 100·0.3 + 400·0.25 + 900·0.3 + 1600·0.15 = 640

분산

Var(X) = 640 − 23² = 111

σ = √111 = 10.54

답

σ = 10.54

6.확률

답: E(G) = 1.5 €

순 결과

G: 40 (p = 0.15), 190 (p = 0.02), −10 (p = 0.83)

기댓값

E(G) = 40·0.15 + 190·0.02 − 10·0.83 = 1.5 €

답

E(G) = 1.5 €

양수는 평균적으로 돈을 딴다는 뜻입니다.

7.정규분포

답: z = −0.32

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = 1 − 0.6255 = 0.3745

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.3745을 찾아 z를 읽으세요.

z = −0.32

답

z = −0.32

8.정규분포

답: x = 22.13 min

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

다시 x로

x = 32 + −1.645·6 = 22.13 min

답

x = 22.13 min

9.신뢰구간

답: 하한 = 61.76

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 12, t = 3.055

오차 한계

E = 3.055·11.5/√13 = 9.744

구간

71.5 ± 9.744 → [61.76, 81.24]

답

하한 = 61.76

10.신뢰구간

답: 상한 = 5.157 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

합동 표준 편차

s_p² = (5·2.5² + 5·1.5²)/10 = 4.25

s_p = 2.062

오차 한계

E = 1.812·2.062·√(1/6 + 1/6) = 2.157

구간

3 ± 2.157 → [0.8433, 5.157]

답

상한 = 5.157 kg

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −1.404

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 5/√36 = 5/6 = 0.8333

검정통계량

t = (73.83 − 75)/0.8333 = −1.404

답

t = −1.404

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| < 2.03이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 272

검정의 표본 크기: 수준 α의 단측 z 검정에서 참 이동 δ를 검정력 1 − β로 검출하려면 표준 오차가 δ = (z_α + z_β)·σ/√n을 만족해야 하므로 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²이고, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = ((2.326 + 0.842)·13/2.5)² = 271.4

올림하기

n = 272

답

n = 272

13.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9911

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 186/6 = 31

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 276

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1098

결정계수

r² = 276²/(70·1098) = 0.9911

답

r² = 0.9911

y의 변동 중 약 99.11%가 직선으로 설명됩니다.

14.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 165.9

평균

x̄ = 141/6 = 23.5

ȳ = 785/6 = 130.8

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 919.5

회귀직선

b = 919.5/157.5 = 5.838

a = 130.8 − 5.838·23.5 = −6.362

ŷ = −6.362 + 5.838·x

예측

ŷ = −6.362 + 5.838·29.5 = 165.9

답

ŷ = 165.9

15.카이제곱 검정

답: χ² = 22.38

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

도시: 80·18/120 = 12, 80·48/120 = 32, 80·54/120 = 36

농촌: 40·18/120 = 6, 40·48/120 = 16, 40·54/120 = 18

카이제곱 통계량

χ² = (14 − 12)²/12 + (42 − 32)²/32 + (24 − 36)²/36 + (4 − 6)²/6 + (6 − 16)²/16 + (30 − 18)²/18

χ² = 22.38

답

χ² = 22.38

df = 2. α = 0.05에서 임곗값은 5.991이므로 H₀(독립)은 기각됩니다.

16.카이제곱 검정

답: χ² = 32.12

기대 도수

1라인: 30, 30

2라인: 40, 40

3라인: 30, 30

카이제곱 통계량

χ² = (19 − 30)²/30 + (41 − 30)²/30 + (33 − 40)²/40 + (47 − 40)²/40 + (48 − 30)²/30 + (12 − 30)²/30

χ² = 32.12

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 9.210

32.12 > 9.210

답

χ² = 32.12

χ²이 임곗값보다 크므로 H₀을 기각합니다. 두 변수는 관련이 있는 것으로 보입니다.

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