심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

소득처럼 정적으로 편포된 분포에서는 어떻습니까?

A평균이 중앙값보다 크다
B평균이 중앙값보다 작다
C극단 점수가 없다
D평균과 중앙값이 항상 같다

2.심리학 연구 방법어려움

참가자 10명의 연구에서 크지만 유의하지 않은 효과가 나타났습니다. 가장 적절한 결론은 무엇입니까?

A그 효과는 틀림없이 제1종 오류이다
B효과가 유의하지 않았으므로 연구가 영가설이 참임을 증명한다
C연구의 검정력이 부족했을 수 있으므로 결과는 결론을 내릴 수 없다
D효과 크기가 틀림없이 잘못 계산되었다

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 59, 57, 12, 45, 20.

n = 5

s =

4.기술통계어려움

시험 점수는 평균 50, 표준편차 12인 정규분포를 따릅니다. 32점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 50σ = 12x = 32

z =

5.확률보통

주머니에 빨간 공 8개와 파란 공 3개가 있습니다. 첫 공을 다시 넣지 않고 두 개를 꺼냅니다. 두 공이 모두 빨간 공일 확률 P는 얼마일까요?

8 / 3

P =

6.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 8개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.25로 맞힙니다. 정확히 2개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 8p = 0.25k = 2

P =

7.정규분포보통

배송 시간은(는) 평균 32 min, 표준편차 6 min인 정규분포를 따릅니다. 20.3에서 39.2 min 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 32σ = 6x₁ = 20.3x₂ = 39.2

P =

8.정규분포어려움

주자 A의 한 바퀴 시간 X와 주자 B의 한 바퀴 시간 Y은(는) 독립이며 정규분포를 따릅니다. X는 평균 52 s, 표준편차 4 s이고 Y는 평균 48 s, 표준편차 3 s입니다. X가 Y보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.신뢰구간보통

관측값 100개와 알려진 σ에 근거한 평균의 95% 신뢰구간의 오차 한계는 5.6이다. 같은 연구에서 관측값을 25개로 하면 오차 한계 E₂은(는) 얼마인가?

95%n₁ = 100E₁ = 5.6n₂ = 25

E₂ =

10.신뢰구간어려움

예비 연구에 따르면 제품의 약 0.4이(가) 불량이다. 비율에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 최대 0.02이(가) 되려면 제품을 몇 개 n 검사해야 하는가?

p ≈ 0.4E = 0.0299%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 49명 표본의 평균 점수는 121.7, 표본 표준편차는 4입니다. H₀: μ = 120에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 120x̄ = 121.7s = 4n = 49

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 1 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 20입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.

σ = 20E = 190%

n =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 6

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (11, 33)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 6(11, 33)

e =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1002 × 2

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

카이제곱 적합도 검정으로 4개 범주의 도수가, 같은 자료에서 평균을 추정한 푸아송 분포를 따르는지 확인합니다. 이 검정의 자유도 df은(는) 얼마인가요?

k = 4

df =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: A · 평균이 중앙값보다 크다

이것이 답인 이유

오른쪽 꼬리의 매우 높은 값 몇 개가 평균을 중앙값보다 높이므로, 편포된 자료에서는 흔히 중앙값을 보고합니다.

답

A · 평균이 중앙값보다 크다

2.심리학 연구 방법

답: C · 연구의 검정력이 부족했을 수 있으므로 결과는 결론을 내릴 수 없다

이것이 답인 이유

표본이 작으면 실제 효과도 흔히 유의성에 도달하지 못합니다(제2종 오류). 연구자는 효과 크기와 신뢰구간을 보고하고 더 큰 표본으로 반복해야 합니다.

답

C · 연구의 검정력이 부족했을 수 있으므로 결과는 결론을 내릴 수 없다

3.기술통계

답: s = 21.5

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 193/5 = 38.6

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 20.4² + 18.4² + (−26.6)² + 6.4² + (−18.6)² = 1849

표준편차

s = √(1849/4) = 21.5

답

s = 21.5

4.기술통계

답: z = −1.5

표준화하기

z = (32 − 50)/12 = −1.5

답

z = −1.5

5.확률

답: P = 0.5091

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

첫 번째와 두 번째 꺼내기

P = 8/11 · 7/10 = 56/110 = 0.5091

답

P = 0.5091

6.확률

답: P = 0.3115

이항분포 공식

P(X = 2) = 28·0.25²·0.75⁶ = 28·0.0625·0.178 = 0.3115

답

P = 0.3115

7.정규분포

답: P = 0.8593

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (20.3 − 32)/6 = −1.95

z₂ = (39.2 − 32)/6 = 1.2

사이의 넓이

P = Φ(1.2) − Φ(−1.95) = 0.8849 − 0.02559 = 0.8593

답

P = 0.8593

8.정규분포

답: P = 0.7881

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

차의 분포

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

표준화하기

z = (0 − 4)/5 = −0.8

확률

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

답

P = 0.7881

9.신뢰구간

답: E₂ = 11.2

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

오차 한계의 비

E₂/E₁ = (1.96/1.96)·√(100/25) = 2

새 오차 한계

E₂ = 5.6·2 = 11.2

답

E₂ = 11.2

10.신뢰구간

답: n = 3982

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

n에 대해 풀기

n = 2.576²·0.4·0.6/0.02² = 3981

올림하기

n = 3982

답

n = 3982

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 2.975

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 4/√49 = 4/7 = 0.5714

검정통계량

t = (121.7 − 120)/0.5714 = 2.975

답

t = 2.975

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| > 2.011이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 1083

n에 대해 풀기

n = (1.645·20/1)² = 1082

올림하기

n = 1083

답

n = 1083

13.선형 회귀와 상관

답: r = −0.9304

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 101/6 = 16.83

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −37.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 92.83

상관계수

r = −37.5/√(17.5·92.83) = −0.9304

답

r = −0.9304

14.선형 회귀와 상관

답: e = 4.295

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 116/6 = 19.33

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 164

회귀직선

b = 164/70 = 2.343

a = 19.33 − 2.343·7 = 2.933

ŷ = 2.933 + 2.343·x

예측값

ŷ = 2.933 + 2.343·11 = 28.7

잔차

e = 33 − 28.7 = 4.295

답

e = 4.295

점이 직선 위쪽에 있습니다.

15.카이제곱 검정

답: χ² = 1.786

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

흡연자: 60·30/100 = 18, 60·70/100 = 42

비흡연자: 40·30/100 = 12, 40·70/100 = 28

카이제곱 통계량

χ² = (15 − 18)²/18 + (45 − 42)²/42 + (15 − 12)²/12 + (25 − 28)²/28

χ² = 1.786

답

χ² = 1.786

df = 1. α = 0.05에서 임곗값은 3.841이므로 H₀(독립)은 기각되지 않습니다.

16.카이제곱 검정

답: df = 2

자유도

df = 4 − 1 − 1 = 2

답

df = 2

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