심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

완전한 정규분포에서는 어떻습니까?

A최빈값이 가장 낮은 점수이다
B평균이 항상 중앙값보다 크다
C대부분의 점수가 꼬리에 있다
D평균, 중앙값, 최빈값이 같다

2.심리학 연구 방법어려움

주제 분석에서 분석자가 주로 하는 일은 무엇입니까?

A각 주제의 평균 점수를 계산하여 통계적으로 비교한다
B질적 자료 전반에서 반복되는 의미 패턴을 찾아낸다
C수치적 가설을 검정한다
D단어 빈도만 센다

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 37, 35, 48, 33, 10.

n = 5

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 500, 표준편차 50인 정규분포를 따릅니다. 475보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 500σ = 50x = 475

P =

5.확률보통

주머니에 빨간 공 5개와 파란 공 6개가 있습니다. 첫 공을 다시 넣지 않고 두 개를 꺼냅니다. 두 공이 모두 빨간 공일 확률 P는 얼마일까요?

5 / 6

P =

6.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 5개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.1로 맞힙니다. 정확히 2개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 5p = 0.1k = 2

P =

7.정규분포보통

시멘트 포대의 질량은 독립이며 평균 25 kg, 표준편차 0.5 kg인 정규분포를 따릅니다. 그중 5개의 총 질량이 123.9 kg 미만일 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 5< 123.9 kg

P =

8.정규분포어려움

구멍 지름 D는 평균 25.02 mm, 표준편차 0.015 mm인 정규분포를 따릅니다. 축 지름 d는 독립이며 평균 25 mm, 표준편차 0.02 mm인 정규분포를 따릅니다. 무작위로 고른 축은 D − d > 0일 때 끼워집니다. 끼워질 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

구멍: μ = 25.02 mm, σ = 0.015 mm축: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

9.신뢰구간보통

항목 12개의 표본 평균은 28.5, 표준편차는 s = 12.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하세요.

n = 12x̄ = 28.5s = 12.599%t(11) = 3.106

E =

10.신뢰구간어려움

모표준편차는 21입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 4 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 21E = 495%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

직원 13명이 교육 과정 전후에 타자 시험을 본다. 각 사람에 대해 차이 d = 후 − 전(분당 단어 수)을 기록한다. 평균 차이는 −1.32, 차이의 표준 편차는 2.8이다. H₀: μ_d = 0에 대한 대응 검정 통계량 t을(를) 구하시오.

n = 13d̄ = −1.32s_d = 2.8

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

α = 0.05의 단측 z 검정이 평균의 5단위 이동을 검정력 80%로 검출해야 한다. 표준 편차는 20이다. 최소 표본 크기 n을(를) 구하시오.

α = 0.05검정력 = 80%δ = 5σ = 20z_α = 1.645z_β = 0.842

n =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 6

r² =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 21일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 5x = 21

ŷ =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 2002 × 3

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

카이제곱 적합도 검정으로 7개 범주의 관측 도수를 완전히 지정된 기대 비율과 비교합니다(자료에서 추정한 모수 없음). 이 검정의 자유도 df은(는) 얼마인가요?

k = 7

df =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: D · 평균, 중앙값, 최빈값이 같다

이것이 답인 이유

정규분포는 대칭적인 종 모양이므로 세 가지 대표값이 모두 중앙에 위치합니다.

답

D · 평균, 중앙값, 최빈값이 같다

2.심리학 연구 방법

답: B · 질적 자료 전반에서 반복되는 의미 패턴을 찾아낸다

이것이 답인 이유

주제 분석은 자료에 익숙해지기, 부호화, 주제 생성·검토·명명, 보고서 작성으로 이루어지며 통계보다 의미에 초점을 둡니다.

답

B · 질적 자료 전반에서 반복되는 의미 패턴을 찾아낸다

3.기술통계

답: s = 13.9

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 163/5 = 32.6

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 4.4² + 2.4² + 15.4² + 0.4² + (−22.6)² = 773.2

표준편차

s = √(773.2/4) = 13.9

답

s = 13.9

4.기술통계

답: P = 0.6915

표준화하기

z = −0.5

표준정규분포표

Φ(−0.5) = 0.3085

P = 1 − 0.3085 = 0.6915

답

P = 0.6915

5.확률

답: P = 0.1818

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

첫 번째와 두 번째 꺼내기

P = 5/11 · 4/10 = 20/110 = 0.1818

답

P = 0.1818

6.확률

답: P = 0.0729

이항분포 공식

P(X = 2) = 10·0.1²·0.9³ = 10·0.01·0.729 = 0.0729

답

P = 0.0729

7.정규분포

답: P = 0.1635

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합계의 분포

μ_T = 125 kg, σ_T = 0.5·√5 = 1.118 kg

표준화하기

z = (123.9 − 125)/1.118 = −0.98

확률

P = Φ(−0.98) = 0.1635

답

P = 0.1635

8.정규분포

답: P = 0.7881

차의 분포

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.025 mm

표준화하기

z = (0 − 0.02)/0.025 = −0.8

확률

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

답

P = 0.7881

9.신뢰구간

답: E = 11.21

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 11, t = 3.106

오차 한계

E = 3.106·12.5/√12 = 11.21

답

E = 11.21

10.신뢰구간

답: n = 106

n에 대해 풀기

n = (1.96·21/4)² = 105.9

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 106

답

n = 106

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −1.7

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

평균 차이의 표준 오차

SE = 2.8/√13 = 0.7766

검정통계량

t = −1.32/0.7766 = −1.7

답

t = −1.7

df = 12에서 양측 5% 임곗값은 2.179입니다. |t|가 더 작으므로 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: n = 99

검정의 표본 크기: 수준 α의 단측 z 검정에서 참 이동 δ를 검정력 1 − β로 검출하려면 표준 오차가 δ = (z_α + z_β)·σ/√n을 만족해야 하므로 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²이고, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = ((1.645 + 0.842)·20/5)² = 98.96

올림하기

n = 99

답

n = 99

13.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9997

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 182/6 = 30.33

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 310

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1373

결정계수

r² = 310²/(70·1373) = 0.9997

답

r² = 0.9997

y의 변동 중 약 99.97%가 직선으로 설명됩니다.

14.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 65.4

평균

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 306/5 = 61.2

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 168

회귀직선

b = 168/40 = 4.2

a = 61.2 − 4.2·20 = −22.8

ŷ = −22.8 + 4.2·x

예측

ŷ = −22.8 + 4.2·21 = 65.4

답

ŷ = 65.4

15.카이제곱 검정

답: χ² = 0.3935

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

학생: 120·30/200 = 18, 120·80/200 = 48, 120·90/200 = 54

교직원: 80·30/200 = 12, 80·80/200 = 32, 80·90/200 = 36

카이제곱 통계량

χ² = (18 − 18)²/18 + (50 − 48)²/48 + (52 − 54)²/54 + (12 − 12)²/12 + (30 − 32)²/32 + (38 − 36)²/36

χ² = 0.3935

답

χ² = 0.3935

df = 2. α = 0.05에서 임곗값은 5.991이므로 H₀(독립)은 기각되지 않습니다.

16.카이제곱 검정

답: df = 6

자유도

df = 7 − 1 = 6

답

df = 6

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