심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

연구자가 성별(남/여)과 선호 영화 장르(네 범주) 사이에 연관이 있는지 검정하려고 합니다. 적절한 검정은 무엇입니까?

A피어슨 상관
B카이제곱 독립성 검정
C일원분산분석
D대응표본 t검정

2.심리학 연구 방법어려움

서열척도의 사전·사후 점수처럼 대응되는 두 표본을 비교하는 비모수 검정은 무엇입니까?

A맨-휘트니 U 검정
B윌콕슨 부호순위 검정
C독립표본 t검정
D카이제곱 독립성 검정

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 26, 53, 45, 25, 13, 14.

n = 6

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 500, 표준편차 25인 정규분포를 따릅니다. 537.5보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 500σ = 25x = 537.5

P =

5.확률보통

13명 중에서 5명으로 된 위원회를 뽑는 방법 N은 몇 가지일까요? 순서는 상관없습니다.

n = 13k = 5

N =

6.확률어려움

X의 분포가 표와 같고 Y = −2X + 5입니다. Y의 표준편차 σ_Y을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.3, 0.15, 0.2, 0.35Y = −2X + 5

σ_Y =

7.정규분포보통

성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 167.85에서 186.75 cm 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.

μ = 178σ = 7x₁ = 167.85x₂ = 186.75

P =

8.정규분포어려움

성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 전체의 5%가 그 아래에 있는 값 x(5 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 178σ = 7P = 5%

x = cm

9.신뢰구간보통

항목 7개의 표본 평균은 62, 표준편차는 s = 19.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 7x̄ = 62s = 19.599%t(6) = 3.707

하한 =

10.신뢰구간어려움

모표준편차는 15입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 15E = 595%

n =

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 100명 표본의 평균 점수는 200.7, 표본 표준편차는 10입니다. H₀: μ = 200에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 200x̄ = 200.7s = 10n = 100

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

한 임상 시험에서 치료 A를 받은 환자 120명 중 18명, 치료 B를 받은 환자 200명 중 54명이 회복한다. 합동 비율을 써서 H₀: p₁ = p₂에 대한 검정 통계량 z을(를) 구하시오.

x₁ = 18n₁ = 120x₂ = 54n₂ = 200

z =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5Σx = 15Σy = 104Σx² = 55Σy² = 2256Σxy = 282

r =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 72을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 6ŷ = 72

x =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 카이제곱 독립성 검정을 위해 칸 “주간 근무, 중대한 결함”의 기대 도수 E을(를) 구하세요.

행 합계 = 92열 합계 = 47N = 156

E =

16.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.05에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 2003 × 2α = 0.05

χ² =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: B · 카이제곱 독립성 검정

이것이 답인 이유

카이제곱 검정은 분할표에서 관찰 빈도와 기대 빈도를 비교하여 두 범주형 변수가 연관되어 있는지 검정합니다.

답

B · 카이제곱 독립성 검정

2.심리학 연구 방법

답: B · 윌콕슨 부호순위 검정

이것이 답인 이유

윌콕슨 부호순위 검정은 짝지어진 서열 자료에 쓰이며, 맨-휘트니 U 검정은 독립 집단에 대한 대응 검정입니다.

답

B · 윌콕슨 부호순위 검정

3.기술통계

답: s = 16.35

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 176/6 = 29.33

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−3.333)² + 23.67² + 15.67² + (−4.333)² + (−16.33)² + (−15.33)² = 1337

표준편차

s = √(1337/5) = 16.35

답

s = 16.35

4.기술통계

답: P = 0.06681

표준화하기

z = 1.5

표준정규분포표

Φ(1.5) = 0.9332

P = 1 − 0.9332 = 0.06681

답

P = 0.06681

5.확률

답: N = 1287

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

조합

C(13, 5) = (13·12·11·10·9)/(5·4·3·2·1) = 1287

답

N = 1287

6.확률

답: σ_Y = 2.482

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

X의 퍼짐

μ = 1.6, Var(X) = 1.54, σ_X = 1.241

일차 변환

σ_Y = |−2|·1.241 = 2.482

답

σ_Y = 2.482

평균은 실제로 이동합니다: E(Y) = −2·1.6 + 5 = 1.8.

7.정규분포

답: P = 0.8208

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

z점수

z₁ = (167.85 − 178)/7 = −1.45

z₂ = (186.75 − 178)/7 = 1.25

사이의 넓이

P = Φ(1.25) − Φ(−1.45) = 0.8944 − 0.07353 = 0.8208

답

P = 0.8208

8.정규분포

답: x = 166.5 cm

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

다시 x로

x = 178 + −1.645·7 = 166.49 cm

답

x = 166.49 cm

9.신뢰구간

답: 하한 = 34.68

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 6, t = 3.707

오차 한계

E = 3.707·19.5/√7 = 27.32

구간

62 ± 27.32 → [34.68, 89.32]

답

하한 = 34.68

10.신뢰구간

답: n = 35

n에 대해 풀기

n = (1.96·15/5)² = 34.57

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 35

답

n = 35

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 0.7

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 10/√100 = 10/10 = 1

검정통계량

t = (200.7 − 200)/1 = 0.7

답

t = 0.7

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| < 1.984이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: z = −2.489

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

표본 비율

p̂₁ = 18/120 = 0.15

p̂₂ = 54/200 = 0.27

p̂ = 72/320 = 0.225

H₀에서의 표준 오차

SE = √(0.225·0.775·(1/120 + 1/200)) = 0.04822

검정통계량

z = (0.15 − 0.27)/0.04822 = −2.489

답

z = −2.489

|z| > 1.96이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.

13.선형 회귀와 상관

답: r = −0.9848

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 282 − 15·104/5 = −30

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 2256 − 104²/5 = 92.8

상관계수

r = −30/√(10·92.8) = −0.9848

답

r = −0.9848

14.선형 회귀와 상관

답: x = 7.235

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 426/6 = 71

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 298

회귀직선

b = 298/70 = 4.257

a = 71 − 4.257·7 = 41.2

ŷ = 41.2 + 4.257·x

x 구하기

x = (72 − 41.2)/4.257 = 7.235

답

x = 7.235

15.카이제곱 검정

답: E = 27.72

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

E = 92·47/156 = 27.72

답

E = 27.72

16.카이제곱 검정

답: χ² = 9.333

기대 도수

1라인: 30, 10

2라인: 60, 20

3라인: 60, 20

카이제곱 통계량

χ² = (24 − 30)²/30 + (16 − 10)²/10 + (68 − 60)²/60 + (12 − 20)²/20 + (58 − 60)²/60 + (22 − 20)²/20

χ² = 9.333

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 5.991

9.333 > 5.991

답

χ² = 9.333

χ²이 임곗값보다 크므로 H₀을 기각합니다. 두 변수는 관련이 있는 것으로 보입니다.

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