심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

어떤 연구가 사전 등록(preregistered)되었습니다. 이것은 무엇을 뜻합니까?

A가설, 방법, 분석 계획이 자료 수집 전에 공개적으로 기록되었다
B참가자가 온라인으로 동의를 등록했다
C연구가 이미 발표되었다
D결과가 출판 전에 독립된 두 번째 통계학자의 점검과 승인을 받았다

2.심리학 연구 방법어려움

밀그램의 복종 연구에서 참가자들은 실제로 전기 충격을 가한다고 믿었습니다. 가장 직접적으로 제기되는 윤리적 문제는 무엇이며, 부분적으로 어떻게 다루어졌습니까?

A통제집단의 결여, 참가자를 조건에 무선 배정하여 다룸
B기만과 잠재적 고통, 철저한 디브리핑으로 다룸
C아동 참여, 부모 동의로 다룸
D비밀 보장 결여, 이름을 공개하여 다룸

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 58, 12, 42, 60, 12, 58.

n = 6

s =

4.기술통계어려움

어떤 양은 평균 170, 표준편차 20인 정규분포를 따릅니다. 150보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 170σ = 20x = 150

P =

5.확률보통

표의 분포에 대해 X의 분산 Var(X)을(를) 구하시오.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.3, 0.05, 0.15, 0.2, 0.3

Var(X) =

6.확률어려움

부품 11개를 시험하며, 각 부품은 독립적으로 확률 0.1로 고장 납니다. 고장이 많아야 하나일 확률 P는 얼마일까요?

n = 11p = 0.1

P =

7.정규분포보통

시멘트 포대의 질량은 독립이며 평균 25 kg, 표준편차 0.5 kg인 정규분포를 따릅니다. 그중 5개의 총 질량이 127.2 kg을(를) 초과할 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 5> 127.2 kg

P =

8.정규분포어려움

구멍 지름 D는 평균 25.03 mm, 표준편차 0.01 mm인 정규분포를 따릅니다. 축 지름 d는 독립이며 평균 25 mm, 표준편차 0.01 mm인 정규분포를 따릅니다. 무작위로 고른 축은 D − d > 0일 때 끼워집니다. 끼워질 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

구멍: μ = 25.03 mm, σ = 0.01 mm축: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm

P =

9.신뢰구간보통

항목 20개의 표본 평균은 70, 표준편차는 s = 14입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 하한을 구하세요.

n = 20x̄ = 70s = 1495%t(19) = 2.093

하한 =

10.신뢰구간어려움

기계 가공한 축 15개의 지름의 표본 표준 편차는 7.9 µm이다. 지름이 정규 분포를 따른다고 가정하고, 모집단 표준 편차에 대한 95% 신뢰구간의 하한 σ을(를) 구하시오. df = 14에서 χ² 분포의 2.5%는 5.629 아래에, 2.5%는 26.119 위에 있다.

n = 15s = 7.9 µmχ² = 5.629, 26.119

σ = µm

11.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 100명 표본의 평균 점수는 100.3, 표본 표준편차는 5입니다. H₀: μ = 100에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 100x̄ = 100.3s = 5n = 100

t =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

H₀: μ = 200 대 H₁: μ < 200의 단측 z 검정을 표본 크기 25, α = 0.01에서 실시한다. 표준 편차는 5로 알려져 있다. 실제 평균은 197이다. 제2종 오류의 확률 β을(를) 퍼센트로 구하시오.

μ₀ = 200μ = 197σ = 5n = 25α = 0.01

β = %

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 6

r² =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 4.5일 때 ŷ을(를) 예측하세요.

n = 6x = 4.5

ŷ =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 1202 × 2

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.01에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 2203 × 2α = 0.01

χ² =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: A · 가설, 방법, 분석 계획이 자료 수집 전에 공개적으로 기록되었다

이것이 답인 이유

사전 등록은 확증적 분석과 탐색적 분석을 구분하고 p-해킹과 HARKing 같은 관행을 줄입니다.

답

A · 가설, 방법, 분석 계획이 자료 수집 전에 공개적으로 기록되었다

2.심리학 연구 방법

답: B · 기만과 잠재적 고통, 철저한 디브리핑으로 다룸

이것이 답인 이유

참가자들은 충격에 대해 기만당했고 많은 사람이 큰 스트레스를 보였습니다. 밀그램은 참가자에게 디브리핑을 하고 "학습자"를 만나게 했으며, 추후 조사에서 대부분이 참여해서 다행이라고 답했지만 그 윤리성은 여전히 논쟁 중입니다.

답

B · 기만과 잠재적 고통, 철저한 디브리핑으로 다룸

3.기술통계

답: s = 22.89

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 242/6 = 40.33

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 17.67² + (−28.33)² + 1.667² + 19.67² + (−28.33)² + 17.67² = 2619

표준편차

s = √(2619/5) = 22.89

답

s = 22.89

4.기술통계

답: P = 0.8413

표준화하기

z = −1

표준정규분포표

Φ(−1) = 0.1587

P = 1 − 0.1587 = 0.8413

답

P = 0.8413

5.확률

답: Var(X) = 2.628

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σ_Y = |a|·σ_X입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 1·0.3 + 2·0.05 + 3·0.15 + 4·0.2 + 5·0.3 = 3.15

제곱의 평균

E(X²) = 1·0.3 + 4·0.05 + 9·0.15 + 16·0.2 + 25·0.3 = 12.55

분산

Var(X) = 12.55 − 3.15² = 2.628

답

Var(X) = 2.628

6.확률

답: P = 0.6974

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

고장 0개와 1개

P(X = 0) = 0.9¹¹ = 0.3138

P(X = 1) = 11·0.1·0.9¹⁰ = 0.3835

더하기

P = 0.3138 + 0.3835 = 0.6974

답

P = 0.6974

7.정규분포

답: P = 0.02442

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합계의 분포

μ_T = 125 kg, σ_T = 0.5·√5 = 1.118 kg

표준화하기

z = (127.2 − 125)/1.118 = 1.97

확률

P = 1 − Φ(1.97) = 0.02442

답

P = 0.02442

8.정규분포

답: P = 0.983

차의 분포

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.01414 mm

표준화하기

z = (0 − 0.03)/0.01414 = −2.12

확률

P = 1 − Φ(−2.12) = 0.983

답

P = 0.983

9.신뢰구간

답: 하한 = 63.45

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 19, t = 2.093

오차 한계

E = 2.093·14/√20 = 6.552

구간

70 ± 6.552 → [63.45, 76.55]

답

하한 = 63.45

10.신뢰구간

답: σ = 5.784 µm

분산의 구간: (n − 1)s²/σ²은 자유도 n − 1의 χ² 분포를 따릅니다. σ²의 95% 구간은 (n − 1)s²를 위쪽 χ² 값(그 위에 2.5%)으로 나눈 값에서 아래쪽 χ² 값(그 아래에 2.5%)으로 나눈 값까지이며, σ의 구간은 두 한계의 제곱근입니다. 이 구간은 s를 중심으로 대칭이 아닙니다.

제곱합

(n − 1)s² = 14·7.9² = 873.7

σ²의 한계

873.7/26.119 = 33.45

873.7/5.629 = 155.2

σ의 한계

σ = √33.45 = 5.784 µm

답

σ = 5.784 µm

σ의 95% 구간: [5.784, 12.46] µm.

11.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 0.6

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 5/√100 = 5/10 = 0.5

검정통계량

t = (100.3 − 100)/0.5 = 0.6

답

t = 0.6

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| < 1.984이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: β = 25.02 %

검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

임계 표본 평균

SE = 5/√25 = 1

x̄_c = 200 − 2.326·1 = 197.7

참 평균에서의 z

z = (197.7 − 197)/1 = 0.674

제2종 오류

검정력 = P(Z < 0.674) = 74.98%

β = 100% − 74.98% = 25.02%

답

β = 25.02%

13.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9986

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 150/6 = 25

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 240

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 824

결정계수

r² = 240²/(70·824) = 0.9986

답

r² = 0.9986

y의 변동 중 약 99.86%가 직선으로 설명됩니다.

14.선형 회귀와 상관

답: ŷ = 70.69

평균

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 461/6 = 76.83

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 107.5

회귀직선

b = 107.5/17.5 = 6.143

a = 76.83 − 6.143·5.5 = 43.05

ŷ = 43.05 + 6.143·x

예측

ŷ = 43.05 + 6.143·4.5 = 70.69

답

ŷ = 70.69

15.카이제곱 검정

답: χ² = 2.5

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

신약: 40·48/120 = 16, 40·72/120 = 24

위약: 80·48/120 = 32, 80·72/120 = 48

카이제곱 통계량

χ² = (20 − 16)²/16 + (20 − 24)²/24 + (28 − 32)²/32 + (52 − 48)²/48

χ² = 2.5

답

χ² = 2.5

df = 1. α = 0.05에서 임곗값은 3.841이므로 H₀(독립)은 기각되지 않습니다.

16.카이제곱 검정

답: χ² = 11.32

기대 도수

18–30세: 40, 40

31–50세: 40, 40

51세 이상: 30, 30

카이제곱 통계량

χ² = (28 − 40)²/40 + (52 − 40)²/40 + (47 − 40)²/40 + (33 − 40)²/40 + (35 − 30)²/30 + (25 − 30)²/30

χ² = 11.32

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 9.210

11.32 > 9.210

답

χ² = 11.32

χ²이 임곗값보다 크므로 H₀을 기각합니다. 두 변수는 관련이 있는 것으로 보입니다.

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