기술통계
- 평균
- x̄ = Σx/n
- 표본 표준편차
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 중앙값
- 정렬한 데이터의 가운데 값
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- 정규분포
- ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%
심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
확률
- 여사건
- P(not A) = 1 − P(A)
- 덧셈 정리
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 독립 사건
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 조건부 확률
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 이항분포
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
정규분포
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- x 미만
- P(X < x) = Φ(z)
- x 초과
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 두 값 사이
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 백분위수
- x = μ + z·σ
방법
- 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
- z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
- 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
- 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.
신뢰구간
- σ를 알 때
- x̄ ± z·σ/√n
- σ를 모를 때
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 임계 z값
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 표본 크기
- n = (z·σ/E)², rounded up
방법
- z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
- 신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
- 오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
- 구간: x̄ ± E.
가설 검정과 신뢰구간
- 평균에 대한 z 검정
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 평균에 대한 t 검정
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 유의수준 5% 양측 검정
- |z| > 1.96이면 H0 기각
- 신뢰구간
- x̄ ± z·σ/√n
방법
- H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
- 검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
- 임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
- 통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.
선형 회귀와 상관
- 제곱합
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 기울기
- b = Sxy/Sxx
- 절편
- a = ȳ − b·x̄
- 상관계수
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 잔차
- e = y − ŷ
카이제곱 검정
- 검정통계량
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 적합도 검정
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 독립성 검정
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 임곗값(α = 0.05)
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 의사 결정
- χ² > χ²crit이면 H0을 기각
2연습 문제
1.심리학 연구 방법보통
상관에서 r = 0.40입니다. 한 변수의 분산 중 다른 변수와 공유되는 비율은 얼마입니까?
- A60%
- B16%
- C4%
- D40%
2.심리학 연구 방법어려움
네 집단을 비교하는 일원분산분석이 유의합니다. 어느 집단이 다른지 알아내려면 연구자는 다음에 무엇을 해야 합니까?
- A투키 HSD 같은 사후 검정을 실시한다
- B결과를 상관으로 보고한다
- C평균에 대해 카이제곱 검정을 실시한다
- D네 집단이 모두 서로 다르다고 결론 내린다
3.기술통계보통
자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 42, 12, 43, 22, 16, 21, 26.
n = 7
s =
4.기술통계어려움
시험 점수는 평균 70, 표준편차 12인 정규분포를 따릅니다. 60.4점의 z점수 z를 구하세요.
μ = 70σ = 12x = 60.4
z =
5.확률보통
표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.05, 0.2, 0.25, 0.15, 0.35
σ =
6.확률어려움
어떤 시험에 객관식 문제가 7개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.4로 맞힙니다. 정확히 5개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?
n = 7p = 0.4k = 5
P =
7.정규분포보통
시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 62.5에서 73 점 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.
μ = 65σ = 10x1 = 62.5x2 = 73
P =
8.정규분포어려움
구멍 지름 D는 평균 25.04 mm, 표준편차 0.01 mm인 정규분포를 따릅니다. 축 지름 d는 독립이며 평균 25 mm, 표준편차 0.015 mm인 정규분포를 따릅니다. 무작위로 고른 축은 D − d > 0일 때 끼워집니다. 끼워질 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.
구멍: μ = 25.04 mm, σ = 0.01 mm축: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
9.신뢰구간보통
항목 20개의 표본 평균은 10.5, 표준편차는 s = 19입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 하한을 구하세요.
n = 20x̄ = 10.5s = 1995%t(19) = 2.093
하한 =
10.신뢰구간어려움
기계 가공한 축 11개의 지름의 표본 표준 편차는 9.5 µm이다. 지름이 정규 분포를 따른다고 가정하고, 모집단 표준 편차에 대한 95% 신뢰구간의 상한 σ을(를) 구하시오. df = 10에서 χ² 분포의 2.5%는 3.247 아래에, 2.5%는 20.483 위에 있다.
n = 11s = 9.5 µmχ² = 3.247, 20.483
σ = µm
11.가설 검정과 신뢰구간보통
학생 49명 표본의 평균 점수는 44.86, 표본 표준편차는 20입니다. H₀: μ = 50에 대한 검정통계량 t를 구하세요.
μ₀ = 50x̄ = 44.86s = 20n = 49
t =
12.가설 검정과 신뢰구간어려움
평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 2.5 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 15입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.
σ = 15E = 2.599%
n =
13.선형 회귀와 상관보통
표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.
n = 5Σx = 15Σy = 260Σx² = 55Σy² = 13686Σxy = 817
r =
14.선형 회귀와 상관어려움
표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 45을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?
n = 6ŷ = 45
x =
15.카이제곱 검정보통
분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.
N = 2202 × 2
χ² =
16.카이제곱 검정어려움
카이제곱 적합도 검정으로 6개 범주의 도수가, 같은 자료에서 평균을 추정한 푸아송 분포를 따르는지 확인합니다. 표를 이용해 유의수준 α = 0.05에서 임곗값 χ²crit을(를) 구하세요.
α = 0.05
χ²crit =
3용액
1.심리학 연구 방법
답: B · 16%
이것이 답인 이유
결정계수는 r²이며 여기서는 0.40² = 0.16이므로 분산의 16%가 공유됩니다.
답
B · 16%
2.심리학 연구 방법
답: A · 투키 HSD 같은 사후 검정을 실시한다
이것이 답인 이유
유의한 F는 모든 평균이 같지는 않음을 보여 줍니다. 사후 검정이나 계획된 대비가 오류율을 통제하면서 어떤 쌍이 다른지 확인합니다.
답
A · 투키 HSD 같은 사후 검정을 실시한다
3.기술통계
답: s = 12.12
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
평균
x̄ = 182/7 = 26
편차의 제곱
Σ(x − x̄)² = 16² + (−14)² + 17² + (−4)² + (−10)² + (−5)² + 0² = 882
표준편차
s = √(882/6) = 12.12
답
s = 12.12
4.기술통계
답: z = −0.8
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
표준화하기
z = (60.4 − 70)/12 = −0.8
답
z = −0.8
5.확률
답: σ = 1.284
이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.
평균
μ = 0·0.05 + 1·0.2 + 2·0.25 + 3·0.15 + 4·0.35 = 2.55
제곱의 평균
E(X²) = 0·0.05 + 1·0.2 + 4·0.25 + 9·0.15 + 16·0.35 = 8.15
분산
Var(X) = 8.15 − 2.55² = 1.647
σ = √1.647 = 1.284
답
σ = 1.284
6.확률
답: P = 0.07741
확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
이항분포 공식
P(X = 5) = 21·0.45·0.62 = 21·0.01024·0.36 = 0.07741
답
P = 0.07741
7.정규분포
답: P = 0.3869
정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.
z점수
z₁ = (62.5 − 65)/10 = −0.25
z₂ = (73 − 65)/10 = 0.8
사이의 넓이
P = Φ(0.8) − Φ(−0.25) = 0.7881 − 0.4013 = 0.3869
답
P = 0.3869
8.정규분포
답: P = 0.9868
정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μX ± μY. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σX² + σY²이므로 σ = √(σX² + σY²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.
차의 분포
μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.01803 mm
표준화하기
z = (0 − 0.04)/0.01803 = −2.22
확률
P = 1 − Φ(−2.22) = 0.9868
답
P = 0.9868
9.신뢰구간
답: 하한 = 1.608
평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.
임계값
df = n − 1 = 19, t = 2.093
오차 한계
E = 2.093·19/√20 = 8.892
구간
10.5 ± 8.892 → [1.608, 19.39]
답
하한 = 1.608
10.신뢰구간
답: σ = 16.67 µm
분산의 구간: (n − 1)s²/σ²은 자유도 n − 1의 χ² 분포를 따릅니다. σ²의 95% 구간은 (n − 1)s²를 위쪽 χ² 값(그 위에 2.5%)으로 나눈 값에서 아래쪽 χ² 값(그 아래에 2.5%)으로 나눈 값까지이며, σ의 구간은 두 한계의 제곱근입니다. 이 구간은 s를 중심으로 대칭이 아닙니다.
제곱합
(n − 1)s² = 10·9.5² = 902.5
σ²의 한계
902.5/20.483 = 44.06
902.5/3.247 = 277.9
σ의 한계
σ = √277.9 = 16.67 µm
답
σ = 16.67 µm
σ의 95% 구간: [6.638, 16.67] µm.
11.가설 검정과 신뢰구간
답: t = −1.799
평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.
표준오차
SE = 20/√49 = 20/7 = 2.857
검정통계량
t = (44.86 − 50)/2.857 = −1.799
답
t = −1.799
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| < 2.011이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.
12.가설 검정과 신뢰구간
답: n = 239
평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.
n에 대해 풀기
n = (2.576·15/2.5)² = 238.9
올림하기
n = 239
답
n = 239
13.선형 회귀와 상관
답: r = 0.9081
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
중심화한 합
Sxy = 817 − 15·260/5 = 37
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 13686 − 260²/5 = 166
상관계수
r = 37/√(10·166) = 0.9081
답
r = 0.9081
14.선형 회귀와 상관
답: x = 18.49
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 147/6 = 24.5
ȳ = 383/6 = 63.83
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 493.5
회귀직선
b = 493.5/157.5 = 3.133
a = 63.83 − 3.133·24.5 = −12.93
ŷ = −12.93 + 3.133·x
x 구하기
x = (45 − (−12.93))/3.133 = 18.49
답
x = 18.49
15.카이제곱 검정
답: χ² = 18.96
카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.
기대 도수
신약: 100·99/220 = 45, 100·121/220 = 55
위약: 120·99/220 = 54, 120·121/220 = 66
카이제곱 통계량
χ² = (29 − 45)²/45 + (71 − 55)²/55 + (70 − 54)²/54 + (50 − 66)²/66
χ² = 18.96
답
χ² = 18.96
df = 1. α = 0.05에서 임곗값은 3.841이므로 H₀(독립)은 기각됩니다.
16.카이제곱 검정
답: χ²crit = 9.488
카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.
자유도
df = 6 − 1 − 1 = 4
표
χ²crit(df = 4, α = 0.05) = 9.488
답
χ²crit = 9.488
계산한 χ²이 이 값보다 크면 H₀을 기각합니다.
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