심리학 연구방법 및 통계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

카이제곱 검정

검정통계량: χ² = Σ(O − E)²/E
적합도 검정: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
독립성 검정: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
임곗값(α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
의사 결정: χ² > χ²_crit이면 H₀을 기각

2연습 문제

1.심리학 연구 방법보통

15문항 불안 척도의 크론바흐 알파가 0.88이라는 것은 무엇을 나타냅니까?

A문항들의 내적 일관성이 좋다
B척도가 미래의 불안을 잘 예측한다
C점수가 6개월 동안 안정적이다
D척도가 불안에 유의한 효과를 준다

2.심리학 연구 방법어려움

심리학의 '재현성 위기'는 무엇을 말합니까?

A실험 참가자가 부족한 것
B발표된 많은 결과가 새로운 연구에서 재현되지 않는 것
C학술지가 제출된 모든 재현 연구를 거부하도록 법으로 요구받는 것
D허락 없이 질문지를 복사하는 것

3.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 36, 41, 31, 24, 19, 11.

n = 6

s =

4.기술통계어려움

시험 점수는 평균 50, 표준편차 5인 정규분포를 따릅니다. 42.5점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 50σ = 5x = 42.5

z =

5.확률보통

공정한 주사위를 5번 던집니다. 6이 적어도 한 번 나올 확률 P는 얼마일까요?

n = 5

P =

6.확률어려움

어떤 시험에 객관식 문제가 5개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.5로 맞힙니다. 정확히 4개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?

n = 5p = 0.5k = 4

P =

7.정규분포보통

표준 정규 곡선 아래에서 −z와 z 사이의 색칠한 넓이가 0.9464이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.9464

z =

8.정규분포어려움

주자 A의 한 바퀴 시간 X와 주자 B의 한 바퀴 시간 Y은(는) 독립이며 정규분포를 따릅니다. X는 평균 52 s, 표준편차 4 s이고 Y는 평균 48 s, 표준편차 3 s입니다. X가 Y보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.신뢰구간보통

항목 6개의 표본 평균은 19, 표준편차는 s = 10입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 상한을 구하세요.

n = 6x̄ = 19s = 1090%t(5) = 2.015

상한 =

10.신뢰구간어려움

기계 가공한 축 30개의 지름의 표본 표준 편차는 0.9 µm이다. 지름이 정규 분포를 따른다고 가정하고, 모집단 표준 편차에 대한 95% 신뢰구간의 하한 σ을(를) 구하시오. df = 29에서 χ² 분포의 2.5%는 16.047 아래에, 2.5%는 45.722 위에 있다.

n = 30s = 0.9 µmχ² = 16.047, 45.722

σ = µm

11.가설 검정과 신뢰구간보통

모집단의 평균은 80이라고 주장되며, 모집단의 표준 편차는 24로 알려져 있다. 관측값 36개의 확률 표본의 평균은 73.92이다. H₀: μ = 80 대 H₁: μ ≠ 80을(를) 검정하시오. p값 p을(를) 구하시오.

μ₀ = 80σ = 24n = 36x̄ = 73.92H₁: μ ≠ μ₀

p =

12.가설 검정과 신뢰구간어려움

측정값 16개의 표본 평균은 499.8입니다. 모표준편차는 10입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 상한 U를 구하세요.

x̄ = 499.8σ = 10n = 1695%

U =

13.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.

n = 5

r² =

14.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 공부 시간, y = 시험 점수의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (5.5, 79)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 6(5.5, 79)

e =

15.카이제곱 검정보통

분할표는 관측 도수를 보여 줍니다. 행 변수와 열 변수 사이의 독립성 검정을 위한 카이제곱 통계량 χ²을(를) 계산하세요. 연속성 수정은 쓰지 마세요.

N = 2002 × 3

χ² =

16.카이제곱 검정어려움

표는 관측 도수를 보여 줍니다. α = 0.01에서 두 변수가 독립인지 검정하세요(연속성 수정 없음). 검정 통계량 χ²을(를) 계산한 다음 표의 임곗값과 비교하세요.

N = 2203 × 2α = 0.01

χ² =

3용액

1.심리학 연구 방법

답: A · 문항들의 내적 일관성이 좋다

이것이 답인 이유

크론바흐 알파는 내적 일관성을 추정하며, 보통 약 0.7 이상이면 수용 가능하다고 봅니다. 그 자체로 타당도를 보여 주지는 않습니다.

답

A · 문항들의 내적 일관성이 좋다

2.심리학 연구 방법

답: B · 발표된 많은 결과가 새로운 연구에서 재현되지 않는 것

이것이 답인 이유

대규모 재현 프로젝트에서는 많은 효과가 더 작거나 나타나지 않았으며, 이는 출판 편향, 작은 표본, 유연한 분석과 관련이 있습니다. 사전 등록이 대응책 중 하나입니다.

답

B · 발표된 많은 결과가 새로운 연구에서 재현되지 않는 것

3.기술통계

답: s = 11.15

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 162/6 = 27

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = 9² + 14² + 4² + (−3)² + (−8)² + (−16)² = 622

표준편차

s = √(622/5) = 11.15

답

s = 11.15

4.기술통계

답: z = −1.5

표준화하기

z = (42.5 − 50)/5 = −1.5

답

z = −1.5

5.확률

답: P = 0.5981

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

여사건

P(6이 안 나옴) = (5/6)⁵ = 0.4019

P = 1 − 0.4019 = 0.5981

답

P = 0.5981

6.확률

답: P = 0.1563

이항분포 공식

P(X = 4) = 5·0.5⁴·0.5¹ = 5·0.0625·0.5 = 0.1563

답

P = 0.1563

7.정규분포

답: z = 1.93

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = (1 + 0.9464)/2 = 0.9732

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.9732을 찾아 z를 읽으세요.

z = 1.93

답

z = 1.93

8.정규분포

답: P = 0.7881

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

차의 분포

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

표준화하기

z = (0 − 4)/5 = −0.8

확률

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

답

P = 0.7881

9.신뢰구간

답: 상한 = 27.23

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 5, t = 2.015

오차 한계

E = 2.015·10/√6 = 8.226

구간

19 ± 8.226 → [10.77, 27.23]

답

상한 = 27.23

10.신뢰구간

답: σ = 0.7168 µm

분산의 구간: (n − 1)s²/σ²은 자유도 n − 1의 χ² 분포를 따릅니다. σ²의 95% 구간은 (n − 1)s²를 위쪽 χ² 값(그 위에 2.5%)으로 나눈 값에서 아래쪽 χ² 값(그 아래에 2.5%)으로 나눈 값까지이며, σ의 구간은 두 한계의 제곱근입니다. 이 구간은 s를 중심으로 대칭이 아닙니다.

제곱합

(n − 1)s² = 29·0.9² = 23.49

σ²의 한계

23.49/45.722 = 0.5138

23.49/16.047 = 1.464

σ의 한계

σ = √0.5138 = 0.7168 µm

답

σ = 0.7168 µm

σ의 95% 구간: [0.7168, 1.21] µm.

11.가설 검정과 신뢰구간

답: p = 0.1285

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

검정통계량

SE = σ/√n = 24/√36 = 4

z = (73.92 − 80)/4 = −1.52

꼬리 면적

Φ(1.52) = 0.9357

1 − Φ(1.52) = 0.0643

p값

p = 2·0.0643 = 0.1285

답

p = 0.1285

p > 0.05이므로 5% 수준에서 H₀를 기각하지 않습니다.

12.가설 검정과 신뢰구간

답: U = 504.7

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

오차 한계

E = 1.96·10/√16 = 4.9

구간 끝값

U = 499.8 + 4.9 = 504.7

답

U = 504.7

13.선형 회귀와 상관

답: r² = 0.9865

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 391/5 = 78.2

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 258

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1687

결정계수

r² = 258²/(40·1687) = 0.9865

답

r² = 0.9865

y의 변동 중 약 98.65%가 직선으로 설명됩니다.

14.선형 회귀와 상관

답: e = 2.5

평균

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 459/6 = 76.5

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 109.5

회귀직선

b = 109.5/17.5 = 6.257

a = 76.5 − 6.257·5.5 = 42.09

ŷ = 42.09 + 6.257·x

예측값

ŷ = 42.09 + 6.257·5.5 = 76.5

잔차

e = 79 − 76.5 = 2.5

답

e = 2.5

점이 직선 위쪽에 있습니다.

15.카이제곱 검정

답: χ² = 1.583

카이제곱 검정: 관측 도수 O를 H₀에서의 기대 도수 E와 χ² = Σ(O − E)²/E로 비교합니다. 적합도 검정: 각 범주에 E = n·p, df = k − 1(자료에서 추정한 모수마다 1씩 더 뺌). r × c 표의 독립성 검정: E = 행 합계 × 열 합계 / 총합계, df = (r − 1)(c − 1). χ²이 선택한 α의 임곗값을 넘으면 H₀을 기각합니다.

기대 도수

도시: 100·60/200 = 30, 100·60/200 = 30, 100·80/200 = 40

농촌: 100·60/200 = 30, 100·60/200 = 30, 100·80/200 = 40

카이제곱 통계량

χ² = (34 − 30)²/30 + (29 − 30)²/30 + (37 − 40)²/40 + (26 − 30)²/30 + (31 − 30)²/30 + (43 − 40)²/40

χ² = 1.583

답

χ² = 1.583

df = 2. α = 0.05에서 임곗값은 5.991이므로 H₀(독립)은 기각되지 않습니다.

16.카이제곱 검정

답: χ² = 9.722

기대 도수

1라인: 36, 24

2라인: 60, 40

3라인: 36, 24

카이제곱 통계량

χ² = (46 − 36)²/36 + (14 − 24)²/24 + (55 − 60)²/60 + (45 − 40)²/40 + (31 − 36)²/36 + (29 − 24)²/24

χ² = 9.722

의사 결정

df = 2, χ²_crit = 9.210

9.722 > 9.210

답

χ² = 9.722

χ²이 임곗값보다 크므로 H₀을 기각합니다. 두 변수는 관련이 있는 것으로 보입니다.

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